文摘
在本文中,我们建立一个线性微分系统在连续时间和离散时间模型在人口艾滋病毒传播的水平。的主要问题是确定参数基于后验信息从统计分析获得的艾滋病人口。我们称这些参数动态常数,这些常数确定系统的行为在不同的模型。有一个悠久的历史使用线性或非线性动态系统的研究艾滋病毒种群动态或其他传染病。然而,确定系统中的动态常量的问题并没有得到太多的关注。在本文中,我们采取这样一个桥梁的初步措施。研究了动态常量出现在线性微分连续和离散时间系统模型。我们的计算主要是在Matlab进行。
1。介绍
病人感染了人类免疫缺陷病毒(HIV)很容易患获得性免疫缺陷综合症(艾滋病)——相关的疾病,通常是致命的,如果不治疗有效的抗逆转录病毒疗法。自1983年艾滋病毒的发现,一个有效的疫苗是有待开发的致命病毒。虽然高效抗逆转录病毒疗法(HAART)发明于1990年代中期挽救了数百万人的生命和阻止疾病进展的感染,艾滋病病毒感染仍然是一个公共卫生威胁。降低艾滋病毒传播的风险是首要任务。
艾滋病毒预防的一个特定的挑战是其长时间的潜伏期。艾滋病毒感染患者的平均时间,成为与艾滋病相关疾病症状可以超过10年1]。的性传播艾滋病毒,许多艾滋病毒感染者可能不了解自己的艾滋病毒感染状况,和病毒继续传播HIV阴性的合作伙伴。因此,深入了解艾滋病毒传播预防艾滋病是成功的关键。
艾滋病毒动力学一直在数学领域的流行病学研究使用线性和非线性模型(2,3]。流行病学中的经典模型是爵士模型,考虑了动力学的易感,感染,和恢复人口(4]。这对于艾滋病毒动力学模型并不是有用,没有人口中恢复过来。这是西珥的扩展模型,其中包括人的人口暴露但尚未感染。周期之间的接触和艾滋病毒传染性持续大约两到四个星期1]。自恢复人口不存在,我们可以考虑这个时期对种群动态的影响可以忽略不计。
分层模型在HIV病毒是常见的建模由于高危险行为和艾滋病发病率的相关性[5]。在本文中,我们将把风险间接通过考虑诊断和确诊人群。凭直觉,诊断个人会修改他们的行为相对于他们的行为前诊断。
在这篇文章中,我们将形成两个模型:一个连续时间线性微分模型和离散时间微分模型。这些模型中最基本的类型。重点将给确定的参数估计,这些模型的动态常量。我们将显示摘要,估计动态常量的类型取决于模型以及模型的定性性质。
在我们的模型中有两个重要的动态常量,即诊断艾滋病的传播率人口和未确诊的艾滋病人口。在我们的研究中一个重要的发现是,诊断和确诊感染人群的传播率具有可比性。这导致我们的结论,传播率应该连接到不同组的易感者根据自己的风险水平。
2。一般非线性微分模型
常用的艾滋病人口动态数学模型可以描述如下。让是易感人群。我们把HIV阳性人群分成两组:是不知道感染的人群;是意识到感染的人群。让组的死亡率 。让易感人群的增长速度。让的传输速度群,让的传输速度组。然后我们有以下非线性微分方程: 在这里对于那些感染组(单位时间内),并且在他们中间的比例是那些意识到自己的感染。常数表示HIV阳性人群的速度人意识到他们的感染(单位时间内)。所以有一个流从组来一旦从一员发现他/她的感染艾滋病毒检测。
许多变化的非线性动力学模型被认为是出现在文学研究艾滋病毒种群动态。例如,在[6易被认为是),死亡率和出现的微分方程 。此外,该参数可以改变,但是分段常数。
在我们的微分方程模型,我们有几个常量: , , , , ,和 。这些常数基本上确定定性和定量数学模型的属性。我们将调用这些常数动态常量的模型。注意到的一些常数, ,可能之前的估计,根据收集到的数据直接从组织和 。的一些常数, ,将后验估计。常数 , 可能之前的估计。我们的主要重点是给后这些常数的估算。
这里我们将评论,动态常量是依赖于模式。这可能不是很明显。尽管他们中的许多人可以估计统计上没有提及任何模型,应用这些直接估计模型可能是有问题的,下一节我们将看到。在本文中,我们采取一些初始步骤估计基于模型的动态常量。
3所示。线性微分模型,并初步讨论
现在我们将构建一个简单的线性模型。易感人群的主要假设是,比很多和 。易感人群的变化,由于艾滋病毒感染,相当小,比较敏感的总体规模。因此,我们可能会忽视易感人群的动力学,通过假设易感人群是一个常数。这或多或少证明了使用线性系统只涉及和 。
让我们先从艾滋病毒传播率的估计,平克顿(7]。传播率的估计 估计每人每年感染传播。自整体易感人口多 ,我们可以假设艾滋病毒传播事件的大小成正比和 。基于这个假设,我们可以通过线性微分方程模型艾滋病毒传播: 动态常量和保持不变。它也知道 (8]。没有统计完成 。所以我们可以假设 。
接下来,我们适用已知的估计和研究线性微分模型。请注意,仍然未知。根据(8),是左右 。我们可以初步设定 。利用动态常量的估计直接从[7,8),让我们考虑一些情况。
3.1。
我们先假设需要整体的价值部分的那些意识到自己的感染。现在我们有以下线性方程: 我们发现两个线性无关的解的增长率 然而,我们知道的增长 是关于 。因此,我们假设 不是有效的。即使我们忽略了死亡率,我们有 这仍然是远低于预估增长率。
3.2。 或
一个极端是, ,这意味着人口感染了被测试,成为意识到自己的感染(第一年)。我们有 在这种假设下将减少的速度 ,这意味着人口将在几年内逐渐消失。这个不可能是真的。
另一个极端是, ,这意味着人口感染了将最初知道他们已经被感染了(在第一年内)。我们有 我们有 整个艾滋病人口增长将低于 。这是非常小的比较与估计增长率 。
3.3。 , 不是固定的
有人可能会得出这样的结论:必须比一个小得多的号码 ,我们最初的假设。我们让和是不固定的。在这种情况下,我们有 我们有矩阵 我们知道增长率由特征值的控制 。特别是,我们可能认为 与 。这将保证解决方案的主导词的速度增长(每年)。因此我们获得 简化它,我们有 自 ,我们发现 。这表明有之间来的得到测试。这个比例似乎过低与CDC估计的 。
我们的话,我们的讨论是基于估计 和 (7]。正如我们所见,直接使用这些估计动态常量在微分方程建模将不足以产生正确的结果和趋势。在这篇文章中,我们将讨论后的估计参数,希望找到一些补救措施。
4所示。后验估计的参数
在我们前面的讨论中,我们直接插入的传播率统计分析线性微分系统。结果并不令人满意。需要估计的传播率会产生正确的结果从线性微分系统模型。让我们回想起美国疾病预防控制中心的数据从2007年到2013年(千)8]。
我们首先简化我们的符号。让 。我们重写线性系统 在哪里 这个系统是通解 在这里 , 的特征值 。他们可以是真实的或复杂的。还有一个退化的情况 这里我们不治疗。线性微分系统的行为在这两种情况下是不同的。毫不奇怪,我们需要使用两种不同的方法来估计矩阵 。
4.1。 , 真实:简单的曲线拟合
我们尝试一个全局优化使用Matlab曲线拟合。我们有 让 。然后 注意,占主导地位的术语建议的总体增长率艾滋病毒感染的人口增长速度接近 。这似乎是合理的。但 ,人口流动的速度来 ,估计 。这是完全离题。补救措施是我们第一个估计的主导词,然后估计其余。
4.2。 , 真实:主导词估计
假设 。然后是占主导地位的术语。我们应当有 现在 使用曲线 适合这些数据,我们得到
4.3。占主导地位,真正的
现在我们可以假设 和使用曲线拟合 , ,和 。我们有 和 , 。由此可见, 我们得出, 和 。这些参数似乎是合理的。然而, 。因此将是一个负数,是不可能的。
4.4。 复杂的和固定的实部
假设和是复杂的。然后和互为共轭。特别是,实体的一部分 , 应该约 。写 。我们应该有 在哪里有时被称为相位常数。一个简单的曲线拟合表明 和 和 。因此 让我们看看这告诉我们什么。我们有 这大致说大约有的每年,意识到他们的感染。一年一度的传输速度是 。一年一度的传输速度是 。
4.5。 复杂的
我们最后用Matlab全局优化以适应曲线中的数据 我们获得 , , 因此我们获得了估计 现在我们有 由此可见, 所以可忽略不计的,是关于 。这又使得模型无效。
4.6。讨论
在本节中,我们选择适合时态数据的动力学常数。我们发现,这些动态常数取决于模型的定性性质。然而,没有一个动态常量与现有估计我们选择搭配得很好。一个原因是每年数据不适合连续时间模型。因此,我们应当探索离散时间模型。
5。离散动力学模型
我们可能认为( )作为一个离散时间动态系统。让我们假定这个离散动力学是由一个转换矩阵定义的 : 原则上,基于我们之前的讨论, 现在我们想估计 。
5.1。基本的估计
最简单的方法通过考虑以下矩阵方程: 例如,对于 ,我们将 然后我们发现以下的估计 : 我们可以看到一些这些过渡矩阵之间的一致性。例如,th条目已经存在 。这转化为 这是集团的传输速率 。这似乎是一致的估计7]。
5.2。(算法)的平均估计
现在我们可能平均和获得 因此 我们的估计产量 ;换句话说,的人知道他们已经被感染了明年将意识到他们的感染。我们也有 如果死亡率将 ,然后我们有 。同样,我们有 如果死亡率将 ,然后我们有 这表明,传输的速度集团是传输速度的两倍组。可能会有一些事实。然而,我们相信,这估计是离题的原因是彼此相关的。因此每一个估计将会有偏见。我们应当正确以后,给出一个更健壮的估计。
5.3。最小二乘估计的
也许是一个好方法来估计是最小二乘法。我们写 应用最小二乘法,我们发现最小二乘解是 这个估算似乎比算术平均,在这个意义上,违规行为将影响较小的最小二乘解。因为我们可以重新排序和最小二乘法解决方案不会改变,我们也避免的陷阱和是相关的。我们有我们的后验估计: 这估计是类似于我们刚刚计算的算术平均数。动态常数估计会非常相似。我们将寻找一个更健壮的解决方案。最小二乘估计的一个特别的原因是不满意的是有额外的关系 最小二乘法不考虑。换句话说, , 也可以估计和我们估计时应当考虑 。我们将提供一个补救措施,避免这个问题。
5.4。一种更健壮的估计
我们估计的问题之一和相互关联。作为补偿,我们选择和尽可能的远离对方。我们观察到
我们计算 然后 我们有
5.5。讨论
这个估计的很符合最小二乘估计。我们的估计似乎表明,传播率和可能是在类似的范围。由(8),假设 。我们有 每年大约不知道的他们肯定意识到HIV感染由于测试。关于那些感染了集团意识到他们的感染。这似乎是一致的一些观察(7),但有一个例外;也就是说,在我们的估计,传播率和非常接近。数据1和2显示之间的区别和 。
5.6。算术平均和几何平均
现在我们国家的问题更大的通用性。给定一个时间向量 ,假设 与过渡矩阵 。如何估计矩阵吗?
正如我们前面所讨论的,我们可以使用最小二乘方程 的最小二乘估计 ,在某种意义上,非常类似于过渡矩阵的算术平均值 。但更好的意义是一个几何平均数。更准确地说,我们必须考虑到这一点 假设是过渡矩阵在时间吗 。然后的一个很好的估计应该是“几何平均”的 。标量,一个可以定义的几何平均 是th的根源 。但是矩阵乘法交换律和一个不能定义矩阵的几何平均。它仍然是一个挑战性的问题定义计算几何平均数 。
5.7。根估计
暂时,我们可以通过根定义几何平均数。例如,我们现在可以考虑 然后
我们也可以考虑 我们有
两个估计符合最小二乘估计和估计在前一节中。最重要的是,我们所有的估计都指向相同的传输速率范围和 。
6。结束语
现在我们应当比较动态线性微分模型中的常数估计在连续时间和离散时间。
在连续时间模型,我们得到传输速度约为组,那些意识到自己的艾滋病毒感染。尽管如此,流的速度来由于艾滋病毒检测结果是太低了经常出来是负的,不能这样。得到最好的结果,我们假设这两个特征值是复杂的。在这种情况下 然而,似乎很低。根据美国疾病控制和预防中心报告(8),估计大约在 。
有各种各样的原因我们动态常量与已知的估计不一致。首先,我们使用的疾病控制和预防中心的数据往往低估了和人口规模,特别是在最近几年。CDC估计人群感染艾滋病毒的大小的计算。估计对于任何给定的一年将会增加新诊断。艾滋病毒可能会未确诊的10年而不会导致死亡的病人(表1)[5]。根据疾病的阶段,个体将算作确诊几年前诊断。这使人口规模的估计比实际尺寸小的人口。的新估计艾滋病毒流行率同意这个结论(9]。尽管这个新的估计是比计算方法,保守它可能仍然低估了人口。两个估计数据显示一个下降的趋势,但这可能会抹去随着越来越多的人在疾病的后期诊断的。
其次,我们的计算假定易感人口远远大于受感染的人群。然而,未能获得正确的估计表明,相反可能越是易感人口可能会小得多。艾滋病毒感染是在亚种群中过多,如男男性行为者(MSM) [1]。这个分组人口只有约5%的美国人口,或约1500万人。不是所有的男男同性恋者可以被视为等于感染这种疾病的风险,因为目前超过100万个人,患有这种疾病的易感人群的大小可能与感染人群。出于这个原因,任何微分系统的艾滋病毒传播模型必须包括易感人群。
离散动力学模型似乎是最健壮的反对偏见引起的计算和易感人群的大小。忽略了2013年的数据,我们能够确定的传播率 也 从疾病预防控制中心估计,不太不同 。我们看到动态离散时间模型中的常数影响较小的低估造成的计算。这也是事实易感人群的相对大小对离散时间模型的影响小于对连续时间模型。
最后,我们的诊断和确诊艾滋病传播率的估计人口相对较近。这是完全不同于之前的估计,未确诊的人口的传输速度确诊为人口(大约4倍7]。这意味着传播率应该是易感人群。是有意义的易感人群划分为组根据可能的传播率。我们应当追求的不同。
的利益冲突
作者声明没有利益冲突有关的出版。
确认
这项研究部分由美国国立卫生研究院R01格兰特AI12125903。