文摘

本文提出和分析问题的数学模型的分布有限数量的辐照来源在放疗期间连续环境最小累积效应最大化。新算法基于nondifferentiable优化技术开发来解决这个问题。

1。介绍

目前的工作是致力于优化问题的数学模型放射治疗的计划。放射治疗是恶性肿瘤的局部治疗,主要优点是手术前广泛的局部抗肿瘤效应的可能性。高达70%的癌症患者接受放射治疗作为一个独立的方法或联合治疗的一个组成部分(结合手术、化疗)1,2]。

在现代放射治疗,许多不同类型的电离辐射,不同的生物效应,穿透性,和分布的能量辐射梁,作为抗肿瘤剂。电离辐射必须提供严格的肿瘤在一定剂量,分数,和时间间隔,在某些地方。暴露的程度需要不仅包括亚临床的主要肿瘤也区肿瘤扩散到周围的正常组织,包括淋巴结。放射治疗的主要目的是将一个完整的剂量的肿瘤以一种最优的方式,有超过90%的患者肿瘤的定位和组织学结构被治愈。此外,正常组织不应损坏超过5%的患者。

可能的方法之一的放疗剂量分布的时间是一个连续的模式暴露了好几天。该方法的一个例子是近距离放射疗法,放射性源植入肿瘤或叠加在皮肤或粘膜的肿瘤通过特殊设备,涂抹器。这种方法的主要优势是一个鲜明的梯度与源的距离增加剂量,它允许保留足够的辐射的正常组织的肿瘤。辐射源的距离这里假设物体接触。

放射治疗的一些数学方面讨论了优化问题(3- - - - - -10]。如前所述(7,8),一个数学公式的放射治疗问题由一对向前和逆问题。反问题是确定外部辐射光束,连同他们的位置,配置文件,和强度,这将提供一个给定在辐照剂量分布对象。大量的数学模型是分析肿瘤体积的变化(3- - - - - -5),计算最佳辐射剂量(6- - - - - -10),等等。

与上述文件,处理相关问题的辐射强度优化,我们考虑几何方面的逆问题,即最优位置的辐射来源部位的皮肤。

在这篇文章中,就像在(11),最优规划问题的接触辐射治疗癌症被认为是一个问题的最优放置和辐射场的有限数量的资源在一个连续的环境中。对于这个任务,有必要将给定的辐射源在受影响的组织为了提供最均匀的累积效应来源的性能。

问题的数学模型,提出了辐射源在受灾地区将在这里,这个模型是一个模型的修改提出了(11]。对问题的数值解,提出了并实现了nondifferentiable优化方法,即广义梯度下降的方法与空间伸展向两个连续的梯度值的差异,肖的r-algorithm12,13]。

2。材料和方法

2.1。最优的某些方面联系放射治疗计划

我们会考虑这个问题的最优位置的最优规划对恶性肿瘤的放射治疗。这已经被提出(11),需要给定的辐射源在受影响的组织。

在近距离放射疗法,辐射源在肿瘤应放置在这样一种方式提供最均匀的剂量,使完整的治疗效果(无病治愈肿瘤)。放疗期间出现的问题是,在低水平暴露领域(在地区的局部最小值字段行动)可能有复发,而在高剂量辐射的情况下可能会发生坏死,这是很难治愈的。

每个细胞类型都有自己的辐射敏感度参数;也就是说,细胞开始一定比率的变化频率类型、强度和持续时间的辐射。原则上,任何肿瘤可以被辐射的影响,但健康细胞也可能被损害,在这种情况下(6,11]。自成立以来,放射肿瘤学一直专注于减少副作用。放射肿瘤学的主要目的是选择最优平衡辐射产生的有利影响和减少并发症的风险。

让我们考虑使用的基本技术专业人员减少健康组织损伤的风险。首先,健康的属性和癌细胞的影响必须尽可能准确地确定,其次,还必须确定辐射敏感度的差异。辐射的强度和类型选择单独针对每种情况允许优化治疗的有效性。

许多重要的实际优化问题的源定位问题,产生的放射治疗计划,降低问题的连续的环境中放置一定数量的对象。结合创建这些对象领土“服务领域”为“客户”,位于这个地区,最小化或最大化一些质量标准位置。许多模型和方法为解决这些问题提出了在14]。

所以,考虑问题可能解释在以下背景:受影响身体的一部分表现为“服务领域”;身体的所有细胞受影响的部位是“消费者”;和“服务”是放置在源的辐射影响区域,并提供一个治疗抑制破坏中心的辐射场。此外,我们假设在身体的不同部位病变可能是不同的。的任务是将给定的辐射源,剂量场(累积效应的来源的表现)将尽可能均匀。

2.2。构建数学模型

让在欧几里得空间一组有限。虽然数学模型,把下面的问题是制定的任意有限,最佳解释我们将考虑时的情况。

与[11),集是均匀的,相信所有的细胞也同样受到影响,我们将假设有“中心”的损失,分区域的最严重的疾病产生和表达方式。让我们表示这些中心在以下方式:,。我们假设每个中心的疾病传播到邻近的细胞,和进一步的细胞位于中心,影响就越少。

让每个中心的影响“损害”的观点的特点是功能: 在哪里的损伤程度是th中心,是一个函数参数,显示了“宽”的能力th中心蔓延和扩散破坏邻近的细胞,和欧几里得范数。

然后总程度的破坏在一个点取决于病变中可用的所有中心区域和表达的

从这一刻,在布局问题的解决,我们将考虑该地区的每个点的破坏程度。

数据1和2显示的例子表面损伤特性(2)对于一个给定数量的中心位于二维场这样输入数据:;,;,(图1),;,;,;,(图2)。

让我们表示对环境影响的来源,它必须被放置,,。让每个源的影响在一个点特征的功能:

所有来源的累积效应,,在一个点形式的服务领域这是由 在哪里欧几里得范数。

我们假设损伤点越高,越接近的来源影响应该坐落这一点,因此在它附近大剂量场是必要的。

所有来源的影响在受灾地区可以描述如下:

问题是把来源,,在在这种方式,为了最大化行动领域的最低水平考虑在一个地区(假设源“凝结”是不可接受的)。这个问题可能是数学形式化如下:

注意位置优化问题的目标函数和动作的来源在连续介质,这被认为是在11),是一种特殊情况下的问题(6)当。

同时,与数学模型提出了(11的影响),源与幂函数描述(),在这里,我们考虑的功能 在哪里源的强度和最大吗函数参数显示,来源是“宽”的影响。本文建议这些值对所有资源都是一样的,尽管它不是一个必要的假设。数据3和4显示表面共同影响的函数(4)对于给定数量的来源位于二维区域单一来源的影响,条件是用公式描述(7)。

影响函数的选择是基于以下的推理。幂函数等,,满足,有一个“肮脏”(在计算机上)功能,导致需要穿刺点而计算的值函数(4)的实现数值算法解决这个问题。函数的这个选择很难,甚至是不可能的,最大化的利用数值方法在解决好nondifferentiable优化问题的收敛理论上已经证明。函数(7)没有这样的缺陷。类似的争论也在选择损伤函数的形式(1)。假设影响函数和损伤函数的参数可以确定实验。

参数的选择影响函数的形式(7)给出了15- - - - - -17]。在[17),例如,以下是指出:

”窄光束光度法的分析结果和实验数据吻合良好,剂量场计算的结果在范围广泛的辐照条件下显示的横向分量剂量点的函数可以表示成一个高斯函数单向的来源。”

2.3。解决方法和算法

使用两种方法来解决这个问题:一个近似算法(11]和nondifferentiable优化方法,广义梯度下降法与伸展的空间方向区别两个序列值的梯度(肖r-algorithm)。

的近似算法是基于假设源位置的优化实现,也只有到那时,当所有总行动领域的局部最小值是相等的。对于问题的数值解,我们将组织一个迭代的过程,首先,一个区域的离散化。下面的启发式谎言克莱伯的迭代算法的基础上11:如果由于某种位置的来源函数(4)达到全局最小点和最近的(或最近)点源,然后将的方向(在径向方向)在一定相当小的数量(距离)允许增加函数的最小值(4)。

算法的每一步我们将每个源有一定的步骤到下一个全球水平的函数(4),逐渐减少转移一步一定规则()。迭代过程完成后如果所有当地最低网是全球性的精度或转移的步骤变得小于给定的最小的一步。

显然,问题的目标函数(6在整个地区)不是有区别。因此,对于解决问题(6),广义梯度下降的方法与延伸空间的方向之间的差异提出了两个连续的梯度值。所有的次梯度方法的有效性很大程度上取决于优化功能的调节。因此,为了提高收敛的速度我们可以试着做一个坐标变换(变化度量)改善条件。这个想法的基础是r-algorithm相结合原则的次梯度方法和变量度量方法(13]。下面的数值方法的算法。

算法

初始化。我们将指定数量的来源和初始位置。地区覆盖着一个矩形网格。进一步将用离散区域。

我们计算目标函数的值根据给定的初始放置来源由公式(4)。使用有限差分公式计算次梯度向量的所有组件为目标函数在点。

最初的测试步骤r-algorithm选择()。

第一步。计算与公式

第二步。后我们有一些位置的步骤算法的结果。让我们描述算法的步骤。

的 th一步。(1)为一组我们发现一个值从公式(4)。

(2)计算近似次梯度向量的所有组件的值为目标函数当。

(3)执行th r-algorithm的一步—构成;迭代公式如下: 在哪里是一个矩阵的空间张力系数(建议选择它等于3)的方向区别两个连续的梯度值,计算使用公式 在哪里和。

如果由于四舍五入计算矩阵不是我们换成积极决定单位矩阵。

一步根据条件选择

(4)如果一个条件 是不满意的,我们继续th算法的步骤;否则,转到步骤5。

(5)考虑迭代过程的完成:最好的位置,在那里迭代次数的条件(8)执行。

这结束了算法。

注1(有些单词的正确性次梯度法应用程序)。众所周知,次梯度介绍凸函数的概念。问题的目标函数(7)属于类的所谓quasidifferentiable功能。

定义1(见[13])。这个函数,定义维欧氏空间,叫做几乎可微的如果它满足下列条件:(一)任何禁区李普希茨(局部李普希茨);(b)它是几乎处处可微的;(c)的梯度是连续的,它的存在。

定义2。一个向量序列的极限点的梯度,在那里是点的序列收敛于一个点吗等,在所有的点序列的功能是可微的,叫做quasigradient函数在点。

接受为真实(以下定理13]。

定理3。假设真正的功能,定义在一个开放的集合有限的偏导数在各个方向:对于任何和。然后,几乎在任何地方都是可微的。

定理4。集quasidifferentiable quasigradients的函数非空的,是有界的,在任何时候关闭吗。

定理5。一个任意凸函数是quasidifferentiable维欧氏空间在点它的任何quasigradients配合一些次梯度。

注2。应该注意的是,这个问题在数学公式与连续球覆盖的任务。不同的优化设计算法的球覆盖在有限区域(18)可以应用于解决上述问题。其中一些是基于一定的启发式,和其他人使用的数学仪器泰森多边形法地区。应用理论的连续优化问题设置分区的问题描述单一的平面有界区域覆盖在19]。

3所示。计算实验的结果

让我们考虑为二维计算实验的结果病变字段椭圆形状的例子(数字5- - - - - -7)。为了方便起见,我们把均匀的“需求”的情况下影响剂量的伤害,也就是说,当损害的程度是一样的,每一个细胞都等于1。数据5,6,7代表最优位置的3、4、6来源在椭圆区域,分别。坐标的辐射来源构成问题的最优解发现r-algorithm标有蓝色方块而获得的源位置的优化近似克莱伯的算法(11标有红色的方块。应该注意的是,在这里和下面的示例初始中心的近似(绿点图5并进一步)是相同的两种算法。

在这些,以下测试的例子,假设辐射来源是相同的,他们的影响力函数是由公式(7),,,。克莱伯参数的迭代算法,,,,。r-algorithm的参数,,,。

表1展示了最好的目标函数值的比较同质性的问题整个地区的“需求”程度的来源获得的两种算法的影响。

我们可以看到数据5- - - - - -7,由于这一事实,来源是适应,是对称的,“均匀”(在某种意义上,“需求”辐射剂量是相同的所有点的地区),最优位置的辐射来源通常是对称的(正如[11])。然而,如图6和7,r-algorithm允许我们找到最优的解决方案,不具有对称性,但相反,总剂量领域提供最好的(见表1)。

通过比较结果,我们可以得出结论,在该地区与齐次“需求”两种算法给几乎相同的结果,但是,增加资源的数量,nondifferentiable优化算法给出了具有更高的目标函数值的位置。此外,r-algorithm克莱伯的要快得多。

数据8 (b),9,10显示两种算法的位置发现5、4和5的来源,分别在齐次非凸区域的“需求”。深色的颜色点,组织损伤的程度就越大,相应地,“需求”辐射剂量越高。相比之下,最优辐射源的位置一样的人物8 (b)和9区,但整个地区的单位“需求”在图表示8(一个)。

最佳目标函数非齐次“需求”一个比较表(表中给出2)。

注3。表2列出了最小加权最大辐射总剂量,剂量场的大小除以受影响的组织点的水平。这解释了几百块的差异值的测试用例1号休息。

计算实验允许我们做一些观察和结论:(1)磨空间网格显著增加了时间最优(当地)解决方案的问题来源的位置可能会发现两种算法;(2)两种算法对初始近似的选择敏感坐标的来源被放置,只能导致一个局部问题解决方案;(3)如果弹簧的面积容纳有对称的性质和同质性,那么最优布置的来源也具有对称性。

从计算可以看出实验,结果严重依赖于初始数据和算法参数,初始近似坐标的中心,空间网格的步长和步长数值微分的广义梯度的评价的组成部分。为了消除过去的缺点,我们建议创建一个版本的算法与理论的元素连续优化问题设置分区(18),即在计算目标函数的广义梯度的组件(4)用泰森多边形法图构造使用OSP方法[19]。

4所示。结论

在本文中,我们提出并分析了一个数学模型的优化位置和行动领域有限数量的辐照来源在放疗的背景下。我们已经表明,类似于其他重要的实际优化问题,这个问题可以减少问题的放置一定数量的对象在一个连续的环境中。然后结合这些对象来创建一个领土“服务领域”为“客户”,位于这个地区,问题是最小化或最大化布置的一些准则。本文的模型是“需求”的价值占辐射在给定地区的每一个点,以及要求最大可能的行动领域的分布式资源的同质性。

解决辐照源的最优分配的问题,有两种不同的算法:近似克莱伯的算法和肖r-algorithm。数值实验的结果表明,使用nondifferentiable优化技术来解决这个问题是制定更合适的时候考虑不均匀在该地区的需求。

将来,本模型可以推广到的情况需要识别不仅辐射源的位置,而且其他一些参数,如时间、形状和强度的辐射。也设想的理论运用连续优化问题设置分区解决问题类似于一个分析了。目前的模型还可以推广到辐照过程的动态的情况下通过增加微分方程描述的变化的体积肿瘤放射治疗期间(癌细胞)。在这种情况下,最优集的方法解决动态问题的分区可能会发现有用的(20.]。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。