文摘
数学模型固体无血管的肿瘤的生长调控细胞凋亡研究的时间延迟。固定解的存在性和坏死核心的生成机制研究了肿瘤的生长。结果表明,如果肿瘤细胞的自然死亡率超过一个固定的正的常数,然后休眠肿瘤nonnecrotic;否则,休眠肿瘤坏死。
1。介绍
肿瘤的生长是一个高度复杂的过程。来描述这一过程,数学模型是必要的。多种肿瘤生长的数学模型已经开发和研究;例如,比较[1- - - - - -7)和引用。大多数模型都是基于反应扩散方程和质量守恒定律。分析这样的自由边界问题引起了极大的兴趣,和许多有趣的结果;比较(8- - - - - -14)和引用。
在本文中,我们研究下面的问题: 在哪里是径向变量,是时间变量,变量代表了养分浓度在半径和时间。的变量代表着肿瘤时的半径和代表了肿瘤的坏死核心半径。右边的三个术语(5)解释如下。第一项是总量增加单位时间间隔诱导细胞增殖,这是出生率和自然死亡率之间的平衡的细胞(在该地区),出生率,自然死亡率,在那里是一个常数。第二项是总量减少(或增加)在一个单位时间间隔造成监管细胞凋亡,在监管是由细胞凋亡率;也就是说,如果当地的扩散速率超过(低于)临界值,然后会有增加(减少)在局部细胞凋亡率损失时间,这增加(减少)的大小表明调控细胞凋亡的重要性相对于潜在的细胞凋亡:对于大型的值,监管机制主导凋亡细胞损失。是一个比例常数。上学期总体积收缩在一个单位时间间隔由于衰老而引起的细胞凋亡或细胞死亡(在该地区);细胞凋亡率被认为是常数,不依赖。
上面的模型类似于第二个模型的伯恩1),但有一个修改。修改如下。在伯恩1),营养的消耗速度被认为是一个常数相反的,(1)使用。在这篇文章中,我们可以看到从(1),我们假设养分的消耗速度正比于它的浓度。这种假设显然是更合理的。原因如下。从[1),我们知道如果养分的消耗速度被认为是一个常数,然后满足 在哪里坏死核心的半径。因此,可能是负的。如果一个假设养分的消耗速度与它的浓度成正比,不能对任何不利(如果有);看到(13)和(14节)2。
2。固定解决方案和坏死核的形成
我们可能会假设通过重新调节空间变量在(1)。对于一个给定的,营养物质的浓度在的肿瘤 在哪里问题的解决方案吗
表示。自有一个独特的存在这样
引理1(见[9])。对于任何方程 有独特的根在这一期间;也就是说, 和解决问题的办法(9)如下:如果,然后 如果,然后
表示作为一个固定问题的解决方案(1)- (6);然后,它满足以下方程:
在本节的其余部分,我们假设
可以使用相同的技术和方法以外的其他条件(H),但结果可能会有所不同。
定理2。如果那么,对于任何,存在一个唯一一个积极解决方程;也就是说,存在一个唯一积极平稳解决问题(1)- (6),。
证明。由引理1,我们发现满足的方程
为,
和,
在哪里
和。从[9我们知道这个函数严格单调递减的吗和是单调递增的吗。利用引理4.1和4.2中使用的类似的过程(9),一个可以得到以下主张:对于任何
,这个函数
是连续可微的,
对所有
。
以来,,(17),然后
我们已经使用在哪里。通过直接计算,注意到这一点,一个人可以得到
从[9我们知道和,在那里是一个常数。然后
为,。的事实对所有,我们有存在一个唯一的积极costant满足的方程。这就完成了定理的证明2。
让,。从[13),我们知道对所有, 以来,和, 那么存在一个独特的正解这样
定理3。(H)和假设条件感到满意。然后以下断言持有:(我)如果可以保证,然后休眠肿瘤定理2没有一个核心坏死;(2)如果可以保证,然后休眠肿瘤定理2有坏死核心和坏死核心的半径等于。
证明。由(17)和(25),如果,然后。由此可见,是静止的问题的解决方案(1)- (6)。自意味着为我们可以得到,休眠肿瘤没有坏死核心。如果,然后从(17)和(25),这一事实我们可以得到为。那么解决方案这个方程满足。因此,在这种情况下,静止的解决方案满足为。因此,休眠肿瘤坏死核心半径为。这就完成了定理的证明3。
表示 的事实和严格单调递增的,我们有。自 的事实,一个人可以得到的条件相当于下列条件: 和条件相当于条件。
从上面的分析,针对生物学意义上,定理的意义3如下。
如果足够大,这样自然死亡率,然后休眠肿瘤nonnecrotic,如果,然后休眠肿瘤坏死。
从[9),我们知道这个函数严格单调递增的和为。然后我们可以得到以下。
增加营养供应从表面的阈值将会增加。这意味着休眠肿瘤配有少量的营养可能nonnecrotic,而休眠肿瘤提供大量的营养可能坏死。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者表达他们的感谢两位匿名裁判,他们谨慎的评论和有价值的原始论文的修改建议。这项工作的第二作者是中国的部分由NSF(11226182, 11226182, 11171295),广东优秀中青年骨干教师在高等教育基金会、中国(Yq2013163)。第一作者支持的部分研究项目的中国国家重点基础研究计划(973计划,批准号2012 cb725402),中国国家高科技研发计划(863计划,批准号SS2014AA110303)和江苏省博士后科学基金(批准号1301011 a)。