文摘
经颅直流电刺激(tDCS)继续演示成功作为神经退行性疾病的医疗干预,心理条件,和创伤性脑损伤恢复。tDCS还没有完全理解的一个方面是tDCS电场对神经功能的影响。为了解决这个问题,我们提出一个数学,夫妻tDCS政府神经元电动力学的多尺度模型。我们证明了模型的有效性和医疗适用性与计算模拟使用一个理想化的二维域,然后MRI-derived,三维人体头部几何具有非均匀和各向异性组织导率。我们举例说明这些模拟与真实的tDCS电极配置的功能和治疗参数和比较模型的预测达到从医学研究。模型是使用高效的数值实现的策略和解决方案技术允许使用医学界所需要的计算网格。
1。介绍
经颅直流电刺激(tDCS)是一个医学过程,提供电刺激大脑通过电极放置在头皮上。电极提供电流的1 - 2马并产生电场在病人的脑腔改变神经元的兴奋性。常用的治疗方法是帮助神经元点火动作电位(APs)通过增加他们的静止膜电位。当前生物医学研究继续演示tDCS作为治疗的好处。识别阿尔茨海默病病人的记忆力有所改善(1,2]。人患帕金森病了增强生理和心理技能(3,4]。病人诊断为神经精神疾病,包括大萧条,显示改善认知功能(5,6]。此外,卒中后康复可以加快tDCS的战略管理(7,8]。
目前的tDCS的组件包括拉普拉斯方程(9- - - - - -13),这是由 在哪里电势,代表组织电导率张量场,是整个头腔,包括大脑。在各向同性组织内,可以表示为一个标量的不同在不同的组织类型。
计算模拟的tDCS利用(1)有能力计算的强度tDCS电势和电流在特定的点在大脑和头腔(11,14]。然而,这些模型没有能力提供的描述再功能。tDCS的基本目标是改变神经元兴奋性的增加或减少神经跨膜电压(15,16];没有这个抽象级别的生物包括tDCS模型,不可能检查tDCS影响脑细胞内计算模拟。
除了tDCS建模与仿真领域,计算神经科学社区拥有大量生物启发,精神层面上动力学的数学模型。Hodgkin-Huxley模型,例如,模拟电压门控离子通道功能(17]。Hindmarsh-Rose模型包含神经元破裂,这是快速动作电位飙升的多样化和混沌行为,被认为是非常重要的信息编码和传播(18]。最近,模型包括物种个体神经递质、受体,和绑定动力学模拟neuron-neuron影响和沟通(19]。
一个多尺度模型,夫妻tDCS和细胞水平的功能将使研究人员能够模拟tDCS对神经元的影响。例如,tDCS和离子通道功能之间的相关性,行为动作电位和神经递质动态研究。此外,特定的电极配置和治疗参数可以优化基于神经元的行为。此外,将提供一个多尺度模型之间的桥梁tDCS数值模拟领域和计算神经科学领域,从而使tDCS访问复杂的模拟,基于生理细胞和亚细胞模型的神经科学社区。
几个研究人员调查了细胞外的电场对细胞的跨膜电压的个人和小团体(15,16,20.,21]。在器官水平,Szmurło et al。22,23]证明了bidomain模型的适用性24)(见部分2。1),脑电图(EEG)的应用程序。他们表明,这个模型,这历来是用于心脏的应用程序,可以再现头皮表面电位测量来自神经元动作电位。
在本文中,我们将这些建模策略产生tDCS的多尺度模型。我们首先bidomain模型耦合偏微分方程(pde)的边界条件模型tDCS治疗。我们验证模型对几个测试用例在两个不同的几何图形。首先,我们在一个理想化的二维模型模拟领域,它提供了一个可视化的基本环境和调查电势和电场特征。然后,我们利用一个MRI-derived,三维人体头部几何,具有非均匀和各向异性组织导率。在此设置中,我们检查的电势、电流、电场,和跨膜电压结果从现实世界的tDCS电极配置。在这两种几何图形,使用五个不同组织类型:皮肤、颅骨、脑脊液(CSF)和灰质(GM)和大脑的白质(WM)部分。此外,我们详细数值方法和解决方案技术实现,使合理的模拟执行时间。
据我们所知,本文提出第一个多尺度tDCS模型和模拟。我们希望本文提出的建模和计算方法有助于进一步扩大tDCS仿真功能,我们对tDCS在细胞水平上的影响的理解。
2。材料和方法
本节提出的细节模型、数字和计算模拟中使用。首先,bidomain模型的概述,以及改编的描述这对tDCS模型。然后,实现多尺度所使用的数值方法tDCS模型描述。接下来,我们利用计算工具的概述。最后,数值实验,进行了描述。
2.1。Bidomain模型
大脑和头部建模中的每个细胞并不计算可行;bidomain模型基于体积平均的方法,在一个点的值在一个组织被视为平均在一个极小的,多细胞区域周围的点(25]。bidomain模型,顾名思义,模型两个域,即细胞内和细胞外空间。这些领域被认为是连续的大脑内,他们是互相绝缘的细胞膜。Transcellular电流通过细胞膜离子通道,是可能的和跨膜电势定义是细胞内和细胞外的电动电位之间的区别,。
bidomain模型由以下给出系统的偏微分方程点在大脑中,: 在哪里是细胞外的电势和是跨膜电压。注意,在这个配方,已被消灭的替代吗;如果需要的话,可以计算域中的任何时候使用。和代表了细胞内和细胞外组织电导率张量域,分别。此外,细胞膜表面体积比和是细胞膜电容。是总离子电流之间的细胞内和细胞外的域,穿过细胞膜。方程(4),它描述了神经元电生理的状态,可以用一个方程或常微分方程组(常微分方程)25]。
方程(2)- (4在大脑中定义)。外的脑组织,头皮、颅骨、脑脊液被建模为一个被动的导体与拉普拉斯方程(1)。在这个extracerebral域、神经元和其他电响应细胞不存在,只存在细胞外的领域。因此,当前是局限于大脑细胞内;这个条件被要求执行细胞内流出的电流从大脑到extracerebral地区= 0: 在哪里是大脑的表面边界。
大脑细胞外的电场连续性之间的接口和extracerebral域被要求保存和是连续的。为了简化符号,在本文的其余部分将简单地表示为。
2.2。tDCS适应
bidomain模型适合tDCS应用程序,两个特定领域需要解决。首先,头皮上的边界条件必须tDCS模型管理。第二,细胞模型,模拟神经元电动力学是必要的。适应的结果是我们的多尺度tDCS模型。
2.2.1。边界条件
表面的头,有三个独立的边界条件需要tDCS模型。首先,目前通过tDCS阳极电极是由非齐次纽曼边界条件实现的 在哪里边界上的内向电流点定位在阳极电极(s)。第二,阴极电极由齐次狄利克雷条件 边界上的点覆盖的阴极电极(s)。所有其他点在头皮表面绝缘,所以当前的外法线分量在这些点必须等于零:
2.2.2。细胞模型
模拟单神经元跨膜电压动态与FitzHugh-Nagumo完成(FHN)模型(26]: 在哪里再次是跨膜电压和吗是一个状态变量,控制跨膜电压复极化。在这里,阈值电压的定义是+,之间的区别是峰值和静止膜电压,。我们使用,,,,菲茨休(提出的,26)的系数按比例缩小的秒。FHN模型允许我们定义的这个实现和,我们将−0.07 V和0.04 V,分别。图1显示一个美联社FHN模型的响应电流当给定一个应用为。
PDE系统(2)- (4),这个细胞模型夫妇的右边(2)和(9)。此外,当使用FHN模型与bidomain模型,(4)是由单状态方程(9 b)。
2.3。数值实现
多尺度tDCS模型解决了戈杜诺夫算子分裂计划(25]。解决方案算法包括以下两个步骤。(1)解决ODE体系: 为,和是已知的。让表示的部分解决方案在步骤。(2)解决PDE系统: 为,和边界条件中指定的部分2。1和2。2。
数值解的结果和在时间步。此分步法将pd的非线性常微分方程。这是有利的,因为ODE体系可以更频繁地评估比PDE时期快速跨膜电压变化,也就是说,美联社飙升,也无需解决计算密集型PDE系统。此外,这种戈杜诺夫分裂方案数值稳定性和计算效率27]。
ODE体系步骤解决与修法(28]。PDE系统步骤解决作为一个耦合系统,离散化与隐式欧拉方法,时间和空间有限元法(29日]。生成的有限元公式收益率以下方程组块矩阵形式(25]: 在哪里th和给出的条目 和和未知的跨膜和电势一起构成我们所寻求的解决方案。在这里,和在离散域有限元基函数。
线性系统(12共轭梯度法()是解决30.使用以下块预调节器(先决条件)29日]: 在哪里和不完全LU (ILU)分解(31日的和,分别。
2.4。计算工具
的多尺度tDCS数值模拟是进行三维网格源自人类的MRI数据。SimNIBS软件包(32提供相关的计算网格;这是一个高质量的四面体网格的头皮,头骨,CSF,通用汽车和WM。Gmsh [33)支持网提供的可视化和网格文件转换格式支持Diffpack (http://www.diffpack.com/)[34]。图2显示部分的计算网格中使用的三维模拟。
(一)边界的网格
(b) WM和通用网格的一部分
与Diffpack有限元解进行。一个各向异性电导率张量场的大脑区域MRI-derived网是由SimNIBS并存储在一个Matlab (35二进制数据文件;调用Matlab引擎和利用c++代码在运行时访问这些张量数据。ODE求解器(修方法)是在c++中实现,并与Diffpack算子分割方案执行。此外,该块系数矩阵(12)和块预调节器(14与Diffpack)实现。结果导出与ParaView (VTK格式和可视化http://www.paraview.org/)。
2.5。多尺度tDCS数值实验
数值实验的检查以下四个属性:(1)动作电位传导速度;(2)tDCS电势;(3)tDCS电流和领域;(4)tDCS-induced跨膜电压增加。
实验运行全球时间步ms。ODE体系解决了时间步更频繁ms。在每一个时间步长时,系统的12)是解决使用共轭梯度方法预处理与放松ILU块矩阵(14),松弛参数(31日)的和块。相对残差收敛监测被使用,是标准的初始残余,是一种常态的残余迭代。收敛宽容被设定。在所有的实验中,参数被设置为 ,被设置为 (36]。
多尺度tDCS模型评估并验证几个两个——和三维数值实验。下面的部分描述这些。
2.5.1。二维实验
图3显示几何用于二维实验。它与同心环形构造模拟重叠和嵌入式头部和大脑组织的性质。最里面的地区,模拟大脑的白质,圆半径= 40毫米。这个地区,周围四个轮定位与外半径等于50,70年,90年和100毫米,模拟通用,CSF,头骨,分别和头皮组织。模拟的交织与通用汽车和WM CSF, 10毫米厚CSF水平地带延伸通过几何中心,提供一段通过通用和WM CSF。这个典型的域允许我们观察和全面评估动作电位传导,电势和电场仿真结果在整个域。
各向同性细胞外导率被分配到不同的组织:皮肤= 0.465,头骨= 0.010,CSF = 1.654,通用= 0.276,和WM = 0.126,每个单位S / m (37),和一个胞内电导率值0.1 S / m是通用和WM中使用。每个实验包括10000线性三角形有限元素。
个人描述二维实验在以下段落。动作电位传导:AP集中在(),包括一个圆形区域半径为= 2.5毫米,是模拟的ms。仿真总时间是100 ms。tDCS不是管理因此齐次纽曼边界条件是对整个头皮表面。这个实验是用来确保生物多尺度模型的合法性的美联社传导速度,从而验证,选择适当的参数值。这个实验还用于检查的电势,,由美联社。tDCS电势和字段:tDCS模型基于拉普拉斯方程(1)准确地量化tDCS电动电位和字段(11,14]。因此,验证了多尺度模型,其电势和电场仿真结果相比所产生的(1)。这些比较使用两个执行模拟。首先,tDCS模拟定位在阳极和阴极电极()和(),分别。电极的尺寸是10毫米,阳极电流大小被设置为1.0 mA(参见2.2。1)。没有人为美联社发起;也就是说,(9),仿真时间是100 ms。这个数值实验是重复使用不同的电极配置,将阳极电极()和阴极()。这种电极安排被选为实质性差异从第一个安排。首先,通过阳极电流输入没有邻居中央CSF通道,与第一电极配置一样。第二,当前出口在阴极电极尽可能远离中央CSF频道在这个二维域。此外,阳极和阴极的两侧CSF在第二频道配置。
2.5.2。三维实验
三维实验MRI-derived体积网格。图2在这些模拟显示网格的一部分使用。细胞外导率的头皮、颅骨和CSF是各向同性和设置为0.465,0.010和1.654分别为(37]。各向异性细胞外导率的通用和WM部分大脑的使用;这张量场是由SimNIBS软件包(见下一节2。4)。胞内电导率的大脑区域被设置为0.1。
三个独立的电极蒙太奇被选为三维模拟(见表1)。每个蒙太奇指定使用国际10 - 20体系[38]。经颅直流电刺激与蒙太奇应用1显示增强运动序列学习[39例如,]。这种蒙太奇是已知目标运动皮层区同侧阳极电极(40]。蒙太奇2一直在利用一系列生物医学研究也涉及运动技能和提高神经组织兴奋性同侧的运动皮层在阳极(38]。蒙太奇3已经被证明可以改善帕金森氏症患者的步态和运动徐缓(3]。然而,大脑的区域和tDCS提高汽车性能的机制在这些人仍不清楚。初级运动皮层的神经刺激的研究表明,刺激是测试改进的催化剂3,41]。此外,其他研究验证电刺激丘脑核(STN)和黑质(SN)大大提高电机的性能在帕金森症患者42- - - - - -46]。
在所有的蒙太奇,阳极电流大小被设置为1.0 mA(参见2.2。1)和每个电极的面积大约是25厘米2(3,39]。数值实验运行100 ms,没有APs被迫;也就是说,(9)。头几何形状是由大约110万线性四面体有限元素。
再次,拉普拉斯方程(1)准确模型tDCS电动电位和字段(11,14]。对于每一个蒙太奇,验证了多尺度模型通过比较其头皮表面电位对那些由拉普拉斯equation-based生成模拟仿真结果。执行一个类似的比较tDCS电流和场。然后,多尺度模型的预测能力变得更加兴奋的的大脑区域tDCS治疗管理与验证这三个蒙太奇。这是通过检查跨膜电压增加这些地区的大脑从tDCS更加兴奋。蒙太奇1和2,同侧检查阳极,运动皮层和蒙太奇3运动皮层和STN和SN地区检查(见表1)。
3所示。结果与讨论
3.1。二维模拟
3.1.1。动作电位传导
跨膜电压部分中描述的美联社数值实验的结果2.5.1提出了在图4。图4(一)显示了时间。美联社的开始女士,美联社分散很明显(图4 (b))。传导速度大约是2.0。这个值是低端的正常的神经传导速度(47];然而,平均美联社速度不同个体和测试条件(48]。此外,传导速度可以很容易地调整模型中通过改变,或。此外,替代神经元模型具有不同的美联社跨膜电压的一击率将影响传导速度(25]。
(一)跨膜电压时女士
(b)跨膜电压时女士
图5显示的电势,从美联社。图5(一个)显示在整个二维域ms。电势的变化由于不均匀的细胞外导率是明显的。图5 (b)显示电势时间进程的阴谋,分域的中心和每个笛卡尔轴表面边界相交。代表点的曲线相交设在,即()和(),由于其相似对称对美联社。然而,所有其他曲线显示变化由于其空间分离和组织电导率不均匀性。
(一)电势时女士
(b)电势时间进程的阴谋在5分域
这些电势结果相同的数量级Szmurło报道的et al。22]。进一步,他们几个数量级低于生产tDCS会话期间(37]。这些结果与观测一致,头表面电势的测量由tDCS从美联社传导电流和微不足道的影响49]。
这个数值实验证实了所选参数组产生生物合理动作电位的结果。传导速度是合适的和产生的电势AP与先前的研究报告是一致的。在下面几节中,当tDCS管理多尺度模型进行了验证。
3.1.2。tDCS管理
第一电极配置。电势为拉普拉斯equation-based模型和仿真结果给出了图的多尺度模型6。的电势(图拉普拉斯模型6(一))相似的多尺度模型的电势女士(图6 (b)),女士(图6 (c))。这些看似微不足道的两倍之间的电势差变化。为女士,电势稳定,没有明显差异观察在剩余的模拟。
(一)Laplace-based模型
(b)tDCS多尺度模型;女士
(c)tDCS多尺度模型;女士
图7显示了拉普拉斯的tDCS电场和多尺度模型。结果显示在多尺度模型女士,但从本质上说,他们是相同的。差异模型的电流密度和字段是几乎无法区分。电场来分流头骨的趋势是由于低电导率的组织,这产生一个退出的边缘阳极电流密度增加,进入阴极的边缘(11]。此外,电流的一部分,穿透头骨为高导电CSF有很高的亲和力。
(一)Laplace-based模型
(b)多尺度模型;女士
第二电极配置。数据8和9两种模型的结果显示电势和电场与tDCS交付第二电极配置。多尺度仿真结果再次匹配Laplace-based仿真结果非常密切。电场分流又存在以及由此产生的电流密度较高的区域边界的电极。也许更可见在这种电极配置是当前的倾向喜欢CSF地区的域(图9)。类似于第一个配置、电势、电流、和现场多尺度模型的结果在本质上是相同的时间步长。
(一)Laplace-based模型
(b)多尺度模型;女士
(一)Laplace-based模型
(b)多尺度模型;女士
这两个实验证明了多尺度tDCS模型可以准确地计算电动电位和当tDCS管理领域。在下一节中,这些验证。此外,多尺度模型的准确识别能力的大脑区域电兴奋的tDCS也证明。
3.2。三维模拟
3.2.1之上。蒙太奇1
图10显示了电势和现场的多尺度模型模拟结果与蒙太奇(见表1电极配置1)。最大和最小表面电位与电极位置(图10 ())。图10 (b)说明了电流和场日冕内截面C3和C4电极,从后。曲线在大脑组织由于电场线交织CSF和通用和WM组织是可见的。
(一)头表面电势;观看角度与鼻根头上直接面临下行
(b)电流密度和磁场流行冠状截面通过阳极和阴极电极中心;拍摄角度是从后
分流的电场沿头皮和颅骨显著图10 (b),导致更高的电流密度的电极边缘区域,类似于二维仿真结果(见部分3.1)。此外,电势、电流、和现场结果基本上是相同的时间步长,在二维实验观察。这些结果与仿真结果由拉普拉斯equation-based协议模型。
图11跨膜电压的结果显示这种蒙太奇。通过运动皮层侧矢状截面阳极电极和电场垂直于主方向。拍摄角度是从左边的头朝左。箭头(图(11日))定位运动皮层,大脑兴奋性增加的面积从tDCS(见表1)。结果显示= 1、10、25、50和ms。敏感性的增加神经组织产生动作电位是量化的比例使用以下公式: 在哪里mV和mV,考虑到参数用于细胞FHN模型(见部分2.2。2)。这个公式提供了一个衡量的程度的神经组织增加了从静止膜电位更容易激发动作电位。
(一) = 1女士
(b) = 10毫秒
(c) = 25女士
(d) = 50毫秒
(e) = 100毫秒
(图1毫秒后tDCS管理(11日)),增加静态电位是注意到整个大脑组织,特别是在运动皮层。在时间= 10 ms(图11 (b)),美联社灵敏度运动皮层的部分增加了大约8%。25个女士(图11 (c)),tDCS的影响非常明显。再次增加最大的灵敏度达到运动皮层,这个地区的大多数有价值超过5%,部分超过10%。25毫秒后,膜电位开始再极化(图11 (d))。这个过程是缓慢的,年底模拟(图11 (e)),静止膜电位仍然是上升运动皮层。
3.2.2。蒙太奇2
蒙太奇2电势和电场结果呈现在图12。最大和最小表面可能再次配合阳极和阴极电极位置,分别(图12(一个))。电流密度和方向从一个平面相交的阳极和阴极中心(图12 (b))。电场沿头骨分流术,就像蒙太奇1中观察到,又导致更高的电极电流大小的边界。波电场线交织CSF,通用,WM也是可见的。这些结果与那些由拉普拉斯equation-based生成模型一致。
(一)在头表面电势
(b)电流密度和磁场流行一个平面相交的阳极和阴极电极中心;头正面临向左边
图13显示了蒙太奇的跨膜电压的结果2。一片纵向通过向阳极运动皮层同侧,近似垂直于电场的主要路径,。拍摄角度是左后的头,头朝左。箭头(图(13日)定位运动皮层侧阳极,预期的动作电位的敏感性增加。结果显示= 1,10、20和ms。
(一) = 1女士
(b) = 10毫秒
(c) = 20女士
(d) = 50毫秒
多尺度模拟预测跨膜电压的增加后的运动皮层(图1 ms的tDCS治疗(13日))和美联社敏感性增加近7%在10毫秒(图可见13 (b))。蒙太奇的最大静止膜电压的增加发生在20 ms(图13 (c))。复极化发生的女士,在50微秒(图很可观测13 (d))。
蒙太奇1和2拥有类似的跨膜电压的趋势运动皮层区域。然而,模拟预测,蒙太奇1会增加这个地区的静止膜电压蒙太奇的大约1.5倍2。这种现象可以解释为电流的分布与蒙太奇1更局限于本地由于其电极距离,运动皮层(11]。支持这个解释是tDCS医学研究的观察研究从根本上与运动皮层特定应用程序使用蒙太奇1,而蒙太奇2也用于其他治疗集中[38]。
3.2.3。蒙太奇3
图14仿真结果显示表面电位和电场第三蒙太奇。显示病人的左乳突;一个相同的阴极侧乳突定位。电流和字段显示在一个横截面的中心阳极和阴极乳突。再次,当前在电极边缘达到极大值,skull-divergent和复杂的脑电场线。这些结果与那些由Laplace-based生成模型是一致的。
(一)在头表面电势
(b)电流密度和磁场流行一个平面相交的阳极和阴极电极中心;头正面临向左边
基于研究社区的建议,运动皮层刺激提高流动性和帕金森症患者运动功能(见部分2.5.2),我们首先研究了跨膜电压的增加在这一地区(图15)。一架飞机通过左侧初级运动皮层;从后面观察视角。运动皮层是箭头所示(图(15日)),结果显示= 1、10、20、50微秒。
(一) = 1女士
(b) = 10毫秒
(c) = 20女士
(d) = 50毫秒
增加运动皮质兴奋性在10毫秒(图可观察到的15 (b)),达到极大值在20 ms(图15 (c))。复极化后开始时间和在50微秒(图明显15 (d))。尽管增加静止膜电位的运动皮层是可见的在整个模拟中,增加低相比前两个蒙太奇。具体来说,美联社敏感性增加不超过2.0%,不到50%达到通过蒙太奇2和不到25%达到蒙太奇1。
接下来,增加膜静态电位在丘脑核和黑质区域(图16)检查,由于脑深部电刺激的结果研究确认,电刺激这些区域产量提高运动能力(见部分2.5.2)。冠状切片通过STN和SN地区显示,从后。结果再次显示= 1、10、20、50微秒。
(一) = 1女士
(b) = 10毫秒
(c) = 20女士
(d) = 50毫秒
静止膜电压的增加这些地区比这些更大的运动皮层,与蒙太奇美联社媲美的灵敏度值达到1和2。1毫秒的tDCS政府后,美联社敏感性增加STN和SN地区可见(图(16日))。10 ms(图16 (b)),美联社在这些地区敏感性接近4%。最大增加再次发生在20 ms(图16 (c)),经过20 ms膜电压开始再极化(图16 (d))。
这些三维数值试验进一步验证了多尺度模型的能力,准确地计算出电动电位和电流期间生成tDCS治疗。此外,使用一个MRI-derived头部几何和各向异性组织导率,多尺度模型的识别能力的大脑区域在tDCS静止膜电位升高的治疗方法已被证明有三个实际的电极配置。
4所示。结论
我们提出了一种新颖的多尺度模型的tDCS夫妻这个过程的数学神经功能。验证模型的几个测试用例与现有的模拟和比较医学研究结果。在所有这些实验中,多尺度模型准确模拟tDCS电动电位和电场。我们验证了模型能够正确识别那些已知的大脑区域被特定的电刺激,现实世界的tDCS电极蒙太奇。进一步,我们演示了模型的医疗适用性与模拟三维几何,来源于核磁共振数据,各向异性和非均匀组织导率。
据我们所知,本文提出tDCS的第一个多尺度模型和模拟,这有效的夫妻再功能tDCS治疗条件。此外,我们的模拟实现策略之间提供一个十字路口tDCS仿真和计算神经科学社区。在未来,我们打算提高忠诚我们的模拟更健壮,具体地点的神经元模型。我们还计划研究替代电极配置和最有效地执行这些模拟的数值方法。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者要感谢金融支持来自弗吉尼亚理工大学的开放获取援助基金和整个inuTech团队与Diffpack援助。