文摘

重复一个任意的射频脉冲序列和磁场梯度最终会导致在任何磁共振系统稳态条件。虽然数值方法可以量化这一轨迹,分析分析提供了更多的洞察力和快速计算的一种方式。最近,使用齐次坐标发表一个解析分析。当前的思想和工作进一步发展这一行比较的相对优势使用均匀或一个笛卡尔坐标系统。

1。介绍

最近的一篇论文Nazarova和Hemminga1]分析了重复相同的射频脉冲信号所使用一个基于齐次坐标的形式主义。与传统的笛卡尔坐标,齐次坐标放松治疗的方式类似于射频磁场诱导旋转,也就是说,通过矩阵乘法。射频脉冲信号重复相同的一个问题,最值得注意的是,在稳态自由旋进(SSFP)快速成像2)技术,缺乏梯度或射频破坏导致复杂动力学当重复时间<。形式主义也可以应用于任何重复的脉冲序列,比如,例如,出现在脉冲饱和磁化传递方法(3]。

在这篇文章中,我们将扩大工作Nazarova和Hemminga显示一个简单的方法来计算稳态磁化,我们将与齐次矩阵的性质和计算那些出现在更传统的笛卡尔磁化的代表。具体来说,我们明确地建立代数两个系统之间的关系,从而促进理解每个表示法的优点和缺点。我们将采用相同的符号Nazarova Hemminga,除了如上所述。

2。背景

考虑一个脉冲序列由射频脉冲和磁场梯度重复每一个秒(见图1)。磁化是传统的表示向量与平衡值和组件,,在旋转坐标系。射频脉冲磁场强度=和角频率抵消可以表示为一个吗旋转矩阵,在那里横向弛豫率和吗旋磁比。同样,共振岁差和放松的缩放效果也可以用矩阵表示。例如,旋进的磁化方向和衰变可以表示如下: 同样,一个梯度脉冲可以建模通过旋进的位置相关的。差别的影响放松一个非零的热平衡值不能被表示为一个矩阵。相反,它是相当于一个添加剂翻译。

Nazarova Hemminga用这种方法给磁化后的关系重复脉冲的设在: 在哪里磁化后的吗重复(初始条件=)。一般形式的任意脉冲序列的重复 请注意,标量只有当一个射频脉冲重复。

另一种方法是使用齐次坐标放松进入相同的方式做旋转: 现在是一个向量和组件,,1,是一个矩阵的左上部分匹配旋转和落下的石块上面所讨论的,其右一列表示放松对。例如, 和放松一段时间是由 在这个符号代表了 (注意修正Nazarova和Hemminga (6)和(7))。

3所示。均匀和笛卡尔表示

均匀和传统表示相同的基础数学,因此会给相同的结果。然而,他们之间的分歧在形式主义后果,计算时间少,他们提供不同的标记方法。

均匀情况下的解决方案 在哪里和是th特征向量和特征值,分别和相应的投影吗到。第二种形式的解决方案可以在两个方面:(1)通过重写作为的列是,是对角线元素,(与元素)=(2)通过重写作为和应用(4)次了。(注意,在Nazarova和Hemminga被称为)。

传统的笛卡尔情况下有更直观的解决方案(3): 的列的特征向量的对角矩阵的元素的特征值,(与元素)=。

通常,一个只关心稳态解,这是独立的解决方案和是接近。我们可以通过解决来解决这种情况当。均匀的符号(4), 也就是说,稳态解的特征向量与特征值= 1。

在传统的形式,我们再解决稳态解通过设置,这次是在(3): (另一种选择是采取在(9),由于放松术语对角线上)。自逆~维度³操作,而找到一个特征向量通过行减少需要~ 1/3尺寸³操作(4通过齐次方程),发现稳态可能会提供一个更有效的方法,尽管没有严格的评估计算时间。计算时间是通常不重要但可能在某些问题,如磁化传递参数的最小二乘拟合3]。

4所示。均匀和笛卡儿之间的关系表示

一般来说,的形式

因此,从这一形式

5。一个例子

考虑一个简单的例子:一个短(相对于)90°脉冲重复每一个秒。插图尽可能分析简单,我们假设和一个系统从热平衡。这给(从Nazarova和Hemminga修正) 在哪里和。我们可以解决使用(8),然后再转换回笛卡尔坐标,或者我们可以使用(13)和然后使用(10)。在数学的帮助下,我们得到了 在哪里(不要与旋磁比混淆)。注意,即使从复杂的特征向量和特征值,计算每一个,真正的组件。(我们选择的解决方案的形式,其连接(8是明确的。)的一个特征值= 1,对应的稳态解。以来的一个组件等于零,只有两个特征向量的贡献,从而确保坐飞机旅行当n增加。如果没有放松(),那么这个平面是垂直于稳定状态向量,可以看到通过稳态向量的点积和其他两个特征向量。(在这种情况下,“稳态”向量是从未达成,如下面所讨论的)。

如果不是,然后所有的组件是等于零。因此,一个额外的特征向量的贡献,和路径不再是平面。额外的特征向量是 与相应的特征值。由于这个特征值是真实的,它不能导致旋转轨迹,将所示。

6。数值方法

图2情节重复90°脉冲,,有两个不同的初始条件。图2(一个)说明了,当路径是一个平面螺旋,预期。当(通过磁化准备),围绕一个锥螺旋而不是包装。在图的正面视图2 (b)表明,螺旋旋转角速率,它遵循从额外的特征值是真实的。在图的条件3在图是一样的吗2除了。没有放松,没有腐烂,从来没有达到“稳态”解决方案;它是包含轨迹的垂直于这个平面。

7所示。讨论

齐次和笛卡尔坐标提供了两种等效方法的代表磁化。在脉冲重复实验中,齐次坐标导致一个简单的动态和稳态方程,但不直观的连接到测量磁化。选择使用哪个系统是最后一个的个人偏好。

确认

作者要感谢马丁理讨论关于稳态解。这项工作是支持范德比尔特大学医学中心发现格兰特。