使用多项式混沌不确定性量化模拟流行病

文摘

基于常微分方程的数学模型是一个有用的工具来研究流行病学的过程。许多模型考虑到参数确定的变量。但在实践中,传输参数出现大变化,不可能准确地确定他们,有必要引入随机性。在本文中,我们目前的多项式混沌的一个应用流行病学方法基于常微分方程的数学模型与随机系数。考虑到模型的传输参数的可变性,这种方法使我们能够获得一个辅助系统的微分方程,然后综合数值获取第一输出的二阶力矩随机过程。基于多项式混乱的灵敏度分析方法也用于确定哪些参数对结果影响最大的。作为一个例子,我们将该方法应用于一个肥胖流行病模型。

1。介绍

流行病学基于常微分方程的数学模型通常用于了解疾病的传播的过程(1]。这些方程的系数在传统上被认为是确定的,也就是说,他们被认为是已知的和没有变化;见,例如,(2,3]。然而,在许多情况下,用随机系数方程更适合于在描述实际行为的数量比确定性系数。因此,考虑随机性尤为重要。概率描述提供了一种更自然的和现实的写照。此外,在多个不确定参数的情况下,概率方法是必要的,以避免不合理的保守主义。

微分方程的部分或全部系数被认为是随机变量,或者将随机效应(通常是白噪声的形式)已经越来越多的使用在过去几十年里处理错误和不确定性[4,5]。

蒙特卡罗方法(6,7)已经使用了多年来执行模拟当随机效应。他们是简单的实现和理解但需要很多实现由于其收敛速度慢,因此往往是昂贵的。开发和使用其他方法,例如,时刻的方法(8,9[]和多项式混沌方法10,11)和引用。时刻方法近似使用泰勒级数扩张对输入参数的平均值。一阶矩的确定性价值输出参数获得的意思是输入,而评估高阶时刻需要计算的敏感性。这种方法的缺点是,它本质上是有限的小扰动;它也变得复杂超出二阶扩张(4,12]。在多项式混沌方法是更容易构造方程高阶表示在任何顺序基本上是相同的区别只在于术语的数量被认为是和相同的形成相应的确定性方程。所以不需要开发新的算法和数值方法。高阶时刻易于接近,光谱收敛的随机近似保证可获得高精度即使少量的条款[12,13对计算结果)。另一种方法是添加白噪声条件,从而获得一个随机微分方程系统,看,例如,(14,15流行病模型应用程序。离散人口,模型也可以加入随机性。例如,微模型(16,17)可用于个体之间的相互作用由随机参数模型。

在本文中,我们将使用多项式混沌方法与随机性,研究这种类型的流行病学模型由于其简单性。可以计算成本高如果被认为是许多随机参数,并使用高阶扩张。但在我们的问题并不是这种情况。多项式混沌方法应用于系统的常微分方程和随机方程是基于扩大随机系数和未知变量的正交多项式的随机变量。例如,如果一个随机系数的正态分布,应该使用埃尔米特多项式因为他们形成正交以正态分布为基础的重量。这些扩张代替微分方程,和正交性用于获得系统的微分方程形式一样的确定性模型未知系数的扩张。这些方程可以解决使用相同的数值方法用于确定的情况下。节中给出更多细节3。作为一个例子,我们分析常微分方程组的时间演化与随机传输参数用来理解一个肥胖流行病。确定版本的肥胖被认为是[提出了数学模型18]。

这个多项式混沌技术允许我们考虑到流行病学模型中的传输参数是随机变量和获得疫情的发展及其预测考虑这些随机性的影响。此外,随机的影响传播的量化参数对响应的流行病学模型的方差也可以分析计算多项式chaos-based Sobol指数。这些指数是基于方差的分解输出的每个输入变量的贡献的总和。考虑这个分解,Sobol指标允许我们量化定义的速度方差相关的每个参数和输出的总方差。

因此,这种方法是有用的预测流行病的发展考虑随机性的影响和量化的影响的随机传输参数对流行进化(敏感性分析)。

本文的结构如下。节2,一个测试对肥胖流行病的数学模型进行简要描述。多项式混沌方法提出了部分3。部分4致力于数值结果。最后,结论。

2。流行病学模型

疾病的经典模型动力依靠系统的微分方程,将不同类别的个体数量通过连续变量允许人口密度无限小。这些模型通常的起源追溯到著名先锋Hethcote[工作1]。在这工作,他们获得流行阈值结果,易感人群的密度必须超过一个临界值为了传染病疫情发生。

一些这种类型的模型的假设:(i)的个体数量的增加没有绑定马尔萨斯的方式;这是由一个线性项。(2)疾病(交通的影响受感染的人口)是由非线性建模成正比受感染的和未感染人群。(3)死亡率导致指数衰减和由一个线性建模。

2.1。肥胖模型

超重的人口正在以令人担忧的速度增长在发达国家和发展中国家20.]。肥胖症已经成为一个严重的健康问题,不仅从个人卫生的角度也从公众的社会经济,并认为肥胖是最高优先级的研究,评估其重要性并提出有效的策略,以转化这一趋势在未来几年。

肥胖模型用于目前提出了多项式混沌方法的可能性在18了解肥胖症流行的动态。这个模型被定义为个人24岁- 65岁。他们分为三个亚种群使用他们的身体质量指数大小(),体重公斤,身高(米::正常体重的人():超重的人(),肥胖的人()。这些不同的亚种之间的转换是通过下面的微分方程组来描述(周),时间: 这个方程组的时不变参数如下。(我) :速度一个肥胖与健康的生活方式成为一个成人超重个体。(2) :系统的平均停留时间24 - 65岁的成年人。(3) :速率超重个体体重正常的子总体中移。(iv) :传输速率由于社会压力采取不健康的生活方式(电视,朋友,家人,工作,等等)。(v) :速度一个超重的24 - 65岁成人成为肥胖个体的不健康的生活方式。(vi) :正常体重的比例个人来自23岁年龄组。(七) :超重的比例个人来自23岁年龄组。(八) :肥胖者的比例来自23岁年龄组。

这些参数的值为该地区的瓦伦西亚(西班牙)是由健康调查地区的瓦伦西亚,西班牙,2000年和2005年(19发表的一份技术报告)和Arrizabalaga et al。21]。更精确地说,我们考虑到每周的平均体重增长24 - 65岁的成年人在瓦伦西亚,和个体的平均时间需要他/她停止运动后重新开始。此外,我们认为,一个超重的人需要24周从肥胖超重的族群,身体活动和健康的营养习惯。我们向他们展示在表1。更详细的参数估计[18]。

参数,,可以解释为两个亚种群之间的运输周期的平均长度()。注意运输期限长度分组人口通常假定遵循一个指数分布22]。

系统的初始条件也定义为健康调查地区的瓦伦西亚,西班牙,2000年。在这种情况下, 在瓦伦西亚的地区,人口是正常体重的52.2%,36.2%是超重的人口,11.6%是肥胖人群在2000年。

请注意,考虑到模型的微分方程(1(表),参数值1),和上面所示的初始条件,我们可以预测未来几年的肥胖发生率。

3所示。随机传输参数和多项式混乱

有必要引入随机性模型(1),因为涉及的参数有一定程度的不确定性,由于采样、舍入和其他错误。我们考虑的传输参数模型(,)与某种概率分布的随机变量。个人的比例来自23岁组()将不会被认为是随机的,因为他们可以更精确地确定比上述参数。方程还需要初始值的三个亚类,。这些值也可以确定比传输参数,精度,因此,不被认为是随机的。在这两种情况下(个体的比例来自23岁组和模型的初始值),估计的值考虑样本的代表性的瓦伦西亚人口4319人。此外,,,,,,是由给定的人口,我们正在研究,和我们感兴趣的是调查的影响传输参数对未来值的变化这三个亚类。所以只有考虑到传输参数是随机的,我们考虑不确定性的最大来源,同时保持模型相对简单。

在很多情况下,可用数据点的数量非常小,所以它不可能建立分布满足的随机参数的类型。这也是真正的在我们的案例中,传输参数的数据点的数量非常稀少,不可能有一个良好定义的类型的分布。在这项工作中,我们只有一个值的信息来估计参数的概率分布,显示在表的值1。我们没有很多信息。因此,我们认为noninformative分布,均匀概率分布。是说在23,24),这是一个习惯性考虑数学模型的参数估计,当我们没有很多信息。表2显示详细信息传输参数的概率分布。请注意,对于每个参数,值,统一的最大似然估计(0,)最大的样本被认为是,那就是,唯一值的样本参数的已知值。在这种情况下,每个参数的期望值是一半的已知值。因此,如果我们认为统一定义的分布(0,2 *),我们有它的预期值是参数的已知值。

因此,我们认为模型的传输参数,是随机变量,根据结果一个实验,,,,,人口,然后成为随机过程也依赖时间25]。

为了执行动态模型的数值模拟(1),,,和,估计各种解决方案的时刻,,,,我们应用广义多项式混沌方法26,27]。

在这种情况下,可以安排在一个序列多项式混沌,这样的扩张中出现的随机传输参数和随机过程扩展数学模型(模型(1)与随机传输参数)采用以下形式: 在哪里正确选择多项式基函数的随机变量向量的一些组件,和变量的数量代表了混乱的维数(即。,输入随机参数的数量)。

在本文中,由于传输参数的概率分布是均匀见表2,我们已经用勒让德多项式和扩展作为一个向量与四个组件,每个组件是一个随机均匀变量的变化范围。考虑的正交基函数和截断多项式混沌序列的有限数量的条款将导致一个辅助常微分方程组的管理混乱的时间演化系数肥胖模型与随机传输参数的解决方案。在本文中,我们将使用一个多项式混沌方法的两个基于勒让德多项式(这意味着我们将用勒让德多项式二度),和混沌维数是4(我们考虑四个输入随机参数:,,,)。因为有十五勒让德多项式的程度小于等于两个使用选择的四个变量(0,4度的有一个多项式的程度,每一个人、四度一分之二变量,每一个为每个(,),6二度的两个变量,每一个为每个(,),),用多项式混沌的数量扩张(截断)未知的随机过程等于十五。总的来说这个数字在哪里最大程度的使用的多项式,是随机参数的数量(和在这个工作)。这与增加数量增长非常快和,这是一个原因选择两个的顺序混乱。一个更重要的原因是,在27]一些流行病模型的比较做了订单的影响的解决方案。那里显示,虽然订单是不准确的,混乱或秩序2和3产生相似的结果。一个好的参考说明这些假设,认为有关多项式的顺序混乱扩张(26]。

为例如,混乱扩张将采取以下形式: 第一个系数的表达式,代表输出随机过程的一阶矩;和勒让德多项式的一个选择组件的向量。更精确地说,

一个合适的随机传输参数的描述混乱的独立变量,,,必须考虑所有可能的这些参数之间的相关性。因为我们假设四个独立随机变量传输参数,它们中的每一个可以扩展的功能只有一个变量,,,。因此,其扩张只能两个如下。 请注意,,每个传输参数的一阶的时刻。

我们现在准备开发中使用的微分方程数值研究。考虑到方程的数学模型(1),引入多项式混沌扩张,我们得到这些方程。

考虑到我们定义模型在受限制的地区参见[18),我们可以考虑,那么只需要处理两个方程的系统;例如,第二个和第三个,然后确定从。这个选项也被认为是多项式混沌的方法。

对于符号的便利,我们考虑一个勒让德多项式之间的一一对应(2)和。然后,例如,可以写成。现在,考虑到这个新的符号,引入多项式混沌扩张,最后方程和随机传输参数(1),我们获得以下表达式:

获得系统的常微分方程未知的未知系数只有一阶导数每方程,利用基函数的正交性。特别是,的内积(7)功能的基础()的结果 请注意,被定义为,是统一的概率密度函数。

第二个方程的系统(1)的等价表达式(8)如下:

方程(8)和(9)是一种非线性系统的常微分方程的未知数和。这个系统(辅助系统)将使用显式龙格-库塔法进行数值求解。通常感兴趣的数量是第一和第二的时刻。第一个时刻,或期望,,正如我们所提到的和。通过计算。二次矩的计算(方差)将在下一节中给出。

4所示。敏感性分析:多项式Chaos-Based Sobol指数

灵敏度分析也是为了执行量化输出不确定性由于随机性的传输参数。使用多项式chaos-based Sobol的指标。这种方法是基于方差的分解输出的每个输入变量的贡献的总和,或其组合[28,29日]。

为了计算敏感性指数基于多项式混沌输出的扩展随机过程有必要考虑这些扩张的系数,也就是说,,。事实上,初等数学运算需要计算Sobol指数从这些扩张系数。

背后的理念建设的多项式chaos-based Sobol的指数很简单:一旦多项式的混乱表示输出随机过程可用(膨胀系数是已知的,即。系统的解决方案(9)是已知的),响应扩张系数仅仅是收集根据每个基多项式的依赖,square-summed和规范化。例如,多项式chaos-based Sobol指数这解释了参数的影响在随机过程,,可以计算如下:

请注意,,正交多项式参与的定义参数(在本例中,参数),的系数是混乱的扩张过程相关定义的正交多项式:随机变量用于定义。考虑到,和计算。总方差的价值,,可以从扩张系数计算得到微分方程组(8)和(9)。在这种情况下,方差如下:

注意,分子(10)是一个多项式函数取决于所有随机变量我们正在分析相关的随机传输参数,,只有在他们身上。

5。结果

5.1。数值模拟

图1显示了肥胖子总体中获得的结果用勒让德混乱。显示为虚线。本文和下一个数字,我们还阴谋标准差区间,即绘制曲线,,,分别。请注意,对于一个固定的值,(,),例如,一个置信区间。

图2描述了正常体重超重和对未来几年(直到患病率,2015年)。和也显示为虚线。的一些数值代表人物1和2展示在表3。

我们可以观察到多项式混沌方法量化输出不确定性将输入参数的随机性。由二阶矩定义输出的置信区间评价允许我们预测疫情演变与精度比确定性方法。描述的是(18),我们可以注意到该地区肥胖症流行的瓦伦西亚,西班牙正在增加。表4显示与固定参数和结果允许我们比较这些结果和预测由多项式混沌方法(表3)。

5.2。敏感性分析

图3显示参数的影响,,,分别在肥胖人口的预测。看着贡献,很明显,流行进化(即。的变化,)取决于运输超重人口肥胖人口。因此,如果我们假设传输参数导致大变化输出(肥胖患病率在未来几年)定义更好的选择来控制肥胖,我们可以得出结论,预防战略相关的超重人口可以最优政策应对疫情。

6。结论

在本文中,我们展示了多项式混沌的可能性相关流行病学模型。表明多项式混沌可以是一个有用的工具来考虑随机性的影响对流行病的发展和执行敏感性分析(通过多项式chaos-based Sobol指数)为了提出最优政策以控制疫情。

作为一个例子,我们学习了一个肥胖模型。以往社会流行病模型,传输参数参与这些类型的数学模型不能确定完全正确,有必要引入随机性。在这个工作中,被认为是随机性的传输参数,以及由此产生的随机系数微分方程组解决了大约使用多项式混沌的方法。

,我们展示了如何应用多项式混沌方法流行病学模型允许我们确定疫情演变与现实主义比确定性方法。因为在这种情况下,可以定义一个置信区间的流行进化。此外,考虑这种方法,敏感性分析(一种有用的工具为政策制定者和健康规划者)很容易执行。敏感性指数基于多项式混沌扩张可能没有额外成本计算。

我们所知,这工作是第一个多项式混沌的应用流行病学方法模型基于常微分方程虽然证据发现的方法比较适合用于流行病的研究。

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