扩展有限元法和简化的球函数近似向前的光学分子成像模式

文摘

扩展有限元法(XFEM)的3 d模型光学分子成像是发达与简化的球函数近似()。在XFEM方案方程,签署了距离函数是用来准确地代表内部组织边界,然后它是用于构造丰富有限元基函数的方案。因此,有限元计算可以耗时而进行的内部边界网格生成。此外,要求过于细孔符合复杂的组织边界,导致多余的时间成本是可以避免的。XFEM便利的应用与复杂的内部组织结构,提高了计算效率。幽灵鼠标和数字实验验证了该方法的效率。与标准有限元方法和经典蒙特卡罗(MC)方法,验证结果表明的XFEM光学成像的优点和潜力。

1。介绍

光传播模型在生物组织光学成像的基础。向前一个精确的模型是重要的位置和量化目标分布领域的光学成像模式,如扩散光学断层扫描(点),荧光分子断层扫描(FMT),生物发光断层扫描(BLT),和切伦科夫发光断层扫描(此时)[1- - - - - -5]。发射光子的传播所代表的组织能够精确辐射传递方程(RTE)或蒙特卡罗(MC)模型,但计算复杂度非常高。因此,光学成像领域的常用数学模型是RTE扩散近似(DA)。然而,可以使用DA模型只有在高度生物组织的散射特性,不适合真正的老鼠和复杂的内部组织。之间达成妥协的准确性和效率,简化球函数近似(RTE)是使用由于其能力改善transport-like解决方案域高吸收和小几何图形(6,7]。

由于复杂的曲线几何图形与生物相关的组织,经典的有限元方法(FEM)近似成为光学成像的必要,特别是对于异构组织(8- - - - - -10]。有限元法方案,该地区异构组织分为小四面体元素。四面体元素的线性函数用于标准有限元基函数需要组织一个元素的同质性。优良的三角形网格之间的两个组织必须符合复杂的内部边界为确保有限元法的计算精度。然而,内部边界网格的生成是一个努力工作和耗时的任务。此外,细网格有限元计算收益率多余的成本,特别是在在三维空间中近似。幸运的是,扩展有限元法继承了所有标准有限元法的优势和免除内部边界网格生成。因此,extend-finite单元法(XFEM)可能处理好三角形网格生成的问题。

XFEM首次介绍了文献[11),它有许多应用领域的力学[11,12]。我们所知,它并没有被使用近似光学成像。在这项研究中,我们建立XFEM的数学框架近似的光学模型。具体地说,没有内部边界的网格构造是受雇于XFEM方案。四面体的顶点之间的距离关系和真正的组织边界是反映在一个签署了距离函数用于构建丰富的基函数。然后浓缩功能添加到标准有限元基函数,因此标准近似离散有限元因此“丰富”的区域(通常是减少内部组织边界)的兴趣。的弱形式方程,采用高斯求积计算积分,建立了线性系统方程。结果,计算XFEM没有可进行耗时的内部边界网格生成。此外,要求过于细孔符合复杂的组织边界,导致多余的时间成本是可以避免的。XFEM便利的应用与复杂的内部组织结构,提高了计算效率。数值实验和一个幽灵和一个数字异构老鼠进行了对该方法的性能进行评估。结果与标准有限元方法和MC方法演示XFEM的效率。

本文组织如下。节2使用XFEM求解的详细过程方程推导。节3,我们评估该方法的性能比较与标准有限元方法和MC方法在实验中,并展示该方法的效率。在上一节给出结论和讨论。

2。方法

2.1。近似

的一般形式方程和其光学成像三维边界条件是(13]: 在哪里是复合RTE的光芒的时候,,,,,,表示有关的系数,,,为方程的每一点在该地区或边界。这些可以吸收系数的计算、散射系数各向异性参数,折射率。内部来源,它代表了生物发光BLT或荧光团和FMT来源。是代表外部源点和FMT的外部激光源。代表单位法向量外边界。

退出部分电流可以从组织边界探测器读数吗可以通过CCD相机在实际应用程序中,我们一般配方: 在哪里和的系数可以计算吗方程。的详细推导过程(1)- (2)指的是文学13]。

2.2。扩展有限元离散化

的方程及其边界条件可以用伽辽金有限元解决方案,的弱形式方程可以写成: 在哪里和系数矩阵对吗和。是测试函数,它是一样的标准线性基函数在元素中。在三维有限元分析,四面体元素在数值计算已成为流行,因为他们的能力来描述复杂的几何图形,如异构组织。因此体积域离散成小四面体元素,以及元素需要符合内部组织边界如图1(一)和1(b)。当内部边界不光滑,元素的大小必须足够小,以确保准确性和网格生成和由此造成的困难导致巨大的计算负担。在XFEM框架中,网格生成区域包括许多不同的组织,和“削减”实际的组织边界元素丰富如图1(一)和1(c)。使用丰富的基函数由签署的距离函数,边界可以确定。

2.3。丰富的策略

XFEM方案,签署了距离函数是用来描述不同组织的内部边界。签署了距离函数的定义是 在哪里内部边界的点吗,是签署了函数,表示单位法向量外内部边界,如图1(a),离散点之间的位置关系和连续边界完全反映功能。

丰富的基函数签署了距离函数组成四面体元素的节点可以推导出,连续吗是离散值的节点。浓缩功能引入不连续梯度的光芒或光学参数的分布丰富的,因此下面的积分函数更精确的线性基函数: 在哪里的线性基函数是四面体元素。使用丰富的基函数,丰富了近似可以写成下面的形式: 在哪里传统的近似和吗节点的数量。是扩展近似,是丰富的自由度,是丰富的节点数。很明显,包括作为一个特例,每个元素有富集八自由度。重写扩展线性基函数和离散点的值以矩阵形式,我们获得 在哪里和有组件的每个变量方程。这种形式可以直接使用有限元矩阵组装。

2.4。积分和系统矩阵

有限元离散化的矩阵形式的 方程(3)可以写成: 在哪里表示在该地区的所有元素,变量和,每一个都有组件总根据(7)。在左边的系数矩阵是小元素矩阵,可以写在细节: 在哪里和是相应的矩阵元素的在(7在有限元)。在元素的数量是4个点。同样的,正确的是

在有限元框架中,为了便于计算,假设被积函数连续,可以使用高斯求积。在本文中,一方面,完全可以获得积分的标准线性元素。另一方面,二阶高斯求积有四个正交分采用其余丰富元素显示在图2。高斯求积公式在标准的元素是 在哪里是一般的被积函数,和所有的系数是0.25,高斯求积点作为显示在图吗2。

对被积函数,丰富的函数的积分可以计算的线性基函数,在高斯点是一个常数如下:

合并(7)和(8),组装矩阵的所有元素(8),在使用高斯求积计算丰富的元素(9),线性系统方程建立方程,可以重写的矩阵形式: 在哪里是一个矩阵,其中包括行和列,是未知的包括组件和源项包括吗组件。获得(13),而不是在(2)。表面探测器读数之间的线性关系和源或建立了。

提出问题的目的是让表面探测器读数之间的关系和内部来源。一般和特定的比较,相关系数众所周知均相对数值误差的都是定义为定量评估的性能XFEM或有限元法在粗网格的有限元在细网格上: 在哪里是计算XFEM或有限元法,由有限元计算在细网格上。采样点的数量,和的平均值在(14)。= 1演示了两个数据是相同的归一化后,可以用来评估两个数据之间的亲密度。同样,通过替换为在(14)和(15),平均相对误差数值和相关系数XFEM和有限元法对MC方法可以得到评估。

3所示。结果与讨论

3.1。常规的幻影试验与标准有限元相比

验证进行了研究使用圆柱形幻影的30毫米高度和10毫米半径模型鼠标。它包括椭圆体或圆筒代表组织的鼠标,如图3(一个)。实心球体的半径1毫米和0.238西北/毫米³功率密度集中在(3 5 0)对肺内。从文献[相关光学参数14表中列出1。数值模拟进行比较的标准有限元方法和XFEM方程。包含3459个节点的粗网格没有内部网格边界生成用于XFEM和另一个包含3573个节点粗网格有限元法如图3 (b)和3 (c)。因为世代交替的幽灵很难得到精确的解析解,细网格上的有限元法可以得到相对准确的解决方案根据经典有限元分析: 在数值解有限元法的收敛于精确解随着网格大小减少。我们选择在细网格有限元的结果包含12312个节点作为比较标准的。有限元程序和XFEM被编码在MATLAB桌面电脑(英特尔(R) CPU E5430 @ 2.66 GHz Xeon (R) 2,和8 G RAM)。

345插入点的值是零在幻表面均匀采样。选择细网格上的有限元法作为标准,退出部分电流的绝对值在采样点按升序排列。然后XFEM的结果和有限元可比粗网格上这些采样点可以通过插值获得。扩散的比较结果,,近似是显示在图4(一),4 (b),4 (c),分别。虽然曲线波动引起的离散误差,结果有相似的趋势。很明显,XFEM粗网格上的蓝色曲线更接近于有限元法的绿色曲线细网格的有限元法在粗网格上。与有限元法相比,DA XFEM接近1,,0.94、0.95和0.90。这两种方法进行比较网甚至略低的XFEM粗网格节点(3459)。因此解决方案使用XFEM接近真正的解决方案。的XFEM是14%,15%,16%,比有限元法小得多的是31%,22%,22%,达,方程分别。结果列在表中2使用两个评价指标演示了该方法的有效性方程。此外,它表明XFEM优于XFEM的标准有限元方法和解决方案更接近真正的解决方案方程。

3.2。数码鼠实验与蒙特卡罗方法

在这个实验中,一个数字组成的异构鼠标从CT和cryosection数据采用多个器官XFEM的性能进行评估。鼠标如图5(一个)(15]。一个圆柱体半径0.8毫米,1.6毫米的高度,和0.311西北/毫米³功率密度集中在肝脏内(12、7.5、50.5)。器官在670纳米波长的光学参数计算的文献[14就业和表所示3。实验使用XFEM粗网格,在细网格有限元法,和古典MC方法。表面探测器读数用MC方法实现了从摩斯16使用500万个光子)。因为之间仍有错误方程和MC描述光传播,同时XFEM与有限元相比,MC。

如图4 (d)很明显,蓝色和绿色曲线吻合较好。考虑结果之间的差异和方程非常小,为了简单起见,只结果呈现在图6。使用有限元表面的绝对值,XFEM和MC方法吻合较好和有相似的趋势。详细比较,用非零值521点鼠标表面取样,然后这些点的表面价值使用三种方法获得的插值,如图7。选择MC方法作为标准,平均相对误差数值和相关系数XFEM和有限元法对MC方法得到和表所示4。的和有限元法的44%和0.86,而XFEM是45%和0.93。几个模块,执行特定的计算时间计算任务,网格生成矩阵组装和解决者。自从XFEM没有复杂的网格生成的有限元法,矩阵组装和解决者的总时间成本考虑的比较。很明显,XFEM只有367秒的时间成本在粗网格的有限元与类似的2675秒精度的结果。两种方法的所有时间成本远低于MC方法。XFEM有截然不同的力量在成像过程中效率,这使它更实用。

4所示。结论

我们得到了扩展有限元法提出模型的近似的三维光学成像。考虑到几何对象比较复杂,需要有罚款网符合内部边界。和网格构造是一个困难的问题在有限元法的预处理,而且标准有限元在细网格上近似成本太多尤其是高阶近似。幸运的是,XFEM可以处理这个问题。XFEM包括标准有限元法作为一种特殊的情况下,不需要一个接口或任何边界网格的几何表示。使用签名的距离函数添加到标准的基函数,节点的数目可以保持不变。接口可以描绘的丰富功能,同样的解决方案方程更准确。

通过数值实验验证了XFEM。幻影实验及其结果进行同意与众所周知的经典有限元法。此外,与有限元法相比,XFEM可以得到更精确的结果甚至略粗网格,这是接近细网格上的有限元法。数码鼠实验进一步表明,XFEM优于标准的有限元法。MC法评估该方法性能。使用XFEM虽然相对误差和相关系数对MC方法与标准有限元,XFEM的时间成本大大减少由于采用粗网格元素。所有这些表明,XFEM更适合方程特别是复杂异构组织。

自适应有限元方法通常采用效率高(17,18]。但几乎所有的自适应方法是基于网格细化这是极其复杂的特别是在三维空间中。XFEM也可以被看作是一种自适应有限元方法,因为它增加了内部边界附近的自由度在使用固定的网格,因此可以避免网格细化。因此每个自适应级别的过程简化和计算成本却降低了。此外,提出的离散化误差模型改进,这是重要的量化重建。XFEM重建算法可能会提供一个潜在的工具。

确认

这项工作是支持的项目中国国家基础研究发展计划(973)资助下不。2011 cb707702下中国的国家自然科学基金批准号。81090272,81101083,81101084,81101100,81000632,和30900334,国家重点技术支持项目批准号2012 bai23b06,陕西省自然科学基础研究计划下的中国批准号2012 jq4015,中央大学基础研究基金。

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