文摘

作为流体测量技术和计算机模拟方法继续改善,人们越来越需要数值模拟方法可以吸收实验数据到模拟数学上在一个灵活的和一致的方式。感兴趣的问题是左心室血液流动的模拟与实验提供的数据同化的微气泡超声成像的血液。加权最小二乘有限元方法,因为它允许数据同化非常灵活的方式,以便准确的测量与数值解更紧密地匹配不准确的数据。这种方法应用于两个不同的测试问题:一个灵活的皮瓣,流离失所的液体喷射和猪左心室血液流动。通过调整如何紧密模拟与实验数据相匹配,可以观察模型中潜在的错误因为没有实验数据仿真的仿真数据有很大区别。另外,实验数据的同化可以帮助模拟捕捉某些小的影响实验中,而不是直接在仿真建模。

1。介绍

血液流动的物理心脏的左心室历来研究使用实验测量流属性(例如,超声波或磁共振成像)或计算流体动力学模型。实验方法通常仅限于获得流信息只有少数空间位置和使用时间上属性。计算模型需要假设在数学领域界限,包括数值近似误差和模型误差。然而,在许多情况下,需要有更全面的空间和时间提供的数据计算流体动力学结合实验提供的数据测量。加权最小二乘有限元法(WLSFEM)是一个计算建模方法,使实验数据同化到模型在一个灵活的框架,这样数值近似匹配更精确的实验数据,同时,没有被污染,吵着实验数据中的错误。应用这种方法模拟左心室血流的检查。

以前使用的一种方法,获取实验在左心室血流数据是超声心动图粒子成像测速技术(PIV) (1- - - - - -7]。对于这种方法,介绍了微型气泡进入血液,他们使用2 d成像亮度(B)模式超声波扫描。这些图像获得的速度大约60帧/秒,微泡浓度保持足够低,可以跟踪单个气泡之间的帧。使用互相关分析,粒子之间的位移可以计算两个图像序列,分割后的图像之间的时间跨度,PIV软件可以计算出两个切向速度组件在成像平面。回声PIV一直作为研究工具来使用了近十年,和它验证了多个研究小组1,7]。回声PIV提供的流速数据是有用的,但有一个强烈的兴趣使用数据来确定流量属性信息,如压力梯度和粘滞能量损失。问题是,计算这些或任何其他额外的流动性能,需要完整的三维速度数据。回波的数据PIV被限制在一个二维平面。因此,2 d超声波扫描只提供2组件的三维速度场。

回声PIV方法互补,可以允许3组件的近似的三维速度场是使用计算流体动力学模拟左心室血液流动。大量的计算模型已经开发了专门模型心脏的血流量(出口的。,(8,9)和引用)。许多这些模型还预测心脏壁的运动和模拟血液供交互(例如,[10- - - - - -12])。与大多数计算流体动力学边界条件的实施方法,如有限元或有限体积方法,是通过强烈的执行速度(即。,完全匹配实验速度数据)离散化网格内节点或网格13,14]。有两个问题强有力的执法实验数据的节点:(1)实验数据可能不知道确切位置的节点网格点所以某种类型的插值是必需的,和(2)错误的实验数据将传播整个3 d域和污染数值近似在所有节点在整个计算域(15]。我们需要的是一种计算流体动力学方法,可以吸收速度数据域的任何地方,不只是在计算节点,这种方法可以用加权弱执行实验数据是不同的根据实验数据的准确性。

在前面的纸,我们开发了数据同化的WLSFEM求解偏微分方程时,包括稳定的n - s方程(15]。本文扩展了工作在许多不同的方法,这样的方法可以应用于模拟左心室的血液流动使用echo PIV数据。最大的变化是由于这样的事实,我们现在有一个移动的流体域所以pseudosolid域映射处理变形流体网格技术开发。我们已经开发出的数学方法,在下一节中描述的数值实现。这种方法应用于两个不同的例子的问题:移动挡板和左心室的血液循环问题。

2。方法

感兴趣的物理现象通常由偏微分方程建模。特别是不可压缩牛顿流体由navier - stokes方程建模,这通常被认为是适合建模心脏的血流量(16,17),是由: 在哪里是无量纲速度,是无量纲压力,雷诺数。应该注意,雷诺数不是只写在粘性或对流项,因为它通常是,但方程是相反了,雷诺数出现在这两个术语。navier - stokes方程通常被认为是适合模拟心脏的血流量(16,17]。WLSFEM首先定义新的变量,这样所有的二阶方程可以写成一阶方程组。有许多不同的选项可用于重写navier - stokes方程一阶系统,和这个选择可以显著影响产生的离散近似的性质(18- - - - - -20.]。对于感兴趣的特定问题,准确的质量守恒的重要性,所以修改后的涡度的方法是使用[21]。这种方法首先定义一个新的变量,称为涡度, 另一个新变量,,通过 这通常被称为总压强的梯度。使用这两个新的变量,navier - stokes方程(1)可以写成以下一阶方程组: 在最小二乘有限元方法中,这个方程组是扮演一个基于功能的优化问题: 在哪里是我²在3 d流体域和规范是加权L²规范沿着二维边界表面()或2 d表面,PIV数据给()。PIV平面是一个简单的二维截面通常有点接近中间的三维域(),其他边界()都是表面的三维域。加权L²规范,使用边界表面,是一个近似的H^1/2(即规范,减少振动组件。相对于H,嘈杂的组件)^1/2规范(22]。的函数,,给定的边界或PIV数据,也就是说,是弱匹配的数值近似解。例如,将表面沿无滑动边界位移速率。这个函数只是沿着边界设置在正常的涡度,如沿着墙壁。也是直接执行这些数据强烈有限元空间,这样就完全匹配的近似解,但这并不是一个最优策略如果数据包含错误,通常适用于实验数据。最后,PIV数据,,可以是2 -或三维数据,但PIV方法通常限于提供二维数据,这是重点。PIV的空间位置数据不需要一样的计算网格节点的位置。计算域内的数据可以位于任何地方。

边界功能权重,和,应选用重量值较大的地区,给定的数据,,更准确和更小的地区数据包含更多的噪音。沿着心墙,例如,我们知道,流体速度等于墙的速度,但墙的位置是未知的,正是因此仍有一些错误。在感兴趣的问题,此外数据比边界数据通常包含更大的错误,所以我们所期望的,这将导致一个近似解,更紧密地匹配边界数据比PIV数据。在[15)结果表明,边界功能重量应该选择的 在哪里是给定的标准偏差数据。为了简化这个过程,我们通常设置边界功能重量1.0最精确的边界数据,然后其他边界功能权重设置相对于最准确的数据。涡度通常是确定的速度数据,和边界条件对涡度与速度的精度数据加权一致。

建模时左心室血液流动,或任何固耦合问题,流体域的形状也在不断变化。有许多数值策略解决域形状变化,包括新网格的生成每个时间步或网格映射使用方程(如温斯洛发生器(23,24]。另一个简单的方法是解决可压缩流体弹性问题域和使用解决方案的弹性问题有限元网格的节点。这种方法通常被称为pseudosolid域映射技术(25,26]。线性,可压缩弹性方程可以写成 在哪里位移和一般设置为1.0,是一个蹩脚的系数和泊松比有关。类似于navier - stokes方程,这个方程还必须被重写为一阶方程组矩阵通过定义一个新的变量,,等于的梯度。完整的一阶系统 在哪里的跟踪。方程的一阶系统结合功能 在哪里是给定的边界位移。重要的是要注意,将有限元网格可以创建一个额外的人工对流,必须从实际的对流速度减去navier - stokes方程(25]。

WLSFEM有数量的计算和算法优点的问题求解navier - stokes方程和pseudosolid域映射方程与同化数据:(我)它提供了巨大的灵活性在处理实验数据的附加条件,包括重量数据基于实验数据的准确性,也就是说,准确的数据可以加权和匹配更密切的CFD的解决方案而不准确的数据只是松散和CFD近似匹配;(2)最小二乘的数学框架最小化导致对称正定矩阵,一般允许有效解决代数多重网格(27];(3)功能本身提供了一个自然的锋利的局部误差估计量,从而使有效的自适应细化(28,29日]。

为了解决最小二乘问题,功能方程()第一次线性化的解决方案可以使用高斯牛顿方法找到。最小二乘弱形式转化为一个线性方程组,选择有限元的基础上。这里给出的结果都能利用triquadratic有限元的基础上。WLSFEM允许解决方案空间变量的独立选择,并且没有严格的稳定条件(即。,inf-sup条件)来满足30.]。因此,所有变量的再形成navier - stokes方程或线性弹性方程可以近似相同的基础。

所有模拟都使用ParaFOS代码执行,由作者写的。从腕尺进口六面体网格网格生成的代码包(桑迪亚国家实验室)。然后有限元网格分区使用美逖斯图分区库(31日]。软件被设计为运行在分布式内存集群使用MPI库进行通信。在每个高斯牛顿一步生成的线性矩阵问题是解决使用hypre解决图书馆(应用科学计算中心的劳伦斯利弗莫尔国家实验室,看到32])。具体来说,BoomerAMG平行代数多重网格解算器作为预处理共轭梯度迭代。

3所示。结果

测试WLSFEM移动域和PIV数据同化的问题,两个不同的测试问题研究。第一个问题是一个灵活的皮瓣转移的液体喷射,和光学PIV用于获取实验数据。第二个问题是一个模拟左心室血流的猪使用echo PIV数据。这个第二个问题的主要动机是这里所描述的数值建模方法的发展。

3.1。移动瓣

醋酸纤维素的实验仪器包括皮瓣(取自一个上空透明度),固定的一端和放置在一个15.4厘米的立方体装满水和对比剂粒子(图1)。离心泵是用于生成水的喷射直径2.2厘米的200毫秒的时间。可以找到更多细节关于实验装置(33]。数值模拟,实验系统nondimensionalized和仿真运行使用一个基于入口管直径的雷诺数为1000,这是足够小,以确保不存在动荡的影响。

样本图像的移动瓣实验如图1和速度数据从PIV数据分析获得覆盖图像。因为实验使用光学PIV技术,种子颗粒的液体中可以看到。这个模型来模拟实验中,立方域使用六面体的有限元素,网状皮瓣无流动或静止位置是定义为一个二维表面内的立方体积。襟翼的位置在不同的时间点在实验的实验可以确定用于PIV分析的图像。在每幅图像的皮瓣与5阶多项式插值,而这些多项式被用来指定位移WLSFEM瓣表面的模拟在每个时间步。瓣表面移动,pseudosolid域映射技术用于变形有限元网格的襟翼运动(图2)。澄清,仿真模型没有固体皮瓣因为实验数据是用于指定襟翼的位置,但仿真包括皮瓣在流体的影响通过流体的边界条件(即。瓣表面,无滑动边界条件)。其他边界条件用于模拟无滑动边界条件在墙上的立方域表面除了正确的域,将自然边界条件,因为实际实验系统允许流出沿着这表面。入口速度被设定一个抛物面总流量等于实验测量流量。

WLSFEM算法是基于隐式时间步进,所以从数值稳定的角度来看,任何时间步长可用于仿真。在这里,我们使用相同的时间步长仿真可以从PIV数据,20毫秒。这意味着PIV数据可以在每一个时间点的模拟。如果一个模拟使用更多的时间比可从PIV数据步骤,然后一些模拟时间步长不能使用同化PIV数据或他们必须使用插值PIV数据。基于误差估计的实验和PIV软件,边界功能的重量被用于大多数模拟。这意味着PIV数据有一个标准的错误类似于皮瓣位移率估计和流入速度估计。图2显示了模拟预测的速度沿着一个平面三维域在两个不同的时间点。具体来说,可视化平面是相同的平面PIV数据平面(召回PIV数据通常局限于一个平面),此外数据之间的差异和仿真预测显然可以看到。速度场的模拟预测类似于原始的PIV数据,但它也包含高频变异(即较少。PIV的仿真数据同化了平滑速度场)。

很难定量比较仿真预测和没有PIV数据包括在内,但其中一个措施就是计算速度的大小在沿着表面每个节点(在这种情况下,PIV表面)和金额大小。图3显示了这个“总速度”为不同的值在每个时间步。高速度爆发在一开始当泵打开,然后总速度降低,直到飞机领域扩展到更大的部分。当,没有PIV数据包含在仿真,和总速度往往是在每一个时间步的最低水平。作为增加,总速度沿着PIV飞机似乎收敛值略高。的原因总速度边界数据的增加体重增加是更多的高频变化从PIV数据出现在仿真结果。如果同样的比较为飞机以外的PIV飞机,结果定性相似,但速度有和没有的区别PIV数据进一步抑制了PIV的平面平面。这显然是由于这一事实进一步的PIV飞机的速度是越少受到PIV数据。

3.2。左心室

左心室的PIV数据仿真得到在先前的研究使用一个打开胸腔猪(4,34,35]。PIV数据得到一个更高的时间分辨率(大约60 Hz)比仿真时间步长(50毫秒),所以只有一个子集的PIV数据对应于所使用的仿真时间步。一个典型的超声图像如图的实验4,这张照片是在舒张末期阶段(即。充盈期结束的附近)。血液中的微气泡出现白色斑点在这个形象,和泡沫出现由于散射比实际尺寸要大得多。超声波探头放置心外膜顶端的心,和大多数的左心室扫描区域内是可见的。缺乏数据扫描区域以外不担心因为WLSFEM可以包含任何数据可用,它没有最小数量的数据要求。泡沫的速度数据来自PIV分析运动图所示4 (b)。的流入左心房上可见域的一部分,和一个漩涡的中心附近可以看到域。在收缩,血液通过流出道和主动脉,驱逐部分捕获图像的左上角的域。

WLSFEM仿真所需的左心室心墙被指定的位置。左心室是假定half-ellipsoid几何,这是一种常见的几何近似(36- - - - - -38,心墙的运动是基于测量心脏的射血分数和运动中观察到的超声波扫描。墙上的运动仿真有点扭曲,上表面不允许移动,这样横截面积的进口(二尖瓣)和出口(主动脉瓣)可以保持不变。这个限制可以放松在未来越来越多的实验数据。血液速度沿着入口指定基于PIV数据,出口流量并没有指定(自然边界条件设置在插座)。沿着心墙,速度使用无滑动边界条件(即成立。,流体速度等于墙位移速率)。仿真是基于无量纲的n - s方程,雷诺数是基于数据从猪实验设置为1000。

仿真开始在心脏舒张期,心室的充盈,速度在一个平面上(PIV飞机)在舒张早期图所示5。心墙只有少量移动在这一点上的模拟,而且大部分的血液流动仍在入口附近位于右边的上表面。模拟运行与和探索包括PIV数据之间的差异和不包括数据。2.0意味着PIV的重量数据实际上比速度更准确的数据沿着墙壁,这是不准确的,因为墙位置不准确,和入口,这也是基于PIV数据但更远的超声波探头。在早期的时间点如图5,只有微小的差异在仿真PIV数据包括或不包括在内。看来PIV数据可能有较小的速度远离入口,但是这些差异仍然非常小。

PIV数据有更大的影响在之后的时间点仿真。图6显示仿真结果在左心室舒张末已经停止灌装。仿真没有PIV数据,图所示6(一),有一个非常弱的漩涡上心室的中心,但速度相对较慢。这个漩涡已被确定为潜在的重要的心脏的高效泵(4,39]。当PIV数据融入模拟(图6 (b)与,我们看到一个更强的涡流和更多的混乱流动。看来,事情可能会缺少纯数值模型数据(PIV)导致更高的速度旋涡。有很多可能的原因,但我们只会讨论我们认为是三个最有可能的解释。首先,仿真不包括二尖瓣,拖曳力应用于阀皮瓣的血液可能会导致更强的涡流比会观察到没有阀门。这是一个非常有趣的结果,因为它表明,通过适当地将实验数据合并到一个模拟,我们可以捕捉效果(如阀门或身体运动)常被忽视的简化数值模型。第二种可能性是,估计雷诺数较低和仿真应该运行在更高的雷诺数较大的惯性力。模拟运行雷诺数为2000和没有PIV数据显示比图稍强的涡流6(一),但它还不是如PIV数据的图,它是不可能证明雷诺数估计的一倍。第三种可能性是,左心室的理想化的几何(half-ellipsoid)导致有些在之后的时间点不准确的流场。

4所示。结论

吸收实验数据计算模拟的挑战非常普遍。感兴趣的普遍问题就是求解navier - stokes方程在一个移动域利用额外的实验数据所提供的PIV实验。特别是,我们的目标是模拟左心室的血液流动的同化和包含二维回波PIV数据使用微气泡。这里使用的WLSFEM尤其适合数据的同化灵活性的问题,因为合并加权根据精度的实验数据。准确的数据可以与仿真结果密切匹配,不准确的数据并不是密切匹配。WLSFEM方法证明了在两个不同的测试问题:(1)皮瓣,流离失所的液体喷射,和(2)左心室血液流动的猪。通过应用PIV数据不同的权重,可以观察定量仿真没有PIV数据之间的差异和仿真相匹配的PIV准确数据或多或少。这些比较可以揭示等模型的不准确不准确的物理边界条件或失踪。PIV的公司可以帮助模拟的数据捕获一些影响没有直接建模。例如,在左心室模型给出,二尖瓣不是直接建模,但阀的影响血液流动可以部分通过结合PIV仿真数据捕获。 There are other methods for incorporating experimental data into a numerical simulation, but the WLSFEM method is a flexible and efficient option for this class of problems.

确认

这项工作是由NSF资助dms - 0811275和空姐医学研究所。