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计算和数学方法在医学
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计算和数学方法在医学/2011年/文章

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研究文章|开放获取

体积 2011年 |文章的ID 452320年 | https://doi.org/10.1155/2011/452320

m . Kolev Zubik-Kowal, ”数值解的模型组织入侵和肿瘤细胞的迁移”,计算和数学方法在医学, 卷。2011年, 文章的ID452320年, 16 页面, 2011年。 https://doi.org/10.1155/2011/452320

数值解的模型组织入侵和肿瘤细胞的迁移

m . Kolev1和 b . Zubik-Kowal2

1大学数学系和计算机科学Warmia Mazury, Zolnierska 14日,10 - 561,Olsztyn,波兰

2博伊西州立大学数学系,1910年大学开车,博伊西,ID 83725,美国

收到了 2010年1月15日
接受 2010年7月18日
发表 2010年12月30日

文摘

本文的目的是构建一个新算法的数值模拟肿瘤浸润和转移的进化。通过数学模型方程及其数值解我们研究肿瘤细胞如何产生和分泌基质降解酶,降解细胞外基质,入侵由于扩散和haptotactic迁移。数值模拟的肿瘤细胞之间的相互作用和周围组织,我们应用数值近似,幽灵般准确的和基于少量的网格点。我们的数值实验说明肿瘤细胞的转移能力。

1。介绍

分析获得的数据从世界卫生组织(世卫组织)1)和联合国(2)数据库显示,目前,癌症,可能仍将是全球主要的死亡原因(3- - - - - -5)是仅次于心血管疾病。根据世卫组织提供的数据,癌症疾病的原因,大约每年有六百万人的死亡1]。这就解释了对抗恶性条件的重大意义,其中包括预防(6],治愈[7,8),和癌症的研究。

肿瘤的发展是一个非常复杂的多步骤过程涉及许多细胞内和细胞外的现象强烈非线性和时变4,9- - - - - -11]。基因组变化以及微环境等因素细胞外基质(ECM)、各种生长因子和基质浓度已被证明在致癌作用的过程中发挥着重要作用(12]。

一般来说,肿瘤可分为良性的和恶性。良性的肿瘤是自限性和细胞的生长倾向于呆在同一个地方。恶性肿瘤可能会没有限制和其组成细胞容易迁移或转移到其他部分的生物13- - - - - -15]。恶性肿瘤的能力入侵当地组织和传播整个有机体是他们最阴险的和危险的财产。转移是大多数癌症死亡的主要原因14,16,17]。

转移的过程包括血管生成和入侵。肿瘤血管生成(快速增长附近的血管肿瘤细胞)是诱导分泌的各种生长因子如血管内皮生长因子(VEGF)。这些血管促进所需的氧气和其他营养物质的大量涌入癌症的发展(18]。血管生成的过程是紧随其后的是癌细胞的入侵和渗透到周围组织,可能传播肿瘤细胞通过血管。因此,肿瘤细胞可以被带到一个遥远的地方。在那里他们可以植入和启动二次肿瘤的发展14,16,19]。癌症的一个重要的角色在这个过程中入侵是由基质降解酶(md)如metallo-proteases(基质金属蛋白酶)。他们是由肿瘤细胞,消化ECM,使癌细胞的迁移通过组织(13,14,17]。

在过去的半个世纪,许多数学模型描述的过程tumourigenesis一直积极研究的主题。数学和计算方法有助于澄清的因素足以解释实验和临床数据,在精确的术语和定义这些因素表明实验的计算这些因素(20.]。此外,分析和模拟的数学模型被用于减少所需的大量的昂贵的实验疗法的发展(21,22]。强烈认为,数学和计算方法将在癌症研究中扮演了一个重要的角色在未来。他们可能改善的理解一些复杂的特性和肿瘤演化的细节以及有效地用于临床实验室,通过适当的基于模型的决策支持系统(4]。我们参考读者特殊问题(23- - - - - -27]更完整的参考书目关于数学和计算方法的应用到癌症研究。

Gatenby和Gawlinski礼物的第一个模型的肿瘤入侵在报纸上(28,29日]。Gatenby [28]认为健康之间的竞争(肿瘤)细胞和宿主细胞和修改建议和分析几种模型制定的常微分方程。Gatenby和Gawlinski29日]目前调查的反应扩散模型的作用引起的微环境的改变酸度癌细胞的入侵机体。随后,一系列的文件等(30.- - - - - -43),出现提供模型和详细分析癌症入侵的各种特征。在本文中,我们研究了连续模型的无血管的肿瘤生长调查牧师et al。(cf,例如,(31日,34- - - - - -37])。本系列的第一个模型提出了安德森et al。31日]。作者考虑的三个主要变量参与癌症入侵的过程中,即癌细胞,ECM, md。为了详细研究主要周围组织的影响在肿瘤细胞的迁移过程,后者的扩散不包括在连续介质模型。分析数值在一个和两个维度的影响ECM梯度造成的破坏ECM身边和癌症趋触性入侵的作用。这个模型提出了牧师的延伸和安德森(34)考虑氧气的作用作为一个肿瘤细胞的营养。作者还提出一个新的模型方程内源性抑制剂,如组织抑制基质金属蛋白酶,能中和md。我们在模型(包括这个方程8),参见2在下面。牧师和安德森的模型34)进一步发展了萝拉(37),牧师和萝拉35,36)认为术语描述趋化作用,癌细胞扩散和ECM的重建。萝拉(37)检查各种连续体模型,特别是合并只是趋化作用的影响,和趋触性,以及他们的组合,等等。作者的结论之一是趋化作用的机理没有趋触性不能导致癌症入侵成功如果没有肿瘤细胞的扩散和ECM的重建。进一步小说常微分方程描述癌症细胞增殖和细胞外基质的重塑重建功能允许的纤溶酶原激活物循环模型中包含的牧师和萝拉36]这也调查uPA系统癌症入侵的作用。uPA抑制剂和胞浆素也被调查了在模型中由牧师和萝拉(35]。清晰和生物过程的详细描述观察到的在癌症入侵和转移提供了(31日,34- - - - - -37]。特别是,在这些论文中,转移级联的关键阶段,结构和功能的主要成分ECM和基本医学的代表参与健康和癌症细胞之间的相互作用是系统地介绍了广泛的理论和实验的基础上,参考书目。

在我们的论文中,我们提出一个不同的数值方法所使用的方法,例如,在[31日,34- - - - - -37]。这篇论文的目的是获取数值结果基于少量的空间网格点应用于数据的模型方程,这样低维向量用于制造快速数值计算。我们构建一个系统的新算法(31日,34,36,37)通过使用幽灵似地准确近似术语模型肿瘤细胞随机蠕动,趋触性,身边的扩散,扩散的内源性抑制剂。由于算法计算光谱精度的解决方案,它是基于少量的空间网格点比大量的网格点用于精确的有限差分近似越少(策略应用,例如,在31日,34- - - - - -37),因此可以节约计算时间。使用少量的空间网格点的想法和保存时间计算一组参数的一个解决方案,需要反复多次对很多集,是很重要的,例如,对于数值实验进行的目标从实验室数据估计参数值。这个想法是应用在44)来估计模型的参数值在[36,37)从在活的有机体内实验数据(45)开发利用转基因小鼠模型。数值方法(44)是基于不同的近似haptotactic术语比本文中使用的近似和我们的数值方案构造系统模型的各种变体和归纳研究[44]。此外,由于考虑边界条件的不同变体方案本文不同于论文的(44]。

另外提出的模型(36,37和应用于44),在本文中,我们探讨其他模式,提出了在34)或组合模型的方程(34,36,37]。此外,在[44),实验室数据的定量评估的参数值(45),这样的解决方案与数据模型的方程。相反(44),在本文中,我们选择参数值定性为了观察和比较解决方案和不同的参数计算。这种比较可以分析的影响参数对解决方案的形状,我们得出这样的结论:复杂的肿瘤细胞之间的相互作用,ECM, md,内源性抑制剂可以直接通过选择参数值。我们发起一系列数值模拟获得的解决方案与选择的参数值(34)(比较),接下来,我们逐步改变的值和分析他们的影响的解决方案。动画图形可视化的解决方案以及如何根据参数有助于改变观察的影响参数对解的形状。使用少量的空间网格点的想法和节省时间的计算解决方案模型方程的有效利用是至关重要的,例如,可以使用动画模拟肿瘤,临床应用的预测和可视化工具。减少大量的空间网格点用于这样的可视化节省不仅示威活动的时间也计算机内存。不可能在论文演示动画模拟,我们只注意他们是有趣和帮助在复杂的生物过程的可视化。而不是动画模拟我们在不同的时间阶段包括快照。

本文的内容如下:部分中描述的模型方程2,该算法中引入部分3,数值实验的结果和模拟4,部分5包括我们的结论和未来的研究工作。

2。数学模型

在本节中,我们研究各种模型的组织癌细胞的入侵。节2.1,我们调查的牧师和安德森模型(34)关注ECM之间的相互作用和癌症肿瘤和转移性肿瘤细胞的能力。节2.2,我们调查的进一步扩张模型及其与附加条款的不同版本与肿瘤细胞的扩散,ECM更新,不同的功能造型生产的md肿瘤细胞。部分2.3处理一个更一般的模型与一个额外的方程,它描述了进化的内源性抑制剂。

2.1。Cell-Matrix相互作用和细胞迁移

在下一节中,我们构建了一个数值方案组织入侵模型如下: = 2 2 − , = − , = 2 2 + − ( 1 ) 与空间变量 属于扩展域 ( 0 , 1 ] 的组织,和时间 。模型方程(1)描述肿瘤细胞之间的相互作用,md, ECM。相互作用的变量 肿瘤细胞密度, ecm密度, -MDEs浓度。系统(1)详细推导34),是一个更一般的一部分系统组成的(1)和一个额外的第四个方程内源性抑制剂浓度用 。在[34),人们认为肿瘤细胞,md,抑制剂仍在空间域和零边界条件。第四个方程内源性抑制剂浓度下降的额外假设负面影响下内源性抑制剂由医学博士在一个积极克服入侵肿瘤。这个假设意味着 = 0 和一般的四个方程组是降低(1)。节2.3与所有四个方程,我们研究模型。

2.2。肿瘤细胞的迁移和增殖,ECM更新,和身边的生产

我们也调查的进一步扩展模型(1),介绍了为例,在36,37]。添加后扩散项 1 ( 1 − − ) 等式的右边调节肿瘤细胞运动(第一个方程(1))和ECM更新项 2 ( 1 − − ) 等式的右边的ECM(第二个方程(1)),我们获得以下模型: = 2 2 − + 1 ( 1 − − ) , = − + 2 ( 1 − − ) , = 2 2 + − , ( 2 ) 在哪里 1 肿瘤细胞的增殖率和吗 2 ECM的增长率。

我们也与下面的修改(实验2): = 2 2 − + 1 ( 1 − − ) , = − + 2 ( 1 − − ) , = 2 2 + ( 1 − ) − , ( 3 ) 身边的生产建模是在哪里 ( 1 − ) 。选择这种形式的动机的身边的生产36,37]遵循从实验观察极化入侵前缘的md肿瘤的表达,看到的,例如,Estreicher et al。46]。

我们研究模型方程(1),(2)和(3)辅以零边界条件 ( 0 , ) = ( 0 , ) ( 0 , ) , ( 0 , ) = 0 ( 4 ) 在 = 0 和狄利克雷条件 ( 1 , ) = 0 , ( 1 , ) = 0 ( 5 ) 或零边界条件 ( 1 , ) = ( 1 , ) ( 1 , ) , ( 1 , ) = 0 , ( 6 ) 在 = 1 。在[34),我们假设初始肿瘤集中在 = 0 ,最初的身边浓度初始肿瘤细胞密度成正比 1 / 2 比例常数,和身边已经退化的ECM,因此我们考虑相同的初始条件(34),如下: ( , 0 ) = e x p − 2 , ( , 0 ) = 1 − 0 。 5 ( , 0 ) , ( , 0 ) = 0 。 5 ( , 0 ) , ( 7 ) 为 ∈ ( 0 , 1 ] 。模型方程的参数值中指定的部分4。

2.3。生产的内源性抑制剂

我们另外考虑通用模型 = 2 2 − + 1 ( 1 − − ) , = − + 2 ( 1 − − ) , = 2 2 + − − , = 2 2 + ( , ) − − , ( 8 ) 最后方程描述了进化的内源性抑制剂(浓度是用 )。这个方程是第四个方程模型(10.5)提出的牧师和安德森(34),据推测内源性抑制剂作为响应是由ECM md和函数 ( , ) 抑制剂的生产模式。这个词 中和md和模型 模型衰变的抑制剂。我们假设初始抑制剂浓度 ( , 0 ) = 0 ( 9 ) 并实行零边界条件 ( 0 , ) = ( 1 , ) = 0 。 ( 1 0 )

我们的目标是构建一个新的有效算法求解模型(1),(2),(3)和(8),研究肿瘤细胞产生和分泌能力的身边,然后降解ECM,让细胞开始迁移到健康的部分组织。

3所示。建设数值近似肿瘤细胞,ECM, md

在本节中,我们构造数值解模型方程(1),(2)和(3)加上初始条件(7)和边界条件(4)和(5)。数值的解决方案,我们认为Chebyshev-Gauss-Lobatto点 = 1 2 − 1 2 c o 年代 , + 1 ( 1 1 ) 与 = 0 , 1 , … , + 1 在扩展域 ( 0 , 1 ] 的组织。我们的目标是构建近似 ( , ) , ( , ) , ( , ) ,因为 = 0 , 1 , … , ;解决方案的价值 + 1 是已知的(5)。

让 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ( ) = 0 , 1 ⋮ , ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , , ( ) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 , 1 ⋮ , ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , , ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ( ) = 0 , 1 ⋮ , x ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , , ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ( ) = 2 2 0 , 2 2 1 ⋮ , 2 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , , ( 1 2 ) 我们使用类似的符号 和 。我们将更换空间衍生品(1)通过数值近似向量的构造 ( ) , ( ) , ( ) , ( ) 在第一个方程和 ( ) 在第三个方程。为 ( ) ,我们使用以下可怕地精确的近似 ≈ , + 1 = 0 , , , ( 1 3 ) 与 = 0 , 1 , … , + 1 ,在那里 = , + 1 , = 0 ( 1 4 ) 一阶微分矩阵基于点(11),[47,48]。我们还应用类似幽灵似地精确的近似 ≈ , + 1 = 0 , , , ≈ , + 1 = 0 , , ( 1 5 ) 为 ( ) 和 ( ) ,分别。

因为的精确值 ( / ) ( 0 , ) 是由(4),近似(13在第一点不需要) 0 ,也就是说,第一个组成部分 ( ) 。因此,从(13),第一个近似(15), 和 = 0 从边界条件,(4)和(5我们获得 ( ) ≈ 0 ( 1 ) ( ) + 0 , 0 ( ) 1 , ( 1 6 ) 在哪里 0 ( 1 ) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 ⋯ 0 1 , 0 1 , 1 ⋯ 1 , ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ , 0 , 1 ⋯ , ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , 1 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 ⋮ 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , 0 ( ) = + 1 = 0 0 , 。 , ( 1 7 ) 从(13)和(16),我们获得以下近似的二阶导数 ( ) ≈ ( 1 ) ( ) + + 1 ( ) ≈ ( 1 ) 0 ( 1 ) ( ) + 0 , 0 ( ) 1 + + 1 ( ) , ( 1 8 ) 在哪里 ( 1 ) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 , 0 0 , 1 ⋯ 0 , 1 , 0 1 , 1 ⋯ 1 , ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ , 0 , 1 ⋯ , ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ , = 0 , + 1 1 , + 1 ⋮ , + 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , + 1 ( ) = + 1 = 0 + 1 , 。 , ( 1 9 )

我们现在构建近似 ( ) , ( ) , ( ) , ( ) 。从幽灵似地精确的近似(15)和(4)和(5我们获得 ( ) ≈ ( 1 ) ( ) + + 1 , , ( 2 0 ) ( ) ≈ 0 ( 1 ) ( ) 。 ( 2 1 ) 根据(20.),我们有以下近似的二阶导数 ( ) ≈ ( 1 ) ( 1 ) ( ) + + 1 , + + 1 ( ) , ( 2 2 ) 与符号 + 1 ( ) = + 1 = 0 + 1 , 。 , ( 2 3 ) 从(21)我们有 ( ) ≈ ( 1 ) 0 ( 1 ) ( ) + + 1 ( ) , ( 2 4 ) 类似的符号 + 1 ( ) = + 1 = 0 + 1 , 。 , ( 2 5 )

我们现在更换空间衍生品模型中(1通过相应的近似。我们应用(18),(16),(20.)和(22)的第一个方程(1),获得其离散版本写在下列表格 ( ) = ( 1 ) 0 ( 1 ) ( ) + 0 , 0 ( ) 1 + + 1 ( ) − 0 ( 1 ) ( ) + 0 , 0 ( ) 1 ⊙ ( 1 ) ( ) + + 1 ⊙ , + ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) + + 1 , + + 1 ( , ) ( 2 6 ) 在哪里 ⊙ 代表两个向量之间的特定组件的乘法。第二个方程的离散版本(1)是书面形式 ( ) = − ( ( ) ⊙ ( ) ) ( 2 7 ) 从(24),我们获得以下第三个方程的离散形式(1) ( ) = ( 1 ) 0 ( 1 ) ( ) + + 1 ( ) + ( ) − ( ) 。 ( 2 8 ) 由此产生的系统(26)- (28)是由 3 + 3 常微分方程和semidiscrete版(1)。请注意,由于空间衍生品(1)与光谱近似精度,网格点的数量小得多 (需要26)- (28比有限差分方案),较小的系统集成和时间比时间更健壮、更高效的有限差分系统的集成。

对模型(2)和(3)补充(4)和右边边界条件(6),这是不同于(5),我们需要应用不同的近似比(16),(18),(20.)和(22),其中包括(5),而不是(6)。对于这个问题,从(13),而不是(16),我们得到 ( ) ≈ ( 1 ) 0 0 ( ) + ( 0 , + 1 ) , ( 2 9 ) 在哪里 ( 1 ) 0 0 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 ⋯ 0 1 , 0 1 , 1 ⋯ 1 , ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ , 0 , 1 ⋯ d , ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , 0 0 ⋯ 0 ( 0 , + 1 ) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 ( ) 0 0 ⋮ 0 , + 1 ( ) + 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ 。 , ( 3 0 ) 进一步,从(29日),我们得到 ( ) ≈ ( 1 ) ( 1 ) 0 0 ( ) + ( 0 , + 1 ) 。 ( 3 1 ) 在(13)和(15),这个向量 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ℋ ( ) = 0 , 0 , 1 , 1 ⋮ , , ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , , ( 3 2 ) 我们获得的近似haptotactic术语 ℋ ( ) ≈ ( 1 ) ( ) ⊙ ( ) ( 3 3 ) 而不是(24从(),6),我们得到 ( ) ≈ ( 1 ) 0 0 ( ) 。 ( 3 4 )

从(29日),(31日),(33)和(34的问题(),我们获得以下方案3),(4)和(6) ( ) = ( 1 ) ( 1 ) 0 0 ( ) + ( 0 , + 1 ) − ( ) ⊙ ( ) + 1 ( ) ⊙ ( − ( ) − ( ) ) , ( ) = − ( ( ) ⊙ ( ) ) + 2 ( ) ⊙ ( − ( ) − ( ) ) , ( ) = ( 1 ) 0 0 ( ) + ( ) ⊙ ( − ( ) ) − ( ) , ( 3 5 ) 在哪里 是一个向量都是1 s的条目。(2),组件 ( ) ⊙ ( − ( ) ) 需要取而代之 ( ) 在过去的方程(35)。从边界条件(10),我们获得近似扩散的内源性抑制剂 ( ) ≈ ( 1 ) 0 0 ( ) ( 3 6 ) 和最后一个方程(semi-discrete版本8)写在下列表格 ( ) = ( 1 ) 0 0 ( ) + ( ) − ( ) ⊙ ( ) − ( ) , ( 3 7 ) 我们假设抑制剂生产模仿 ( , ) = 。semi-discrete方程必须关闭由初始条件选择根据(7)和(9)。

4所示。数值实验

我们应用近似中引入部分3和开始的一系列数值模拟(26)- (28),它对应于模型(1)。给出了数值实验的结果数据1- - - - - -6。我们使用参数值 = 0 。 0 0 1 , = 0 。 0 0 1 , = 0 。 1 , = 0 , = 0 。 0 1 ,不同的值 和 标题中指定的数据。

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图1
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图2
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图3
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图4
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图5
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图6
1 4 5 7 5 进化时间:肿瘤细胞密度(a), ECM密度(b),和身边的浓度(c)解决方案。),(),(),(与参数值如图)。

我们应用 = 3 0 32个网格点 中给出的数值实验数据1- - - - - -4。集成的系统的时间(26)- (28)基于32网格点是0.22秒来计算数据中提供的数值解1和2和0.38秒来计算数据的数值解3和4。对数字5和6,我们应用 = 4 3 网格是45分,在这种情况下,集成的时间(26)- (28)是0.35秒。

数据1,3,5在时间和数字显示的快照2,4,6显示肿瘤细胞的连续进化时间,ECM,和身边的,他们的相互作用 在空间域。中给出的数值结果数据1和2获得了 = 0 。 0 0 5 和 = 1 0 参见[34,图10.2)。数据的结果3和4获得了 = 0 。 0 1 和 = 1 0 。

两个不同的数字集群的肿瘤细胞1和3在 = 1 和 = 1 0 。数值结果表明,新的集群,在未见 = 0 ,出现在 = 1 和 = 1 0 ,创建的前缘肿瘤的扩散和haptotactic迁移模型由两个组件从右手边的第一个方程(1):随机运动 Δ 2 和钎性 − Δ ⋅ ( Δ ) ,分别。自 更大的图3比图1,因为大haptotactic迁移图3比图1如图,两个集群3比这两个更分开集群图吗1。图片显示趋触性的影响。一小群细胞,肿瘤脱离主体,说明潜在的癌细胞降低周围组织,迁移,并启动转移级联。小簇的迁移可能无法发现在医学治疗的过程,甚至是主要的肿瘤切除术后,新的小集群可能引发疾病的复发。一个新的集群的肿瘤细胞脱离主体的肿瘤也观察到的数据5和6目前的数值数据计算 = 0 。 0 2 和 = 2 0 。

我们的数值实验涉及的下一部分模型(2)和(3)辅以(4),(6)和(7)。结果模型(2介绍了数字7,8,11,12和模型(3)的数据9,10,13,14。这些实验从初始条件(7)对应的快照时间 = 0 在图1。我们观察到癌细胞的小集群分离肿瘤主要有更好的形成 = 2 比在 = 1 一起随着时间演化haptotactic迁移生产新的癌细胞扩散的肿瘤的形状 域。我们还观察到时间的快照 = 1 在数据1,7,8类似于对方和模型(1),(2)和(3)给类似的结果 ∈ ( 0 , 1 ] 尽管他们是辅以不同的边界条件,(5)或(6),解决了用不同的参数 1 , 2 ∈ { 0 , 0 。 1 , 0 。 5 } 和 ∈ { 0 , 0 。 0 7 } 。然而,这些相似之处只观察到 ∈ ( 0 , 1 ] 随着时间的演化模型的相应的解决方案(1),(2)和(3)不同于对方。例如,已经在 = 2 ,图8显示肿瘤细胞的生产比图7。此外,在 = 1 0 和 = 2 0 ,图7显示较弱的身边的生产和生产的肿瘤细胞和ECM大于在图1由于这一事实 1 , 2 , 更大的在图7比图1。另一方面,也在 = 1 0 和 = 2 0 ,图8显示了身边的生产比图1。虽然 = 0 。 0 7 对图8和 = 0 对图1更大的图,因为身边的生产8比图1,身边的浓度更大的图8比图1因此ECM降解更进步的图8比图1。它也可以观察到,虽然参数 , , 在第三个方程(1)和(2对数字)是相同的1,7,8身边的曲线显示,不同身边的浓度在所有这些数据。

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图7
2 4 6 7 = 0 。 0 0 5 = 1 0 1 = 0 。 1 2 = 0 。 5 = 0 。 0 7 肿瘤细胞增殖、迁移、ECM重建和肿瘤及周围组织之间的相互作用:肿瘤细胞密度(固体),ECM密度(虚线),和身边的浓度(dashdot)。解决方案(),(),(),()参数值,,,,。
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图8
2 4 6 7 = 0 。 0 0 5 = 1 0 1 = 0 。 5 2 = 0 。 1 = 0 。 0 7 肿瘤细胞增殖、迁移、ECM重建和肿瘤及周围组织之间的相互作用:肿瘤细胞密度(固体),ECM密度(虚线),和身边的浓度(dashdot)。解决方案(),(),(),()参数值,,,,。
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图9
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图10
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图11
2 4 6 7 = 0 。 0 1 = 1 0 1 = 0 。 1 2 = 0 。 5 = 0 。 0 7 肿瘤细胞增殖、迁移、ECM重建和肿瘤及周围组织之间的相互作用:肿瘤细胞密度(固体),ECM密度(虚线),和身边的浓度(dashdot)。解决方案(),(),(),()参数值,,,,。
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图12
2 4 6 7 = 0 。 0 1 = 1 0 1 = 0 。 5 2 = 0 。 1 = 0 。 0 7 肿瘤细胞增殖、迁移、ECM重建和肿瘤及周围组织之间的相互作用:肿瘤细胞密度(固体),ECM密度(虚线),和身边的浓度(dashdot)。解决方案(),(),(),()参数值,,,,。
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图13
3 4 6 7 = 0 。 0 1 = 1 0 1 = 0 。 1 2 = 0 。 5 = 0 。 0 7 肿瘤细胞增殖、迁移、ECM重建和肿瘤及周围组织之间的相互作用:肿瘤细胞密度(固体),ECM密度(虚线),和身边的浓度(dashdot)。解决方案(),(),(),()参数值,,,,。
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图14
3 4 6 7 = 0 。 0 1 = 1 0 1 = 0 。 5 2 = 0 。 1 = 0 。 0 7 肿瘤细胞增殖、迁移、ECM重建和肿瘤及周围组织之间的相互作用:肿瘤细胞密度(固体),ECM密度(虚线),和身边的浓度(dashdot)。解决方案(),(),(),()参数值,,,,。

在数据7- - - - - -10,我们观察到的差异由于身边的生产条件 和 ( 1 − ) 在(2)和(3),分别。图的参数值9图是一样的吗7和图的参数值10图是一样的吗8但身边的生产较弱的图9比图7也较弱的图10比图8。身边的浓度数据9和10更均匀地分散在吗 域比数据7和8。此外,数据9和10说明系统(3)模型减少身边的生产作为肿瘤入侵的进展,因此少身边的浓度在肿瘤细胞密度高的地区位于(可能在这些地区已经完成他们的肿瘤细胞入侵由于缺乏空间和搬到其它地区)比欠发达地区的入侵阶段。这表明,癌细胞可能不需要医学博士在他们处理缺乏空间的地区。观察到类似的特性数据11- - - - - -14从主肿瘤,集群分离比数字更深刻7- - - - - -10。相同的参数值被用于图11至于图13和相同的参数值被用于图12至于图14。数据11和12说明数值解(2),而数据13和14说明数值解(3)。的比较数据11- - - - - -14证实了这个词 ( 1 − ) 在(3身边的产量低于术语)模型 在(2)(参数值相同)。我们也观察到,因为身边的生产较低的数字13和14比数据11和12,ECM降解小数字13和14比数据11和12。

图15显示的快照时间的四个解决方案更一般的模型(8)描述肿瘤细胞之间的相互作用,ECM, md,内源性抑制剂。所有四个资料显示,随着时间的发展,ECM产生内源性抑制剂,浓度增加时间和较高的浓度位于ECM的地区还没有完全退化而非退化的地区已经有效地发展。抑制剂概要文件显示,ECM响应产生内源性抑制剂的md。

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图15
8 4 6 7 9 10 = 0 。 0 0 5 = 1 0 1 = 0 。 5 2 = 0 。 1 = 0 。 0 7 = = = 0 。 0 0 1 = 0 。 0 5 = 0 。 0 3 = 0 。 0 7 肿瘤细胞密度(固体),ECM密度(虚线),身边的浓度(dashdot)和内源性抑制剂(虚线)。解决方案()和(),(),(),(),()和参数值,,,,,,,,。

5。结论和未来的方向

我们构造了一个新的数值算法快速计算解决方案的牧师等人提出的数学模型(34,36,37),其中包括系统的非线性偏微分方程描述肿瘤细胞之间的相互作用,ECM, md。算法是基于幽灵般精确的近似和少量的网格点,其结果常微分系统的小尺寸和快速计算。我们提出的算法和应用,比较了数值模拟的模型方程。模拟表明,该模型描述肿瘤细胞之间的相互作用的重要特征和周围组织,特别是细胞发起一个新的殖民地和转移。

我们未来的研究工作将解决问题的参数值和域模型(34)和动态类型模型提出了(49)是等价的。我们还将地址与幽灵似地准确数值方法近似模型与二维空间域和不同类型的函数 ( , ) 造型抑制剂生产(34]。

承认

作者想表达他们的感谢匿名裁判的有用的评论和评论导致改善纸的表示。

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