𝑃 𝐿 𝑆 𝑄 (potential-light-smoker-quit smoker) model, we consider two possible control variables in the form of education and treatment campaigns oriented to decrease the attitude towards smoking. In order to do this we minimize the number of light (occasional) and persistent smokers and maximize the number of quit smokers in a community. We first show the existence of an optimal control for the control problem and then derive the optimality system by using the Pontryagin maximum principle. Finally numerical results of real epidemic are presented to show the applicability and efficiency of this approach."> 最优运动动力学在吸烟 - raybet雷竞app,雷竞技官网下载,雷电竞下载苹果
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计算和数学方法在医学
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计算和数学方法在医学/<一个class="sc-htpNat bUhGXt link sc-eitiEO jXeALb breadCrumb" href="//www.newsama.com/journals/cmmm/contents/year/2011/" aria-label="2011">2011年/文章

研究文章|开放获取

体积 2011年 |文章的ID 163834年 | https://doi.org/10.1155/2011/163834

古尔扎曼, ”最优运动动力学在吸烟”,计算和数学方法在医学, 卷。2011年, 文章的ID163834年, 9 页面, 2011年。 https://doi.org/10.1155/2011/163834

最优运动动力学在吸烟

古尔扎曼1

1中心先进的数学和物理,国立大学的科学和技术,H-12、64000年伊斯兰堡,巴基斯坦

学术编辑器:Sivabal Sivaloganathan
收到了 2010年6月16日
接受 2010年12月16日
发表 2011年2月15日

文摘

我们提出的最优运动动力学吸烟。假设戒烟所描述的模型简化 (potential-light-smoker-quit吸烟者)模型中,我们考虑两种可能的控制变量的形式面向教育和治疗活动的减少对吸烟的态度。为了做到这一点我们减少光的数量(偶尔)和持久的吸烟者和戒烟吸烟者的数量最大化一个社区。我们第一次显示控制的最优控制问题的存在,然后推导出最优系统通过使用Pontryagin最大原则。最后给出了数值结果真正的流行表明这种方法的适用性和有效性。

1。介绍

控制理论应用到流行是一个很大的领域,和传染病模型的研究密切相关的可能性的评估不同的控制策略:筛查和教育活动(<一个href="#B1">1),预防接种运动(<一个href="#B2">2),和资源分配<一个href="#B3">3]。一个全面的控制理论应用于流行病学的调查是由Wickwire [<一个href="#B4">4]。提出了许多不同的模型和不同的目标函数(见[<一个href="#B9">5- - - - - -<一个href="#B7">9])。控制理论方法应用到实际的主要困难流行病学问题通常是假设一个总了解流行的状态(<一个href="#B5">10]。

2000年,Castillo-Garsow et al。<一个href="#B12">11)首次提出了戒烟一个简单的数学模型。他们认为一个系统总常数人口分为三类:潜在的吸烟者,也就是说,不抽烟的人,但在未来可能成为吸烟者( ),吸烟者( )和人(前吸烟者)永久戒烟的人( )。Sharomi Gumel发达的数学模型通过引入温和和链类(<一个href="#B13">12]。在他们的工作他们提出发展和公共健康的影响与吸烟有关的疾病。扎曼(<一个href="#B14">13]扩展Castillo-Garsow等的工作。<一个href="#B12">11),开发了一个模型考虑到偶尔吸烟者戒烟的舱模型,并提出了其定性行为。

在这项研究中我们考虑模型引入了扎曼(<一个href="#B14">13)和扩展,一旦一个吸烟者戒烟他/她可能会成为一个潜在的吸烟者,首先讨论动力学行为,然后用最优控制理论对我们的最优问题,减少光的数量和持续的吸烟者和戒烟吸烟者的数量最大化一个社区。在我们的控制问题我们首先显示的存在一个最优控制,然后我们推导出最优系统。这项工作中所使用的技术工具来确定最优的策略是Pontryagin最大原则。我们强调,我们没有建立一个吸烟模型,特别符合我们的优化方案。为了做到这一点我们使用最优控制策略与两种类型的控制,教育和治疗活动来减少光的数量和持续的吸烟者和戒烟吸烟者的数量最大化一个社区。我们推导出最优系统组成的状态和伴随方程和解决数值系统通过使用迭代方法。我们还举个例子真正的流行病模型的真实数据,说明了最优控制理论可以应用于实际情况。

本文的结构组织如下。首先,我们提出的定性行为提出模型和最优控制系统,它的存在,和最优控制对派生部分<一个href="#sec2">2。节<一个href="#sec3">3,我们解决数值最优系统通过使用真实数据,由系统的原始状态,伴随系统及其边界条件。最后,我们得出结论,讨论的结果我们戒烟的数值模拟模型。

2。最优控制问题

在本节中,我们开始我们的探索 人口模型所定义的系统组成的微分方程如下: ( ) = ( ) − 1 ( ) ( ) − 1 + ( ) + ( ) , ( ) = 1 ( ) ( ) − 2 ( ) ( ) − 2 + ( ) , ( ) = 2 ( ) ( ) − + 3 + ( ) , ( ) = ( ) − 4 + + ( ) 。 ( 1 ) 如[<一个href="#B14">13)的变量 , , ,和 代表了潜力,光(偶尔),持久,分别而放弃吸烟。的参数 代表了出生率, 是自然死亡率, 是戒烟戒烟率。的参数 1 和 2 近似的平均数量与吸烟者接触个人需要光和持久的吸烟者,分别在每个时间单位。 再次成为潜在的吸烟者戒烟的吸烟者,然后呢 1 , 2 , 3 ,和 4 代表潜在吸烟者的死亡率,偶尔抽烟,持续抽烟,和放弃吸烟。在这个模型中,我们也使用的经典质量作用假说正传输系数 1 和 2 。潜在的吸烟者人均速度获得感染 1 ( ) 。总人口的大小 用 ( ) 与 ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 。总人口的动力由下列微分方程: = ( − ) ( ) − 1 ( ) + 2 ( ) + 3 ( ) + 4 。 ( ) ( 2 ) 如果所有人都死在同样的死亡率,然后我们有 1 = 2 = 3 = 4 = ,总人口的动力学 = ( − − ) ( ) 。 ( 3 ) 当出生率等于疾病和自然死亡率的人口保持不变,即 = + 。人口总常数模型研究了几个作者;见,例如,(<一个href="#B6">8,<一个href="#B18">14]。在我们的模型不是生理上可行的如果我们考虑 < + ,所以我们假设 ⩾ + 。独特的正流行平衡系统(<一个href="#EEq1">1)是由 ⋆ = 2 ⋆ + 2 + 1 , ⋆ = + 3 + 2 , ⋆ = 2 + 4 + + 1 + 3 + + 2 1 + 2 1 − 1 + 3 + − 2 1 + 4 + + × ( − 1 ) , ⋆ = 2 + 1 + 3 + + 2 1 + 2 1 − 1 + 3 + − 2 1 + 4 + + × ( − 1 ) , ( 4 ) 在哪里 = 1 2 ⋆ / ( ( 2 + ) ( 1 ( + 3 + ) + 2 ( 1 + ) ) ) 代表了吸烟代数量(基本再生数)。它衡量新吸烟者的平均数量由单一吸烟者人口潜在的吸烟者。繁殖数量是一个概念在传染病的流行病学<一个href="#B13">12]。它的传染性疾病,是必需的,如果你想计算有多少人你需要如果你实现群体免疫接种疫苗。当有人开始吸烟,他们可能会将它传递给其他人或者帮助1、2或更多的其他人(他成为次要的情况下)。繁殖数量, ,平均(平均)继发病例数每种情况下引起的一种传染病,传染性的时期。数量 当然,取决于很多因素取决于疾病的状态。在我们的模型 > 1 存在持续的吸烟者在社区 < 1 没有吸烟。

为了了解戒烟的定性行为模型,我们发现不同的模型的平衡位置。

备注1。雅可比矩阵在琐碎的平衡 = ( 0 , 0 , 0 , 0 ) 是 = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 − 0 0 0 − − 2 0 0 0 0 − 3 − − 0 0 0 − 4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ − − 。 ( 5 ) 雅可比矩阵的特征值在琐碎的平衡 0 = ( 0 , 0 , 0 , 0 ) 是 − 1 − , − 2 − , − − 3 − , − 4 − − 。因此所有的根有负实部,这表明,琐碎的平衡是局部稳定。

定理1。当 > 1 ,戒烟模型(<一个href="#EEq1">1)具有独特的正流行的平衡 ⋆ = ( ⋆ , ⋆ , ⋆ , ⋆ ) ,在那里 ⋆ , ⋆ , ⋆ , ⋆ 定义在(<一个href="#EEq4">4)。

定理2。戒烟模型(<一个href="#EEq1">1) = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) 作为一个本地稳定smoking-free平衡当且仅当 1 < 2 + 。否则 是一种不稳定的smoking-free平衡。

证明。我们可以通过线性化研究提出戒烟模型(<一个href="#EEq1">1周围) = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) 局部稳定性。因此,周围的平衡点 为我们提供了雅可比矩阵: = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 − − 1 0 0 1 − − 2 0 0 0 0 − 3 − − 0 0 0 − 4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ − − 。 ( 6 ) 雅可比矩阵的特征值 在smoking-free平衡 = ( 1 , 0 , 0 , 0 ) 是 − 1 − , 1 − 2 − , − − 3 − , − 4 − − 。因此,我们推断出所有的根有负实部 1 < 2 + 这表明smoking-free平衡是局部渐近稳定的。

定理3。当 > 1 ,独特的正流行的平衡 ⋆ = ( ⋆ , ⋆ , ⋆ , ⋆ ) 戒烟的模型(<一个href="#EEq1">1)是局部渐近稳定的。

证明。这个定理的证明见附件<一个href="#sec5">一个

为了研究一种有效的运动控制在一个社区,满足吸烟,偶尔的最大数量(光)和持久的吸烟者个人不大于潜在的吸烟者戒烟后恢复个人和个人的使用烟草,我们考虑系统(<一个href="#EEq1">1)和使用两个控制变量来控制偶尔(光)吸烟者和吸烟者人口持续。在系统(<一个href="#EEq1">1我们有四个状态变量 ( ) , ( ) , ( ) , ( ) 。我们考虑控制变量的最优控制问题 ( ) = ( 1 ( ) , 2 ( ) ) ∈ 相对于状态变量 ( ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ) ,在那里 = { ( 1 , 2 ) ∣ ( ) 是可以衡量的, 0 ≤ ( ) ≤ < ∞ , ∈ ( 0 , e n d ] ,因为 = 1 , 2 , } ,是一个容许控制集合。

接下来,我们描述第一控制所扮演的角色 1 ( ) 和它是如何纳入系统(<一个href="#EEq1">1)。一开始人们开始吸烟有时候因为各种不同的原因。一些人认为它看起来很酷。别人开始,因为他们的家人或朋友抽烟。统计数据表明,大约9的烟草使用者偶尔开始,然后逐渐成为持久的吸烟者。此外有强有力的证据表明,对吸烟的态度从高(初级)学校时间。因此,电影尤其是在一个类或一组这样的活动让他们知道吸烟更容易患口腔和咽喉癌症,膀胱,肾、肝、胃和胰腺,会增加心脏病发作的风险。因此控制功能 1 ( ) 代表教育运动水平用来控制在一个社区吸烟。控制 2 ( ) 代表的治疗水平戒烟的形式注入(疫苗),包含药物阻断大脑中的尼古丁受体,进而有助于降低吸烟的欲望。控制变量的物理意义在这个问题是低水平的偶尔的数量(光)和持久的吸烟者。如果不活动或不治疗持续的吸烟者的数量增加而前吸烟者的数量减少。更好更完美的竞选带来偶尔(光)和持久的吸烟者的数量小,潜在的吸烟者开始构建,更多的人是通过戒烟烟草的使用。烟草的影响在两个偶尔(光)和持久的吸烟者对戒烟的吸烟者周围不利,所以我们希望最小化。还有少量的控制变量(运动和治疗)是可以接受的;因此,我们希望惩罚金额太大,所以二次项的控制变量进行分析。因此,我们的最优控制问题的功能目标是最小化 1 , 2 = 0 1 ( ) + 2 1 ( ) + 2 1 2 1 ( ) + 2 2 2 ( ) ( 7 ) 受 ( ) = ( ) − 1 ( ) ( ) − 1 + ( ) + ( ) , ( ) = 1 ( ) ( ) − 2 ( ) ( ) − 2 + + 1 ( ) ( ) , ( ) = 2 ( ) ( ) − + 3 + + 2 ( ) ( ) , ( ) = + 2 ( ) ( ) − 4 + + ( ) + 1 ( ) ( ) , ( 8 ) 与初始条件 ( 0 ) = 0 , ( 0 ) = 0 , ( 0 ) = 0 , ( 0 ) = 0 。 ( 9 ) 在这里 和 为 = 1 , 2 体重因素(积极常量)代表一个吸烟者的接受程度的控制活动。目标是最小化偶尔(光)和持续的吸烟者和实施成本控制。偶尔吸烟者产生一个最优控制 1 ( ) 之前他们成为持久的吸烟者,以及最优控制 2 ( ) 应提供持久的吸烟者人口。

各种确定性的最优控制模型,它们的存在是由几位作者调查<一个href="#B6">8,<一个href="#B7">9,<一个href="#B8">15]。首先我们应当显示控制系统的存在(<一个href="#EEq6">8)。让 ( ) , ( ) , ( ) , ( ) 状态变量与控制变量 ( ) = ( 1 ( ) , 2 ( ) ) ∈ 。我们认为存在控制系统(<一个href="#EEq6">8)与初始条件(<一个href="#EEq7">9)。然后我们可以重写系统(<一个href="#EEq6">8)以下形式: = + ( ) , ( 1 0 ) 在哪里 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ = ( ) ( ) ( ) ( ) , = − 1 − 0 0 0 − 2 + + 1 ( ) 0 0 0 0 − + 3 + + 2 0 ( ) 0 1 ( ) + 2 ( ) − 4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ + + ( ) = ( ) − 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) + 2 ( ) ( ) 2 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , ( ) ( ) ( 1 1 ) 和 表示的导数 关于时间 。系统(<一个href="#EEq8">10)是一种非线性系统的有界系数。我们设置 ( ) = + ( ) 。 ( 1 2 ) 右边第二项(<一个href="#EEq9">12)满足 | | 1 − 2 | | ≤ Λ 1 | | 1 ( ) − 2 | | ( ) + Λ 2 | | 1 ( ) − 2 | | ( ) + Λ 3 | | 1 ( ) − 2 | | , ( ) ( 1 3 ) 在积极的常量 Λ 1 , Λ 2 , Λ 3 状态变量是独立的吗 ( ) , ( ) , ( ) ≤ ( ) ,分别。我们也得到 | | 1 − 2 | | | | ≤ Λ 1 − 2 | | , ( 1 4 ) 在哪里 Λ = Λ 1 + Λ 2 + Λ 3 + 为 为 < ∞ 。因此,函数 均匀李普希兹连续的。定义的 和限制 ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ≥ 0 我们可以看到,系统的解决方案(<一个href="#EEq8">10)存在(见[<一个href="#B15">16])。

说明如何解决控制问题,首先,我们应该找到最优控制问题的哈密顿(<一个href="#EEq5">7)- (<一个href="#EEq7">9)。为此,我们定义了哈密顿 的控制问题如下: , , , , 1 , 2 , 1 , 2 , 3 , 4 = , , 1 , 2 + 1 ( ) 1 ( ) + 2 ( ) 2 ( ) + 3 ( ) 3 ( ) , ( 1 5 ) 在哪里 ( , , 1 , 2 ) = 1 ( ) + 2 ( ) + ( 1 / 2 ) ( 1 2 1 ( ) + 2 2 2 ( ) ) 是拉格朗日, 为 = 1 , 2 , 3 是微分方程的右边的系统(<一个href="#EEq6">8),分别。

定理4。存在一个最优控制 ∗ = ( ∗ 1 , ∗ 2 ) ∈ 这样 ∗ 1 , ∗ 2 = 米 我 n 1 , 2 ∈ 1 , 2 , ( 1 6 ) 的控制系统(<一个href="#EEq6">8)与初始条件(<一个href="#EEq7">9)。

证明。为了证明最优控制的存在,我们必须显示以下。(1)控制和状态变量都是非负的值。(2)控制 集是凸和关闭。(3)国家的园艺学会系统有界状态和控制变量的线性函数。(4)被积函数的目标函数是凹的 。(5)存在常数,被积函数在(<一个href="#EEq5">7功能)的目标是满足。
为了验证这些条件,我们使用拳头的结果(<一个href="#B9">5]。我们注意到,解决方案是有界的。所有的控制变量的集合 ( ) = ( 1 ( ) , 2 ( ) ) ∈ 也凸和关闭的定义。最优系统有界决定所需的密实度最优控制的存在。此外,被积函数在功能(<一个href="#EEq5">7)是由 1 ( ) + 2 ( ) + ( 1 / 2 ) ( 1 2 1 ( ) + 2 2 2 ( ) ) 和在控制凸集 。我们也可以很容易地看到,存在一个常数 > 1 和积极的数字 1 和 2 这样 1 , 2 ≥ 2 + 1 | | 1 | | 2 + | | 2 | | 2 / 2 , ( 1 7 ) 这就完成了一个最优控制的存在。

Pontryagin最大主(PMP)州的必要条件(<一个href="#B16">17必须保持在一个最优轨迹。这些条件帮助我们计算状态,伴随和控制变量的最优控制问题。PMP可以作为计算技术和分析技术。技术工具用于确定最优策略给出以下形式。

如果 ( ∗ ( ) , ∗ ( ) ) 是一个最优控制问题的最优解,那么存在一个非平凡的向量函数 ( ) = ( 1 ( ) , 2 ( ) , … , ( ) ) 满足如下不等式: ( ) = , ∗ ( ) , ∗ ( ) , ( ) , 0 = H , ∗ ( ) , ∗ ( ) , ( ) , ( ) = − , ∗ ( ) , ∗ ( ) , ( ) , ( 1 8 ) “′”表示对时间的导数吗 。现在我们应用哈密顿的必要条件 在(<一个href="#EEq10">15)。

定理5。让 ∗ ( ) , ∗ ( ) , ∗ ( ) , ∗ ( ) 是最优的解决方案与最优控制变量相关状态 ∗ 1 ( ) 和 ∗ 2 ( ) 最优控制问题(<一个href="#EEq5">7)- (<一个href="#EEq7">9)。然后存在伴随变量 1 ( ) , 2 ( ) , 3 ( ) , 4 ( ) satisfing 1 ( ) = 1 1 ( ) − 2 ( ) ∗ ( ) + 1 ( ) 1 , + 2 ( ) = 1 1 ( ) − 2 ( ) ∗ ( ) + 2 2 ( ) − 3 ( ) ∗ ( ) + 2 ( ) 2 + + 2 ( ) − 4 ( ) 1 ( ) − 1 , 3 ( ) = 2 2 ( ) − 3 ( ) ∗ ( ) + 3 ( ) + 3 + + 3 ( ) − 4 ( ) 2 ( ) − 2 , ′ 4 ( ) = 4 ( ) − 1 ( ) + 4 ( ) 4 , + ( 1 9 ) 横截性条件(边界条件) ( ) = 0 , = 1 , 2 , 3 。 ( 2 0 ) 此外,给出了最优控制对如下: ∗ 1 ( ) = 米 一个 x 米 我 n 1 ( ) − 3 ( ) ( ) 1 , 1 , 0 , ( 2 1 ) ∗ 2 ( ) = 米 一个 x 米 我 n 2 ( ) − 3 ( ) ( ) 2 , 2 , 0 。 ( 2 2 )

证明。这个定理的证明见附件<一个href="#sec6">B。

在这里,我们调用公式(<一个href="#EEq14">21)和(<一个href="#EEq15">22) ∗ 最优控制的特征。最优控制和国家被发现通过求解最优系统,它由国家系统(<一个href="#EEq6">8),伴随系统(<一个href="#EEq13">20.),边界条件(<一个href="#EEq7">9)和(<一个href="#EEq13">20.)和最优控制的特征(<一个href="#EEq14">21)和(<一个href="#EEq15">22)。解决最优系统,我们使用初始横截性条件与最优控制的特性 ( ∗ 1 ( ) , ∗ 2 ( ) ) 由(<一个href="#EEq14">21)和(<一个href="#EEq15">22)。被替换的值 ∗ 1 ( ) 和 ∗ 2 ( ) 控制系统(<一个href="#EEq6">8我们得到以下系统: ∗ ( ) = ∗ ( ) − 1 ∗ ( ) ∗ ( ) − 1 + ∗ ( ) + ∗ ( ) , ∗ ( ) = 1 ∗ ( ) ∗ ( ) − 2 ∗ ( ) ∗ − ( ) 2 + + 米 一个 x 米 我 n 2 ( ) − 4 ( ) ∗ ( ) 1 , 1 , 0 × ∗ ( ) , ∗ ( ) = 2 ∗ ( ) ∗ − ( ) + 3 + + 米 一个 x 米 我 n 3 ( ) − 4 ( ) ∗ ( ) 2 , 2 , 0 × ∗ ( ) , ∗ ( ) = + 米 一个 x 米 我 n 3 ( ) − 4 ( ) ∗ ( ) 2 , 2 , 0 ∗ − ( ) 4 + + ∗ ( ) + 米 一个 x 米 我 n 2 ( ) − 4 ( ) ∗ ( ) 1 , 1 , 0 ∗ ( ) 。 ( 2 3 ) 的哈密顿 ∗ 在( ∗ , ∗ , ∗ , ∗ , ∗ 1 , ∗ 2 , 1 , 2 , 3 , 4 ), ∗ = 1 ∗ ( ) + 2 ∗ + 1 ( ) 2 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 米 一个 x 米 我 n 2 ( ) − 4 ( ) ∗ ( ) 1 , 1 , 0 2 + 2 米 一个 x 米 我 n 3 ( ) − 4 ( ) ∗ ( ) 2 , 2 , 0 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ + 1 ( ) ∗ 1 ( ) + 2 ( ) ∗ 2 ( ) + 3 ( ) ∗ 3 ( ) , ( 2 4 ) 在哪里 ∗ ( ) 为 = 1 , 2 , 3 是微分方程的右边的系统(<一个href="#EEq16">23),分别。找出最优控制和状态我们将数值求解系统(<一个href="#EEq16">23)和哈密顿(<一个href="#EEq17">24)。

3所示。数值结果

在本节中,我们将解决数值的最优控制问题 模型。我们获得的最优系统状态和伴随方程。获得的最优控制问题的策略是通过求解最优系统,由八个常微分方程和边界条件。最优系统可以通过使用一个迭代的方法来解决通过龙格-库塔第四方案(<一个href="#B17">18]。使用一个初始猜测为控制变量, 1 ( ) 和 2 ( ) 状态变量, , , , 及时提出解决,然后伴随变量, 为 = 1 , 2 , 3 , 4 解决了在时间上向后。如果国家和伴随变量的新值不同于以前的值,使用新值更新 1 ( ) 和 2 ( ) ,重复这个过程,直到系统收敛。为 模型提出了工作,国家系统是由(<一个href="#EEq6">8)的初始条件(<一个href="#EEq7">9)。伴随系统是由(<一个href="#EEq13">20.)最后一次给出的条件(<一个href="#EEq14">21)和最优控制的特征(<一个href="#EEq14">21)和(<一个href="#EEq15">22)。

确定最优的数值模拟系统使用一个小的时间步长 Δ = 0 。 0 0 5 。我们认为最优运动持续30天,并使用一个真正的估计参数值表来表示<一个href="//www.newsama.com/journals/cmmm/2011/163834/tab1/" target="_blank">1。为合理值的参数我们重申的想法<一个href="#B6">8,<一个href="#B14">13,<一个href="#B19">19]。当一个人第一次变成了一个吸烟者是不可能她/他退出好几年烟草含有尼古丁,这是一个容易让人上瘾的毒品。我们假设 1 / 是一个价值15至25年,也就是说,20。因此,的价值 1 / 设置为7300天。每个个体的死亡率不同于他人,取决于现实生活情况。在这里,我们假设 4 ≤ 1 ≤ 2 ≤ 3 。自然死亡率 每年每1000人(目前在美国8)。有强有力的证据表明,对吸烟的态度从高(初级)学校时间。因此 1 / 将1095天。死于肺癌是由吸烟导致的,每100000人[37的速度<一个href="#B20">20.]。参数的合理值 1 和 2 代表的平均数量与吸烟者接触个人需要光和持久的吸烟者,分别在每个时间单位可以通过使用相同的技术提出了(<一个href="#B14">13]。我们考虑使用的真实数据<一个href="#B6">8)的 ( 0 ) = 1 5 3 , ( 0 ) = 7 9 ,假设 ( 0 ) = 4 0 。和 ( 0 ) = 9 。
参数 描述 价值
出生率 0.00091
自然死亡率 0.0031
回收率 0.0013
的速度<我>问就变成了<我>P再一次 0.0031
1 吸烟的感染率 0.00014
2 吸烟的感染率 0.0024
1 吸烟者的体重因素 0.091
2 吸烟者的体重因素 0.001
1 运动水平的接受吸烟者 0.02
2 治疗接受吸烟者的水平 0.10
1 疾病的死亡率<我>P 0.00034
2 疾病的死亡率<我>l 0.00045
3 疾病的死亡率<我>年代 0.0054
4 疾病的死亡率<我>问 0.00061
表1
合理的参数值。

我们提出在图<一个href="//www.newsama.com/journals/cmmm/2011/163834/fig1/" target="_blank">1潜在的吸烟者在两个系统(<一个href="#EEq1">1)和(<一个href="#EEq6">8)。普通的线表示人口系统中潜在的吸烟者(<一个href="#EEq1">1没有控制,而虚线表示人口系统中潜在的吸烟者(<一个href="#EEq6">8)与控制。潜在的吸烟者在两个系统(<一个href="#EEq1">1)和(<一个href="#EEq6">8在天1 - 10)几乎是相同的。10天后出现在潜在的吸烟者人口略有增加。图<一个href="//www.newsama.com/journals/cmmm/2011/163834/fig2/" target="_blank">2代表偶尔吸烟者的数量在两个系统(<一个href="#EEq1">1),而不控制和(<一个href="#EEq6">8)与控制。偶尔吸烟者的人口大幅减少从感染的第一天系统与控制和没有控制和达到最小数量的偶尔吸烟者 = 3 9 。 3 和 ∗ = 3 9 结束时的最佳运动。


图1
图显示了人口潜在的吸烟者都有控制和没有控制。

图2
情节显示偶尔吸烟者都有控制和没有控制。

图<一个href="//www.newsama.com/journals/cmmm/2011/163834/fig3/" target="_blank">3代表两个系统的长期吸烟者(<一个href="#EEq1">1)和(<一个href="#EEq6">8)。持续吸烟人口在两个系统(<一个href="#EEq1">1)和(<一个href="#EEq6">8)大幅减少超过光(偶尔)吸烟者人口和 = 1 9 和 ∗ = 1 6 。 8 持续吸烟人口仍在最优运动的终结。图<一个href="//www.newsama.com/journals/cmmm/2011/163834/fig4/" target="_blank">4代表了两个系统的数值结果(<一个href="#EEq1">1)和(<一个href="#EEq6">8)戒烟的吸烟者人口。在最优运动光(偶尔)人口减少而戒烟的吸烟者和持久的吸烟者人口增加。


图3
情节显示持续的吸烟者都有控制和没有控制。

图4
情节表明吸烟者戒烟都有控制和没有控制。

在这个工作我们使用一组参数对动力系统(<一个href="#EEq1">1)和(<一个href="#EEq6">8)。模拟与不同的参数值可以使用在未来获得采样动力系统的可能的行为。

4所示。结论

在本文中,我们认为该模型引入了扎曼(<一个href="#B14">13)和扩展,一旦吸烟者戒烟后他/她可能会再次成为一个潜在的吸烟者,然后我们用最优控制理论减少光的数量和持续的吸烟者和戒烟吸烟者的数量最大化一个社区。控制块从本文数值模拟获得代表光明和持久的吸烟者的数量减少,退出吸烟者的数量增加的最优系统。我们还表明,对于某些值的控制速度存在对应的最优解。我们考虑一个特殊疾病(吸烟)在一个特定的社区作为一个现实的模型,我们希望本文介绍的方法也可以适用于其它流行戒烟模式以外的模式。

附录

答:定理的证明<一个href="#thm2.3">3

戒烟的雅可比矩阵模型(<一个href="#EEq1">1周围) ⋆ = ( ⋆ , ⋆ , ⋆ , ⋆ ) 是 ⋆ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 0 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ , ( 一个 。 1 ) 在哪里 = − 1 ⋆ − 1 + , = − 1 ⋆ , = 1 ⋆ , = 1 ⋆ − 2 ⋆ − 2 , + = − 2 ⋆ , = 2 ⋆ , = 2 ⋆ − + 3 + , = − 4 。 + + ( 一个 。 2 ) 的特征方程 ⋆ 是 4 + 1 3 + 2 2 + 3 + 4 = 0 , ( 一个 。 3 ) 在哪里 1 = − + + + , 2 = + + + + − , 3 = + − + + + , 4 = − − 。 ( 一个 。 4 ) 由平衡态渐近稳定如果Routh-Hurwitz条件 1 > 0 , 3 > 0 , 4 > 0 和 1 2 3 > 2 3 + 2 1 4 。因此,独特的积极的平衡 ⋆ 戒烟的模型,如果存在 > 1 ,总是局部渐近稳定的。这就完成了证明。

b .定理的证明<一个href="#thm2.5">5

确定伴随方程和横截性条件下,我们利用哈密顿(<一个href="#EEq10">15)。从设置 ( ) = ∗ ( ) , ( ) = ∗ ( ) , ( ) = ∗ ( ) , ( ) = ∗ ( ) 并区分哈密顿(<一个href="#EEq10">15)对 , , , ,我们获得 1 ( ) = − = 1 1 ( ) − 2 ( ) ( ) + 1 ( ) 1 , + 2 ( ) = − = 1 1 ( ) − 2 ( ) ( ) + 2 2 ( ) − 3 ( ) ( ) + 2 ( ) 2 + + 2 ( ) − 4 ( ) 1 ( ) − 1 , 3 ( ) = − = 2 2 ( ) − 3 ( ) ( ) + 3 ( ) + 3 + + 3 ( ) − 4 ( ) 2 ( ) − 2 , 4 ( ) = − = 4 ( ) − 1 ( ) + 4 ( ) 4 。 + ( B 。 1 ) 使用的最优性条件和属性控制空间 为控制变量 1 ,我们获得 1 = 0 ⟹ 1 1 ( ) + − 2 ( ) + 4 ( ) ( ) = 0 。 ( B 。 2 ) 通过使用控制空间的性质,我们获得 ∗ 1 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ( ) = 0 我 f 2 ( ) − 4 ( ) ( ) 1 ≤ 0 , 2 ( ) − 4 ( ) ( ) 1 我 f 0 < 2 ( ) − 4 ( ) ( ) 1 , < 1 1 我 f 2 ( ) − 4 ( ) ( ) 1 ≥ 1 。 ( B 。 3 ) 这可以重写在紧凑的符号 ∗ 1 ( ) = 米 一个 x 米 我 n 2 ( ) − 4 ( ) ( ) 1 , 1 , 0 。 ( B 。 4 ) 类似于控制变量 2 ,我们得到 ∗ 2 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ( ) = 0 我 f 3 ( ) − 4 ( ) ( ) 2 ≤ 0 , 3 ( ) − 4 ( ) ( ) 2 我 f 0 < 3 ( ) − 4 ( ) ( ) 2 < 2 , 2 我 f 3 ( ) − 4 ( ) ( ) 2 ≥ 2 。 ( B 。 5 ) 这也可以重写类似于上面的紧凑的形式 ∗ 2 ( ) = 米 一个 x 米 我 n 3 ( ) − 4 ( ) ( ) 2 , 2 , 0 。 ( B 。 6 ) 这就完成了证明。

承认

作者希望感谢两位匿名裁判有用的建议来提高文章的质量。

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