文摘

每一个图 本文考虑由一个有限集合顶点和一个有限集的边缘,连同一个几率函数,将每一个优势 的与一个无序的顶点这被称为边缘的结束 。图是平面图,如果它可以画在平面上,使其边缘相交只有在他们结束。一个合适的 - - - - - -vertex-coloring的图 是一个映射 (是一组颜色),这样没有两个相邻的顶点被分配相同的颜色。著名的四色定理指出,平面图有适当的vertex-coloring有四个颜色。然而,目前已知的四色定理的证明是计算机辅助。此外,证明的正确性仍然是漫长而复杂的。2010年,一个简单的时间单调算法提供了一个3-colorable平面图。在本文中,我们给出一种改进的线性时间算法输出的单调或得出结论,不是3-colorable任意平面图形是给定的。使用该算法,我们可以得到适当的4-colorings 3-colorable平面图形,平面图形以最大程度最多5个和claw-free平面图形。

1。介绍

每一个图 考虑由一个有限集合顶点和一个有限集的边缘,连同一个几率函数,将每一个边缘与一个无序的顶点 。如果 是无序的顶点对应的边缘的 ,然后用 和据说是相邻来 。此外,如果 , 据说是事件来和和和被称为“结束的 。标准术语不给,我们参考读者1]。的顶点数被称为订单的 。为一个顶点 ,的开放社区 的被定义为一组顶点附近吗 。的封闭的社区 的被定义为 。的学位的等于 ,用或者简单地 。通过和 ,我们表示最低程度上和最大程度上的图 ,分别。一个正则图 是一个图,每个顶点的有学位 。的一个子集 ,诱导子图,用 ,的子图的顶点集,其集由边缘的边缘的两端 。一个完整的图形是一个简单图中任意两个顶点是相邻的。让表示完整的图表顶点。通常情况下,被称为三角形。一个周期在三个或三个以上顶点是一个简单图的顶点可以安排在一个循环序列,这样两个顶点序列中的连续相邻如果他们,否则不相邻。一个图表是由两部分构成的如果它的顶点集可以分割成两套吗和所以,每边都有一个结束另一个 。特别,如果每个顶点毗邻每个顶点在吗 ,然后被称为完全偶图。像往常一样,表示一个完整的两偶图类的基数和 。这个图也被称为爪。给定一个图 ,一个图表是无如果它不包含作为诱导子图。特别是,一个 - - - - - -免费的图claw-free。从一个不相交的联盟的两个图表和并添加加入每个顶点的边缘每个顶点的 ,一个获得加入的和 ,用 。连接 一个周期的和一个顶点称为n-wheel用 。

图是一个平面图如果它可以在平面上,使其边缘相交只有在他们的目的。这样的绘画被称为平面嵌入的图。任何此类特定嵌入被称为平面图。一个合适的-vertex-coloring,或者只是一个适当的 着色的图 是一个映射 (是一组颜色),这样没有两个相邻的顶点被分配相同的颜色。在本文中,我们将适当的颜色称为“着色”和一个合适的 - - - - - -颜色是一个“ - - - - - -着色。“著名的四色定理指出,平面图有适当的颜色有四个颜色。最初的四色定理的证明Appel和劳工2Appel]和et al。3)在很大程度上依赖于所涉及的电脑检查细节发现不可避免的设置和验证所有配置设置可约。它雇佣了不少于487卸货规则,导致一组超过1400不可避免的配置。最近的罗伯逊等证明。4),虽然也依赖于电脑,是简单的在很多方面。证明,32卸货需要规则,生成633不可避免的配置列表。

2010年,一个简单的时间算法提供成彩色3-colorable平面图Kawarabayashi和大关(5]。本文给出一个平面图 ,我们设计一种改进的线性时间算法输出的一种或得出结论,不是3-colorable。使用该算法,我们可以得到的4-colorings 3-colorable平面图形,平面图形以最大程度最多5个和claw-free平面图形。

2。证明和算法

首先,我们给出一些相关的定义和引理,我们的算法。一个平面图形分区平面成数量的弧连通集称为开放脸的 。我们称之为一个的脸如果是事件的边缘 。一个简单的平面图 ,我们称之为一个顶点程度的五坏如果所有面临事件 ,除了一个,三角形和非凡的脸大小最多5个。此外,I型、II型和III型如果异常的脸是一个三角形,张脸和5-face,分别如图1。很明显,如果一架飞机有个坏点类型的我呢不是3-colorable。注意,如果是一个糟糕的顶点的I型平面图形,诱导子图吗并不一定是5-wheel自有一个三角形,因此可以吗有一个 。来识别不相邻的顶点和的图是取代两个顶点由一个顶点事件所有的边缘事件要么或 。关于坏的顶点II或III型,下面的观察是显而易见的。

观察1。让是一个坏的顶点II或III型(见图1)。然后,和同样的颜色类中包含的三色吗 。让图得到通过识别和 。然后,是3-colorable当且仅当吗3-colorable。

下面的引理证明是有用的。

引理2(见[5])。每一个简单的平面图包含(我)一个顶点的度最多4或(ii)糟糕的顶点。

引理3(见[5])。让是一个单调的平面图 ,,让是一脸大小至少有四个。把四个顶点 , , ,和(沿着顺时针顺序) 。然后,还有一个四色,这样最多使用三种颜色 , , ,和 。此外,考虑到图和着色 ,我们可以找到这样的一种在时间, 。

引理4(见[6])。如果是一个顶点的平面图吗和是{爪,}无,然后 和是一个5-wheel如果 。

的二十面体是5正则平面图如图2。为了给我们的算法,我们先给一个众所周知的事实对平面图形。

观察5。二十面体是独特的5正则平面图这样,每个顶点 ,诱导子图是一个5-wheel。

此外,我们可以证明以下定理。

定理6。让是一个claw-free平面图。如果不是二十面体呢最多4度的顶点。

证明。让 是一个claw-free平面图。如果没有最多4度的顶点,然后呢 。在下面,我们只是证明二十面体。如果没有 ,由引理4,每一个顶点的诱发的5-wheel 。因此,通过观察5,二十面体。如果没有,让是一个的和假设是内部的三角形嵌入的在飞机上。不失一般性,我们可能认为没有其他三角形内 。假设不是,我们可以继续寻找另一个三角形内并考虑内部情况直到找到这样一个三角形是一种有限的图。请注意, 。假设的一些邻居在这个三角形 。让飞机图的顶点在里面 。我们有以下要求。

权利要求1。对于每一个顶点内部 , 和由引理是同构5-wheel4假设没有在 。
采取任何顶点在 。 同构的5-wheel索赔1。让 5-wheel的循环 。注意,至少有三个邻居的在这个三角形因为它是不可能的,三个邻居三角形的顶点吗 。不失一般性,我们假设 , ,和在 。然后, , ,和同构的5-wheel索赔吗1。让 5-wheel的循环和 5-wheel的循环(见图3)。此外,让 5-wheel的循环(见图4)。请注意,不相邻的在图4不失一般性的假设是内在的 。然后,我们是一个5-wheel,声称没有也不第五的邻居吗 。如果第五的邻居吗 ,的事实是一个5-wheel,也在附近 ,一个矛盾的事实是一个5-wheel。如果第五的邻居吗 ,的事实是一个5-wheel,也在附近 。然后,无论我们如何画出两条边和在飞机上,我们可以得到一个顶点的度claw-freeness四,一个矛盾。所以,让 5-wheel的循环 。claw-freeness,是相邻的 。我们声称也在里面 ,因此是一个5-wheel(参见图吗5)。假设,如果 , 将诱导爪,一个矛盾。考虑顶点 在图5。不失一般性的假设是内在的 。然后, ,和是一个5-wheel。我们可以很容易地看到,无论是也不第五的邻居吗 。所以,让 5-wheel的循环 。因此, claw-freeness和和在 。进一步,我们有 由claw-freeness(见图2)。此外,claw-freeness,没有人在 在设置 。假设,如果 , 将诱导爪,一个矛盾。然后,所有三角形内的顶点诱导二十面体(见图2),还是一个矛盾的假设一些邻居的是内部的三角形 。
马上,我们有以下推论。

推论7。二十面体是独特的5正则平面图,这样每个顶点是一个糟糕的顶点的类型。

证明。让 是一个5正则平面图,这样每个顶点是一个坏的顶点类型。然后,也是一个claw-free平面图。由定理6,二十面体。
基于观察结果1,引理2,引理3,推论7和定理6,我们设计一个算法如下。

定理8。给定一个平面图 ,算法1是一个线性时间算法输出一个四色的或者决定不是3-colorable。此外,如果是一个3-colorable平面图或平面图以最大程度最多5个或claw-free平面图,算法1给出了一种 。

证明。基于前题2和3和确定的事实和在步骤2中不断的3-colorability ,我们可以说算法1输出一个单调的或者决定不是3-colorable。现在,我们证明了算法1是一个线性时间算法的感应 。假设它的秩序小于 。然后,让 。在步骤1中,我们可以找到这样的一个分区时间。在步骤2中,我们可以给一个单调的如果直接在常数时间二十面体或最多四个顶点。如果没有,我们可以建立一个图表在不断的时间最多。请注意, 。通过感应,需要时间的总时间从1到5重复所有步骤 。在步骤3中,它只需要持续时间决定的结果 。在步骤4中,我们可以给一种四色的在通过引理3。在步骤5中,它只需要持续的时间。因此,总时间也 。
如果是一个3-colorable平面图,我们确定的单调吗通过观察1和前题2和3。如果是一个平面图,最大程度最多5个,我们只考虑一个大于5度的顶点的情况发生通过识别和的在步骤2。当一个大于5度的顶点出现在 ,然后成为一个学位的四个顶点(见图1)。根据我们的算法,我们首先需要一个顶点程度的最多4在步骤2中,当我们执行 。因此,几个步骤后,大于5度的顶点将会消失。所以,最后的将二十面体或图最多四个顶点推论7,我们得到一个单调的最后。如果claw-free平面的图,我们可以得到一个四色的由引理3和定理6。

数据可用性

我们的结果支持提交论文的严格证明。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项研究是在山东省自然科学基金的支持下,中国(没有。ZR202102180672)。