文摘

的方法解决Painleve方程利用计算智能技术提出了基于神经网络和粒子群优化杂化与有效集算法。方程的数学模型开发的帮助下的线性组合前馈人工神经网络定义无监督模型的误差。这个错误是最小化受到适当的加权网络的可用性。权重的学习使用粒子群优化算法作为工具可行的全局搜索方法,杂化与当地有效集算法的快速收敛。精度、收敛速度和计算复杂性的方案,分析了基于大量的独立运行和综合统计分析。比较研究的结果是用数学软件解决方案,以及,变分迭代法和同伦摄动方法。

1。介绍

Painleve方程的历史是超过一个世纪的历史了。这些都是六个二阶非线性不可约方程,定义新的超越函数称为Painleve卓越的。这些函数描述不同的物理过程和被广泛用于纯(1)和应用数学(2),连同理论物理(3]。例如,Painleve卓越的用于解决Korteweg-de弗里斯(KdV),圆柱KdV和Bussinesq方程(4,5在非线性非整体模型[],轨6),矩阵模型与连续量子引力的限制(7,8),等等。的历史、重要性和应用程序Painleve卓越的可以看到其他地方(9,10]。最近的出版物,Painleve方程式(PE-I)用于Tronquee [11]和hyperasymptotic [12)解决方案,以及在建模的粘性冲击Hele-shaw流和斯托克斯现象(13]。旁边,许多研究人员采用PE-I在不同领域的应用科学和工程14- - - - - -22]。

在本文中,我们的调查仅限于找出解决初值问题(IVP)的非线性二阶PE-I,写成以下形式:

在目前的研究中,的力量前馈人工神经网络(ann)是利用PE-I的近似数学模型。这种模型的真正的力量来解决微分方程可以通过使用现代随机动力学优化权重基于粒子群优化(PSO)技术混合局部搜索方法。例如,线性和非线性微分方程的解及其系统是由许多研究者广泛报道(23- - - - - -26]。最近,著名的分数阶系统的解决方案工程基于Bagley-Torvik和黎卡提微分方程等说明性的例子的方法(27,28]。

摘要人工神经网络算法和有效集算法支持(ASA)用于IVP PE-I的找到解决方案。蒙特卡罗模拟方案执行和分析统计检验和验证其有效性。与标准MATHEMATICA,以及同伦摄动法(HPM) [29日,30.)和变分迭代法(VIM) [29日,30.)结果也进行了给定的计划。

论文的组织如下:目标函数创建与神经网络数学模型及其训练方法介绍了部分2。简要介绍粒子群优化算法在部分3。详细设计方法的应用以及一些讨论结果提出了部分4。比较分析的结果提出了部分5。最后一部分总结了研究结果以及一些未来的研究方向。

2。数学建模

的前馈网络是众所周知作为一个通用函数近似者对任何连续函数及其衍生品在一个紧集。通过安微分方程建模的方法,之后连续映射是用于解决方案,一阶导数和二阶导数分别给出(31日- - - - - -34] 在哪里,,是实值有界自适应参数,神经元的数量,被激活函数作为日志乙状结肠隐藏层:

的线性组合为代表的网络(2)可以任意非线性PE-I模型。它被称为微分方程的神经网络(DE-NN)方程及其体系结构如图1。

我们的目标或适应度函数制定了解决PE-I定义一个无监督的错误,给出均方误差的总和: 在哪里是迭代数,代表迭代的总数,误差项相关的微分方程写成吗

在这里,时间间隔分为许多步骤与步长和和DE-NN给定组(2)。

同样,误差项是由于初始条件和作为 很明显,重量的可用性,,在DE-NN模型函数的值和的值接近零,无人监督的错误也趋于零。因此,解决方案PE-I是近似的在(2)。

3所示。学习方法

这里介绍的学习过程是寻找DE-NN网络的权重未知代表PE-I使用PSO和ASA算法。

群智能技术通常被称为PSO算法进行首次引入了肯尼迪和埃伯哈特(35]。它是一种全局优化技术是基于社会行为的模型鸟植绒和鱼的教育。其离散和连续版本开发并用于不同的应用科学和工程优化问题。一些例子包括应用程序移动通信、传感器网络、库存控制、多处理器调度,控制,股票市场预测和隐写方法(36- - - - - -39)等等。

在PSO算法中,每一个候选解的优化问题是作为一个粒子在搜索空间。探索问题空间的PSO算法是由人口的粒子称为群。中的所有粒子群有自己的健身价值与问题相关的特定的目标函数。PSO算法初始化一群随机粒子和用于迭代寻找最优解。初始群体的广泛传播导致算法的最优性能。每个粒子的位置和速度更新根据已知先前当地最好的位置和全球所有粒子的最佳位置到目前为止在群。每个粒子速度和位置的更新公式在连续标准PSO是写成 在哪里是向量来表示粒子群的,,是一个整数给群粒子的总数。的速度矢量与th粒子,和当地和全球社会加速常数,分别线性递减惯性重量是在0和1之间的搜索,然后呢和随机向量的元素分布在0和1之间。

速度是有限的元素,在那里最大速度。如果速度超出其最大价值,它将被设置。这个参数有自己的重要性和控制算法的收敛速度。的执行算法终止准则最大的航班/周期完成后或特定的健身价值。通用流程图显示提出的算法在图的过程2。

以下步骤的算法。

步骤1。初始化。粒子的初始群体生成随机使用有界真正的值。每个粒子代表候选解决方案和尽可能多的成员数量的未知参数DE-NN网络。初始值群的散射是维持更好的搜索空间的算法。初始化参数的值在表1在执行之前的算法。

步骤2。健康评估。计算每个粒子健身用的适应度函数(4),(5)和(6)。

步骤3。终止条件。终止算法如果满足下列标准:(我)预定义的健身价值的实现,,(2)数量最大的航班/周期执行。
如果是的,那么去一步6。

步骤4。排名。排名每个粒子的基础上最低的适应度函数值。

第5步。更新。更新速度和位置更新使用方程给出了(7)。重复的算法步骤2步5直到到达的航班总数。

步骤6。细化。MATLAB内置公式是用于运行有效集算法(ASA)微调的结果。全球最好的粒子算法作为算法的起点和其他参数设置对亚撒也提供在表1。

步骤7。统计分析。商店全球最佳粒子的价值随着它的健身价值和时间算法的执行。重复步骤1来6为充分大量的运行可靠的统计分析。

4所示。仿真和结果

著名的分析解决像adomian分解方法(ADM)、变分迭代法(VIM),同伦摄动法(HPM),同伦分析方法(火腿),和他们的修改版本广泛使用提供强大的非线性Painleve方程的解决方案(29日,30.,40- - - - - -42]。通用解决方案中提供了所有这些提到的方法在无穷级数的形式,但结果是决定使用有限数量的术语,其精度可以提高数量的增加。

之前描述的设计方法,VIM的简要描述和HPM PE-I提供了。的近似解PE-I (1)在VIM和HPM函数的形式表示。描述了VIM,考虑非线性微分方程如下: 在哪里和分别是线性和非线性算子,然后呢是一个非齐次项。在标准VIM,可以构造成正确的功能 在这里,代表一般的拉格朗日乘数和是现在和下近似,ũ代表限制变异,也就是说,。与合适的选择的不动点校正功能(9)可以被看作是一个连续方程的近似解和近似解决方案的会容易获得通过确定拉格朗日乘数。因此,给出的解决方案。有趣的读者,VIM及其适用性的细节描述中可以看到各种各样的微分方程(43- - - - - -46]。

执政的迭代公式求解PE-I使用VIM的最优值可以写成

的近似解为前三次迭代中使用VIM可以写成

另一方面解释HPM,让我们考虑以下类型的一般方程: 在哪里代表了微分算子,域,是一个已知的解析函数。操作员可以由线性部分和一个非线性部分。在标准HPM Hopotopy可以构造满足吗 在这里,是一个嵌入参数和是一个初始近似(12)。通过使用小嵌入参数,th解决方案(12)可以给出幂级数,也就是说, 为的近似解(12)给出

方法提供了足够的收敛性在大多数情况下,收敛速度依赖于非线性算子。的细节描述HPM及其应用[中可以看到47- - - - - -50]。

使用HPM PE-I的解决方案(1)从可以给 使用初始条件(1),同伦方法可以给出构造

插入而不是和比较系数的1、2、3、4和5的权力由PE-I HPM是近似的解决方案,分别给出

VIM的解析解和HPM,结果也与数学计算。这些结果被用于与提供的解决方案提出设计方案。

方程的数学模型是由DE-NN网络由(2)通过10数字的神经元,导致30未知权重DE-NN网络。之间的权重视为有界实数−50 - 50。初始群由160个粒子,每个都有30多的元素,相当于DE-NN网络权重的数量。训练集作为输入的步骤。(提供的适应度函数4)可以作为制定

PSO算法迭代跑步是为了计算适应度函数的最小值(19)和最好的粒子算法技术传递给ASA算法作为快速本地搜索的起始点。参数设置表提供了算法的执行1。

同样,几百独立运行的算法和PSO混合与ASA (PSO-ASA)算法寻找最优权重。获得的权重(使用的算法2)获得建议的解决方案PE-I。一组权重的适应度函数的值和分别对PSO和PSO-ASA提供了表2。结果提供了由这些权重计算表3和4为输入0和1之间的步骤0.1。第三阶VIM的解决方案,5日订单HPM给出同样的输入表3虽然提供了在表的详细信息4。的值可以看出,平均绝对误差(MAE) 3日订单VIM, 5日订单HPM PSO和PSO-ASA技术,,,,分别。

的值最小(最小值),最大(MAX),意思是,和标准偏差(STD),绝对误差(AE),计算基础上几百独立运行PSO和PSO-ASA方法。结果提供了在桌子上5输入0和1的步骤PE-I为0.1级。可以看出,AE的价值观的基础上最小订单的10⁻⁰³到10⁻⁰⁴和10⁻⁰⁶到10^−08年PSO和PSO-ASA算法,而AE的值基于平均位于范围10⁻¹到10⁻⁰²和10⁻⁰⁴到10⁻⁰⁵分别为解决者说。统计参数的最低价值发现的混合动力技术PSO-ASA比PSO算法。

进一步分析了算法的准确性和收敛性的值通过计算美和健身实现(FA) 100年独立运行。结果以图形的方式说明了半对数的规模以精致的值的差异。FA和梅的价值的独立运行如图3(一个)PSO和PSO-ASA方法。独立运行的数字排列的基础上升序健身的实现,以及绘制在图美和的值3 (b)。的基础上的可接受性标准算法的收敛性和PSO-ASA 1%和100%,分别。

5。比较分析的结果

在本节中,比较研究的结果提出了基于MAE的值,执行时间(ET),意味着健身实现(MFA),全球平均绝对误差(GMAE)数量的网格点,算法收敛速度和PSO-ASA提出解决者。

对结果的影响,通过改变的数量准备点用于适应度函数(19)进行了分析。通过网格分21日而不是11的数量,制定新的适应度函数使用训练集的输入的步骤然后作为

几百个独立运行的PSO和PSO-ASA方法寻找合适的权重和随后执行PE-1 IVP的解决方案。健身的MFA被定义为平均值达到接管所有的独立运行的算法。同样,GMAE平均绝对误差平均值为所有独立的解决者。MFA的值和计算GMAE PSO和PSO-ASA技术使用11和21个网格点和结果列在下表中6。发现订单的MFA的值是10⁻⁰²和10⁻⁰⁶分别对PSO和PSO-ASA。美与数学软件解决方案相匹配的值到2到3和5到8位小数PSO和PSO-ASA技术。GMAE 11和21网格点的值确定和给定的表6。发现GMAE订单10的价值观⁻⁰⁴的情况下,输入在0和1之间的步骤。因此,通过增加数量的网格点相同级别的结果的准确性是维护PSO和PSO-ASA技术。增加数量的网格点,也就是说,减少网格的大小,不保证改进随机动力学和相同的结果在我们的模拟变化的步长值来。

提出随机动力学的收敛率是基于MAE的价值决定的,10⁻⁰³,10⁻⁰⁴,以及MFA的价值,10⁻⁰⁴,10⁻⁰⁵。结果列在下表中6PSO和PSO-ASA技术。可以看出,结果的可接受性基于MFA的价值,混合方法PSO-ASA达到这个标准99%和98%的无党派人士运行11和21的网格点,分别。此外,一致收敛的结果是更多的独立运行PSO-ASA方法比PSO算法。

此外,计算复杂性分析通过计算每个算法的执行时间为100多的独立运行和。的值最小执行时间(MIN-ET),最大执行时间(MAX-ET),平均执行时间(M-ET)和标准偏差的执行时间(STD-ET)提供的表6。可以看出,价值观的M-ET PSO和PSO-ASA技术76.93秒和92.17秒,分别,几乎两倍值M-ET的理由。混合方法的执行所花费的时间PSO-ASA PSO算法的相对比,但这可以掩盖其不变的优势在准确性和收敛性。在本文中提供的时间分析是使用戴尔纬度D630笔记本与英特尔(R)的核心(TM) 2双核CPU T9300 R2009b 2.50 GHz,使用MATLAB版本。

6。结论

模拟及其比较研究的基础上提供的最后一个部分,它可以得出结论:IVP PE-I可以有效解决的设计计算使用神经网络智能算法和PSO和ASA技术支持。结果使用DE-NN PE-I训练网络的权值PSO-ASA从PSO算法发现比技术。绝对误差的值从数学软件解决方案PSO-ASA在于范围10⁻⁰⁴到10⁻⁰⁷和匹配到5到7位小数与国家的艺术VIM和HPM的分析技术。

100个独立运行的基础上,对每一个算法来解决PE-I使用11和21个网格点,发现PSO-ASA技术不变的优越比使用标准PSO算法基于平均绝对误差的值,全球平均绝对误差,意味着健身,和收敛速度。然而,由于计算复杂度而言,PSO-ASA技术稍微计算详尽的,但它可以忽略由于其主导地位的整体性能。这项研究也可以扩展到使用其他生物启发计算算法求解PE-I,以及其他Painleve超验。

承认

作者欣然承认教授Adiqa Kausar Kiani为她提供有价值的建议来改善纸的表示。