研究具有极值分布的多目标随机运输问题的目标规划方法

摘要

本文提出了一种多目标multichoice运输问题（MCMOTP）时的目标的至少一个具有多个抽吸水平，以实现人的研究，和供给和需求的参数是未预定的随机变量。随机变量应假定为遵循极值分布，而需求和供应的限制将从概率的情况下被转换到使用随机法确定性之一。使用二进制变量A变换方法降低了MCMOTP成多目标运输问题（MOTP），选择用于从多个级别的每个目标一个抽吸水平。降低的问题，然后可以与目标规划求解。该小说改编的做法是显著，因为它使决策者来处理现实世界的运输问题的许多目标和复杂性的一个模型，找到一个最佳的解决方案。最终，混合整数数学模型已经制定通过利用GAMS软件，并且获得该模型的最优解。一个数值例子呈现演示详细该溶液中。

1.介绍

运输问题是线性规划的一个众所周知的具体应用，在这个应用中，项目将从$运输米$源$ñ$目的地[1]。该产品在$可用性一世^日$源是由$表示一个_一世美元, ,以及$Ĵ^日$ destination是$b_Ĵ美元, 。美元的罚款C_IJ$是目标函数的成本系数，该目标函数可以表示商品从来源到目的地的运输费用，希望将其最小化[1]。

问题可能有多个目标，它们可能相互冲突，例如，最小化运输成本和最小化运输时间。在这里，两个目标有相同的方向，即。，但这是有代价的。例如，使用汽车作为运输工具可能比空运成本低，但将需要更长的时间。因此，引入目标规划，使得决策者(DM)可以为运输问题中的至少一个目标设置多个目标层次的选择，定义一个多目标层次的目标规划运输问题。此外，供给和需求参数可以是随机变量，因此它成为一个随机多目标层次的目标规划运输问题。

马哈帕特拉(2考虑一个多选择随机运输问题(MCSTP)模型，其中约束的供给和需求参数服从极值分布。目标函数的一些成本系数是一种多选择类型。在最优解中，在满足源和目的需求的同时，确定要运输的单元数，以保证运输成本最小。

在本文中，我们将从另一个角度来看待这个问题，通过引入目标规划的概念，使模型能够处理多个相互冲突的目标，并为特定的目标设定多目标水平。新模型成为一个具有极值分布的随机多目标水平规划运输问题。

由于许多原因，供应或需求参数的不确定性，通常无法确定问题中任何参数的精确值。例如，市场波动或来自供应商的服务产出水平、原材料缺陷、机器性能、交货延迟和运输问题是导致供应假设不确定性的因素之一。同样，未知客户对买方提供的产品或服务的需求、客户偏好、竞争和不可预测的经济是导致需求不确定性的因素之一。通过考虑随机变量服从一个特定的分布，而不是假设固定值，可以建立一个随机问题来克服这些不确定性。在这里，假设一个极值分布，用不相交机会约束方法将约束从概率转化为确定性。当要求将分布限制在独立同分布随机变量样本的最大或最小值时，使用极值分布。极值分布Ⅰ型的概率密度函数[3.]具体如下：

目标规划是处理多目标优化，其中个体目标往往相互冲突线性规划的扩展。这些措施每一个被分配到实现目标或目标值。从目标值的这种安排不希望的偏差，然后通过一个成就函数最小化。这可以是一个载体，或者根据所采用的目标规划变体或DM的要求，加权和。

目标规划模型的类型是由DM的目标的性质决定的。最初的目标编程制剂命令不期望的偏差成临界层次结构，其使得更优先考虑到最小化的更重要的因素的偏差。这被称为字典（先发制人）或非阿基米德目标规划。

当优先级是相关的目标辞书目标规划都可以使用。在抢占目标规划，目标可以被分成不同的优先级。在这里，假定没有两个目标具有相同的优先级。每个将被依次从最重要的到最不重要满足。模式草案可以为每一个目标，以避免低估multichoice抱负水平（MCALs），占“多/越高越好”和“少/越低越好”的愿望。为了处理这些多个抽吸水平，二元变量的乘法术语使用，其中所有二元变量构成互斥的选择和选择只有一个变量。为约束要求的二元变量的数量相当于该约束的股权总数。

这篇文章随后组织如下。节2，一个问题概要进行考虑;数学模型将在一节中有3.,部分4将讨论将包含多个期望级别的目标约束转换为等效形式。最后，将在第节中给出一个演示该模型的案例研究5。

2.问题概述

孔蒂尼[4]考虑到随机目标规划模型的第一制剂。他设定的目标为不确定正态分布变量。为解决概率编程模型的技术是将其转换成等价的确定性模型。许多方法被提出来解决概率编程模型，其中最常用的方法是机会约束规划（CCP），由Charnes和Cooper [开发5- - - - - -7]。

张[8提出了一种新思路造型multichoice目标使用二元变量乘条款来处理多个抽吸层次规划问题。Biswal和阿查里雅[9提出了将多选择线性规划问题转换为等价数学模型的转换技术，其中约束与多选择参数相关。

许多研究人员广泛研究的MCSTP。Barik等。(10]提出了一个包含帕累托分布的随机运输模型。罗伊等人。[11]提出了一个等价的MCSTP确定性模型，假设两个模型都可用$一个_一世$和$需求b_Ĵ$是按指数分布的随机变量。Biswal和萨马尔[12]获得MCSTP的，他们认为，这两个$等效确定性模型一个_一世和美元b_Ĵ$遵循柯西分布。马哈帕特拉[2考虑具有极值分布的MCSTP，作为本研究的灵感基础。本文的创新之处在于将多目标问题包含在模型中，并从期望水平而不是成本系数参数来表示多选择问题。马哈帕特拉(2]还研究了一个包含Weibull分布的MCSTP模型，而Quddoos等人。[13给出了一个包含一般分布形式的MCSTP。罗伊(14引入拉格朗日插值多项式来处理多选择运输问题。其后，他发表了一篇有关多选择成本、需求参数及随机供应的运输问题的论文[15，其中他利用拉格朗日插值多项式为目标函数的成本系数和运输问题中约束条件的需求选择一个合适的值。采用随机规划方法，将随机供给约束转化为确定性约束。梅蒂和罗伊的主要出版物之一[16提出了改进的多选择目标规划(RMCGP)技术和一个实用函数作为实现MOTP的方法。在另一篇论文中，他们介绍了一种将多选择区间运输问题(MCITP)转化为确定性运输问题以解决[17]。在另外的出版物，同一作者证明解决使用multichoice目标规划方法[模糊运输问题（FTP）18]。罗伊等人。(19并结合RMCGP提出了在MOTP中引入二次尺度化函数的技术。

在本研究中，我们将提出一种新的方法来解决运输问题，即供给和需求参数是服从极值分布的随机变量。我们可以将运输时间最小化，将货物运输风险最小化，而不是将运输问题的成本系数最小化。作为一个额外的特征，每个目标可以有多个抱负级别，而不是只有一个。现在这个问题变成了一个多选择多目标随机运输问题。为了克服这一困难，首先我们将使用一种随机方法将概率约束转化为确定性约束。其次，应用二元变量的一般变换从多个层面为每个目标选择一个期望水平。简化后的问题变成了一个MOTP，它将通过目标编程来解决。

3.数学模型

最初，传统的交通问题考虑。如果X_IJ表示从源到目的地的传输量，然后可以按如下方式定义传输模型。

模型1 在哪里是每单位运输成本，是出货量，是源供应量一世,在目的地的需求量是多少Ĵ(20.]。

现在，我们考虑了随机multiaspiration水平目标规划运输问题极值分布的数学模型如下。

模型2 在哪里是的线性函数目标，人们的期望值是多少目标，是出货量，是源供应量一世,在目的地的需求量是多少Ĵ,是负偏差变量，并且为正离差可变。

3.1。转换的概率约束成确定性约束使用不相交的机会约束方法

从Mahapatra [2]，在供应和需求约束的右边随机性三种情况被认为是：(1)只有如下极值分布(2)只有如下极值分布（3）这两个和遵循极值分布

这导致了三种不同的模型(更多细节，见Mahapatra [2]。最终转化约束那么这里视为概率约束（4）转化为确定性的线性约束：

概率约束（5）转化为确定性的线性约束：

现在，我们将得到一个具有极值分布模型的确定性多目标规划运输问题。

模型3 在哪里是可行性条件。

4.将涉及多目标水平的目标约束转换为等效形式

考虑到目标约束具有多个期望水平，

用二元变量来选择一个单一的意愿水平，我们可以利用这个关系对确定的所需要的二元变量的数量给定线性约束下心愿水平[21]. 让 ,在哪里满足以下不等式：

不等式确定为:（一世）如果然后(从(12））(2)如果然后(从(13)- (15））

因此，新的目标约束会 在哪里表示二进制序列号的功能。

一个随机multiaspiration水平目标规划运输问题极值分布模型将如下。

模型4 在哪里是可行性条件。

5.案例研究

在本节中，从Mahapatra [案例研究2]被认为是进行了修改和极值分布代替威布尔分布的假设。在这个案例中，冷饮供应公司运送从贾尔格拉姆，克勒格布尔，Tarkeshwar，并包含3个在Dankuni，豪拉和阿散索尔三个产品中心4个目标中心冷饮。在夏季，冷饮是在四个目的地中心的高需求。交通时间成本是在交通规划方案的一个重要因素，以及运输成本。在生产中心的制造时间取决于电流供给，机器状况，熟练劳动力等交货时间与在适当的时间的产品的输送装置和无缝分发到目的地中心的可用性。运输时间成本和成本系数从每个源到每个目的地表被认为是1。

冷饮供应公司正在寻求达成以下目标：目标1是尽量减少运输时间成本和目标2是尽量减少运输成本。The target values are 112,000 or 113,000 hours and $150,000 or $160,000, respectively.

由于上述因素的波动，考虑了供给和需求参数服从极值分布的随机多目标规划运输问题方法。指定的概率水平与形状和规模参数的供应列在表中2，并在表中设置有需求参数的形状和尺度参数指定的概率水平3.。

利用表中的数据1- - - - - -3.，确定性multiaspiration水平目标规划的交通问题归结为如下：

验证可行性条件是否满足:

然后利用GAMS(软件)求解确定性线性混合整数问题，得到最优解:

其余的决策变量为零。结果表明，目标1的期望值为11.3万小时，零正偏差，即运输时间成本完全达到期望值水平；目标2的期望值为16万美元，零正偏差，即运输成本也完全达到期望值水平。

6。结论

本文探讨了供需参数服从极值分布的随机型问题。三种不同的方法（随机方法、二元变量方法和目标规划方法）可以组合起来得到运输问题的最优解。这为处理现实生活中的DM问题提供了新的能力，如农业、管理、经济和工业问题。文中给出了一个数值例子来说明该方法，并用GAMS软件进行了求解。可以将所提出的模型应用于特征工作中的实际问题，也可以采用其他多目标技术，如 -约束法，加权法，或模糊的编程方法，并比较它们的性能。

的利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

参考文献

1. D、 R.Mahapatra，S.K.Roy和M.P.Biswal，“涉及极值分布的多选择随机运输问题”应用数学建模，第37卷，no。4、2013年第2230-2240页。查看位置：出版商网站|谷歌学术
2. D. R. Mahapatra，“涉及威布尔分布的多选择随机运输问题”，国际优化与控制杂志:理论与应用(IJOCTA)，第4卷第1期1、2013年第45-55页。查看位置：谷歌学术
3. b . s .埃维里特,统计剑桥词典，剑桥大学出版社，英国剑桥，2002年。
4. B.蒂尼，“随机法，以目标规划，”运筹学，第16卷，no。3、576-586页，1968年。查看位置：出版商网站|谷歌学术
5. A. Charnes和W. W.库珀，“机会约束规划，”管理科学，第6卷，第1期，第73-79页，1959年。查看位置：出版商网站|谷歌学术
6. A. Charnes和W. W. Cooper， "机会约束和正常偏差，"美国统计协会杂志卷。57，没有。297，第134-148，1962。查看位置：出版商网站|谷歌学术
7. A、 Charnes和W.W.Cooper，“机会约束下优化和满足的确定性等价物”运筹学卷。11，没有。1，第18-39，1963。查看位置：出版商网站|谷歌学术
8. C、 -T.Chang，“多选择目标规划”ω卷。35，没有。4，第389-396，2007。查看位置：出版商网站|谷歌学术
9. M、 P.Biswal和S.Acharya，“多选择线性规划问题的变换”应用数学与计算，第210卷，第1期，第182-188页，2009年。查看位置：出版商网站|谷歌学术
10. Barik, M. P. Biswal和D. Chakravarty，“涉及帕累托分布的随机规划问题”，杂志跨学科数学，第14卷，第1期，第40-56页，2011年。查看位置：出版商网站|谷歌学术
11. S. K.罗伊，D.R。Mahapatra和M. P. Biswal，“多选择随机运输问题与指数分布，”杂志不确定系统，第6卷，第200-21320012页。查看位置：谷歌学术
12. M. P. Biswal和H. K.萨马尔，“随机交通问题柯西随机变量和多选择的参数，”[体育科学卷。17，第117-130，2013。查看位置：谷歌学术
13. A. Quddoos，M. G. ULL哈桑和M. M.哈立德，“多选择涉及分布的一般形式随机运输问题，”斯普林格加卷。3，没有。1，第1-9，2014。查看位置：出版商网站|谷歌学术
14. S、 K.Roy，“求解多选运输问题的Lagrange插值多项式方法”国际期刊应用与计算数学卷。1，没有。4，第639-649，2015。查看位置：出版商网站|谷歌学术
15. S. K.罗伊，“交通问题多选择的成本和需求和供应随机”中国运筹学研究会主办，第4卷第1期2，第193-204，2016。查看位置：出版商网站|谷歌学术
16. G. Maity和S. K.罗伊，“使用效用函数法求解与间隔目标多目标运输问题，”国际运筹学杂志卷。27，没有。4，第513-529，2016。查看位置：出版商网站|谷歌学术
17. "在多选择区间值运输问题中，通过单一目标函数使成本和时间最小化，"杂志智能与模糊系统，第32卷，第3期，第1697-1709页，2017年。查看位置：出版商网站|谷歌学术
18. G. Maity和S. K.罗伊，“解决使用多选择目标规划模糊运输问题，”离散数学，算法和应用卷。9，没有。6，文章ID 1750076，2017年。查看位置：出版商网站|谷歌学术
19. Roy, G. Maity, G. W. Weber，和S. Z. A. Gok，“用区间目标解决多选择多目标交通问题的二次尺度化方法”，运筹学年鉴卷。253，没有。1，第599-620，2017。查看位置：出版商网站|谷歌学术
20. h·a·塔哈运筹学导论，皮尔森/普伦蒂斯大厅，上鞍河，新泽西州，美国，2011年。
21. C.-T。“混合整数问题的有效线性化方法”，欧洲运筹学杂志卷。123，没有。3，第652-659，2000。查看位置：出版商网站|谷歌学术

版权

版权所有©2019 Hadeel铝卡塔尼等。这是下发布的开放式访问文章创作共用署名许可，它允许在任何媒体中不受限制地使用、分发和复制，前提是正确引用了原始作品。