性能的M / M / 1队列重审工作假期中断和古典重审政策

文摘

一个M / M / 1重审队列与工作中断是度假。在客户的到来,如果服务器忙,它将加入无限的轨道的大小。客户在服务一个接一个的轨道会在服务器空闲时在古典重审与再审率政策,在那里是轨道的大小。一个工作假期期间,如果有客户在服务完成即时系统,假期将会中断。在稳定的条件下,顾客的数量的概率生成函数的轨道。各种系统的性能措施也发达。最后,给出了一些数值例子和成本优化分析。

1。介绍

排队模型与服务器的假期已经被充分研究过在过去的三十年中,成功应用于制造和生产系统、服务系统和通信系统。队列的一些假期可以在田和张1]。的基础上,普通的假期,就是和芬恩2首次引入一类semivacation政策被称为工作假期(西弗吉尼亚州),服务器提供的服务在一个较低的速度在假期期间而不是完全停止服务。的动机分析M / M / 1 / WV队列模型大约multiqueue系统,每个队列可以在两种服务。从那时起,一些作品(3- - - - - -5出现,分析了单一服务器队列工作假期。为了有效利用服务器,李,田6]介绍了中断假期政策。工作假期期间,如果系统中存在至少一个客户在服务完成的时代,服务器将中断假期和恢复正常服务。工作假期中断已成为一个重要方面。使用矩阵分析法,李,田7]分析了GI /地理/ 1队列和工作假期和休假中断和李et al。8]讨论了GI / M / 1队列。使用一个辅助变量的方法,张和侯(9]调查一个M / G / 1队列与中断工作假期和休假。

重审排队系统所描述的功能,到达的顾客找到服务器忙加入重审轨道再试一次的请求。在过去的二十年里,重审队列已经被广泛的研究,因为他们的应用程序在电话交换系统中,通信网络和计算机系统。读者可以参考Artalejo和Gomez-Corral10)和Choudhury et al。11]。最近,重审排队系统与工作假期一直在广泛调查。做(12)首先研究了一个M / M / 1重审队列与工作假期。李等人。13)视为一个离散时间Geo /地理/ 1队列重审工作假期和休假中断和刘和歌曲14]引入了非持久的客户到Geo /地理/ 1队列重审和假期工作。道等。15]讨论了一个M / M / 1队列重审N-policy下碰撞和假期工作中断。使用矩阵分析方法,做12李,et al。13),刘和歌曲14道,et al。15获得固定的概率分布和显示队列长度的条件随机分解。使用一个辅助变量的方法,Aissani et al。16)和Jailaxmi et al。17)两个广义模型(12)一个M / G / 1队列。高和王18]分析了地理^X与通用重审/ G / 1重试排队时间和假期工作中断,和连续时间M / G / 1队列调查了高et al。19]。注意,上述论文的重审政策要么是重审政策或一般再审政策不变,只有客户的轨道可以请求一个服务。

许多排队系统的反复尝试操作在古典重审政策下,在每一块重复客户产生一连串的尝试独立于其他客户的轨道。在电话系统中,调用将再尝试可以被无限建模服务器队列的时间再尝试遵循一个指数分布。因此,它需要讨论重审队列与古典重审下工作假期政策。Ayyappan et al。20.首先研究了这样一个排队系统。为了获得稳态概率向量,轨道的大小是受限制的这样,任何到达客户发现轨道全被认为是失去了。还在这篇文章中,我们分析一个M / M / 1队列重审与多个工作假期在古典重审政策下,和度假中断政策被认为是。Ayyappan et al。20.主要集中在数值计算和近似,他们将直接截断法应用于发现稳态概率向量。我们更重视分析解决方案,轨道的大小总是无限的在我们的模型中。这个调查的新奇的是,我们使用概率生成函数方法处理服务器的稳态联合分布状态和客户的数量在轨道,和培养获得的遍历性条件的判据。最后,讨论了成本最小化问题。

本文组织如下。节2,我们建立模型。使用福斯特判据,病情稳定。节3,我们得到的平衡方程,推导出概率生成函数的客户数量的轨道。讨论了该模型的各种性能的措施部分4。部分5给出了一些数值例子和成本优化分析。最后,部分6总结了纸。

2。模型制定和病情稳定

让我们考虑一个M / M / 1队列重审工作假期和休假中断。客户根据泊松过程到达率。在客户的到来,如果服务器是免费的,到达客户立即得到服务。如果服务器,客户不得不等待无限轨道的大小。在本文中,我们采用经典的重审和再审率政策,在那里是轨道的大小。颁布的到来时,如果服务器忙,颁布将回到轨道。如果服务器不是占领,到达颁布立即得到服务。服务速度当系统不是度假。单一服务器需要一个工作假期当系统变得空荡荡的。假期之前的指数分布参数。在假期期间,客户可以搭配率。在服务完成即时在假期期间,如果有客户在系统中那一刻,假期被中断,服务器返回到正常工作的水平。工作假期将继续如果系统是空的。在每个假期,服务器只需要另一个新的假期如果系统是空的。

接下来,我们给这个模型的一个应用实例。在我们的日常生活中,一些社会组织可以提供电话心理咨询。在这里,我们考虑一个电话咨询系统配备一个心理咨询师(称为主服务器)和助理(称为替代服务器)。助理只提供服务(称为客户)当顾问的人士不工作。一般来说,有一个电话接线员负责建立服务器和客户之间的通信;操作员还需要记下电话的信息登记表(对应于“轨道”)。当一个人让一个电话,如果服务器是免费的,操作员笔记下来立即和客户提供的信息顾问或者助理。如果服务器忙,另一方面,接线员告诉客户一段时间以后再打来(称为再审),和客户的信息也应记了下来。重审客户再次调用时,操作员不需要记下的信息了。此外,如果客户在注册表单完成了他的服务,电话接线员将记下; then he can know whether the customer completed his service or not. When the operator finds that all customers in the registration form have completed their services (i.e., there is no customer in the orbit and the system is empty), the consultant will rest from his work (begin a vacation). During the consultant’s vacation period, the assistant will provide service. If a service is completed by the assistant and if there are customers in the registration form who have not received services (i.e., there are customers in the orbit and the system is nonempty), the consultant will come back from his vacation no matter whether his vacation ends or not (vacation interruption happens). Furthermore, when a vacation ends and if all customers in the registration form have completed their services, the consultant begins another vacation. Otherwise, the consultant takes over the assistant. In order to understand the customer’s need, the consultant will restart service no matter how long the assistant has served.

让是客户在时间的轨道上的数量,让在时间服务器的状态。有四种可能状态的服务器如下:

注意,当轨道是空的,这是不可能的,服务器在正常服务时间内是免费的。因此,是一个马尔可夫过程与状态空间

备注1。注意,在这个模型中,我们考虑工作假期中断政策,所以状态不存在。

定义 在哪里的概率是客户在正常服务时间到达;代表的概率客户到达在一个较低的服务时间和工作的假期没有结束;解释的概率客户之前到达工作假期,没有服务完成时结束。

让是时代的序列,一个正常的服务或服务完成时和较低;的随机变量序列嵌入式马尔可夫链形式。

定理2。嵌入马尔可夫链遍历当且仅当吗。

证明。不难看到是一个不可约和非周期马尔可夫链,转移概率是吗 在哪里 为了讨论的遍历性链福斯特,我们使用的标准与均值漂移 的测试函数。从转移矩阵,它可以很容易地证明了这一点 作为,存在。福斯特应用的标准,我们可以得到嵌入式马尔可夫链遍历。此外,自、应用的标准Sennott et al。21),我们可以得到对于遍历性是必要的。

由于泊松到达过程,使用面属性,它可以显示从伯克定理(见[22,页187 - 188)的稳态概率马尔科夫过程当且仅当存在病情稳定成立。现在我们定义极限概率

3所示。平衡方程和概率生成函数

图1介绍了系统的状态转移率图。在稳定的条件下,一组平衡方程如下: 定义了概率生成函数(pgf) 与。

乘以适当的权力在(10)和(12),总结了和重新安排的条款,我们得到 乘以适当的权力在(13),总结了和使用(9),我们得到 以类似的方式,从(11)和(14),我们得到 从(16),我们得到 从(17),我们得到 把(20.)(18),使用(19),经过计算,我们可以推出 求解一阶微分方程,我们有 在哪里 从(17)和(18),用,我们得到 从(19),(22)和(24),我们可以看到,,表达的吗。使用归一化条件,在下一节中,我们将获得。

4所示。性能的措施

从(19),我们有 从(22),我们得到 在哪里 从(24),用洛必达法则,我们获得 自 把(25),(27)和(29日)上面的方程,我们可以推出 因此,是发现。从(19),(22)和(24),,,完全计算。和客户的数量的pgf的轨道 的pgf系统是由许多客户 让表示客户的平均数量在轨道上服务器的状态。

区分(19)对,我们有 从(18),我们可以得到 区分(24)对和两次使用洛必达法则,的表达式获得的是 和微分(19对两次),并收益率作为 因此,平均轨道长度()是由 和系统平均长度()派生 服务器正忙着的概率 服务器是免费的概率 服务器的概率给出的工作假期 服务器在一个正常的概率是由服务时间 让()预期客户的等待时间(逗留)轨道(系统),使用小的公式: 系统繁忙的时期被定义为周期始于一个时代当一个到达客户发现一个空系统出发和结束时代的系统是空的。使用再生过程的理论,我们得到的 在哪里的时间长度,系统状态。自从interarrival时间两个客户之间遵循指数分布参数,我们有。因此,。

5。数值结果

在本节中,在稳定的条件下,我们提出一些数值例子来说明不同的影响参数对平均轨道长度的概率,系统繁忙和服务器的状态的概率(,,,)。此外,成本最小化问题也进行了讨论。这个模型的各种参数是任意选择的,,,,,除非他们视为变量或值中提到的人物2,3,4,5。

5.1。敏感性分析

数据2和3说明的效果在和为不同的值,分别。当,我们发现和都减少增加,有一个明显的措施性能的影响是不容忽视的。一个特殊的情况;,假期的服务速率等于服务速率在正常时期,和模型我们认为减少一个M / M / 1重审队列与古典重审政策。很明显,没有影响和同意,直观的期望。

的影响在呈现在图4;正如所料,随值的增加而减小。当很大,它可以观察到的效果在不明显的增加;这是因为我们认为假期工作中断的政策。如果系统没有空在服务完成即时在假期期间,服务器将回到正常工作水平。此外,由于常数重审政策意味着只有客户的轨道可以请求一个服务,我们可以发现的M / M / 1队列与古典重审政策小于的M / M / 1队列与常数重审政策。如图5,随值的增加而减小,有相反的趋势。原因是增加,平均轨道长度1 /和平均服务时间同时减少。

图6表明随值的增加而减小;这是因为意味着再审的时间减少增加。从即时当服务器变为空闲时,外部潜在的主要客户和重审客户竞争访问服务器,和越小意味着复审时间,更大的服务器很忙的概率,从而导致减少的。此外,在同等条件下,减少的结果的概率在增加系统是空的,和图7显示,增加而增加的值,而减少,增加。在图6与常数重审政策相比,我们也可以发现,古典重审政策有效地减少等待工作。

5.2。成本分析

在本节中,我们建立一个成本函数寻找最优服务率,以最小化预期的操作单位时间成本函数。

定义以下成本要素: :单位时间成本为每个客户在轨道。 :单位时间成本服务正常服务期间。 :单位成本在一个工作假期时间服务。 :单位时间内固定成本在度假期间。

基于上面列出每个成本要素的定义中,预期的操作可以由单位时间成本函数 因为预期的运营成本函数高度非线性和复杂的,它不是容易的导数。我们假设,,,和发展近似由MATLAB程序找到的最优值说,。

从图8,我们可以看到,有一个最佳的服务速率成本降到最低。实现计算机软件MATLAB的抛物线和控制误差的方法,我们找到了解决方案与。

6。结论

分析单个服务器重审与假期工作中断队列古典重审政策。使用嵌入式马尔可夫链和培养的标准,得到稳定的条件。客户数量的pgf轨道,和一些重要的性能的措施进行了讨论。此外,各种参数对系统性能的影响措施检查数值。在稳定的条件下,成本最小化问题。为未来的研究,使用相同的方法,可以调查类似的模型与批假期到来,没有中断。

相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作是由中国国家自然科学基金(11301306和11301306号)和安徽高等教育机构的自然科学基金(没有。KJ2014ZD21)。

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