一种价格和质量依赖需求的库存模型

摘要

本文分析了一种产品质量和销售价格联合确定的库存系统。假设只有一小部分有缺陷的物品可以修复/返工。需求率取决于产品的质量和销售价格。生产率、单价和持有成本取决于产品的质量。质量指数用来确定产品的质量。给出了在给定模型参数值下求解模型的算法。还进行了敏感性分析。

1.介绍

在每一个行业中，产品质量都是吸引客户的重要因素。对于耐用品来说，质量取决于几个因素。其中一些因素包括所用原材料的类型/质量、生产过程中使用的机器的类型/质量、参与生产系统的工人的技能等。很明显，高质量产品的单位成本很高。一般来说，单位成本随着质量的提高而增加。质量度量是所有生产系统中的一个重要问题。没有明确定义的质量测量方法。事实上，并非所有类型的物品都具有相同的质量特征。它因项目类型而异。有几篇关于质量度量的研究文章。梅恩斯[1]介绍了作为耐用品质量衡量标准的质量指数的概念。他建议结合品种特征和销售商特征来评估质量指数[2]将质量指标定义为基于分数寿命的两种不同寿命度量的比率;一个代表寿命利用率，另一个代表质量改进潜力。他推导了几种已知寿命分布的质量指标公式。一些学者提出了质量指数法来衡量海产品的质量。Huidobro等人[3.拟议的原金头鲷质量测定方法(Sparusaurata)，根据品质参数——肉弹性、气味、清澈度、鱼的形状。巴博萨和巴斯-皮雷[4]提出发展一套感官计画，以量度普通章鱼的品质。

虽然顾客倾向于购买高质量的产品，但有时由于价格高，他们会牺牲质量。因此，生产经理的一项具有挑战性的任务是生产质量合适的产品，并为这些产品设定合理的销售价格。通常情况下，当销售价格上涨时，客户的需求会减少。

在一些生产系统中，生产出来的所有产品都不是好的/完美的。这可以在易发生故障的制造系统中看到，在这种系统中，生产的产品是好的和有缺陷的产品的混合物。这种情况可以在大量生产单位的工业中发现。一些关于缺陷产品的研究文章是由Rosenblatt和Lee撰写的[5)，金和洪[6，萨拉梅和贾比尔[7]、钟及侯[8赵],[9]，萨那[10达塔(),11]，以及Mhada等人[12］.Rosenblatt和Lee [5]研究了不完善的生产过程对最优生产周期的影响。他们假设系统在生产过程中恶化，并产生一定比例的次品。金和洪[6分析了一个随机劣化并由处于控制状态向处于失控状态转变的生产系统。他们确定了最佳生产运行长度。萨拉梅和贾比尔[7]开发了一种EOQ模型，在该模型中，所生产的所有物品都不完美。他们认为，在筛选过程结束时，不完美的产品将以单批出售。钟及侯[8]分析了一个生产过程恶化和允许短缺的系统。赵(9]开发了一个有限生产率模型，假设有一部分不合格产品可以返工，其余的将被处理。萨那(10]分析了一个库存模型，以确定最优产品可靠性，最优生产率在有故障的生产系统。在他的文章中，需求率被假定为随时间而变化。达塔(11]提出了一个生产速率可调、销售价格需求敏感的库存模型。在他的文章中，他假设生产出来的所有产品都不是完美的。该模型共同确定最优产量、最优生产周期和最优销售价格。Mhada等[12]提出了一种好零件和坏零件完美混合的模型。但这些研究文章并没有将产品质量作为决策参数。一些研究人员意识到产品质量的重要性，并将质量因素纳入他们的模型。其中一些文章是陈的[13]、Mahapatra和Maiti [14]，陈及刘[15，陈[16］.陈(13]开发了一个模型来为直接的公司寻找最优的质量水平、购买价格和销售数量，但是他的模型在所有生产单元都不好的生产系统中是无效的。Mahapatra和Maiti[14]提出了一个多目标、多产品的库存模型，该模型的需求率与质量和库存有关。他们的论文既没有关注销售价格对需求的影响，也没有关注缺陷产品。陈及刘[15]提出了考虑固定费用和单位佣金的最优寄售策略。他们的模型确定了一个比传统生产系统更高的制造商利润，并协调零售商获得较大的供应链利润。陈(16]修改了陈和刘的模型[15]通过考虑零售商订单数量对制造商产品质量的影响，他认为产品质量是正态分布的。上述文章均未解释在依赖质量的生产率和成本下共同确定最畅销价格、产品质量和产品数量。

在本文中，作者试图建立一个综合上述因素的库存模型。该开发模型的显著特点如下:(我)需求率取决于质量和销售价格（销售加价率）；(2)生产的产品中有一小部分是有缺陷的，只有一小部分有缺陷的产品是可修复的；(3)单位成本和持有成本是可变的，取决于质量;(iv)生产速度取决于质量。该模型最大限度地提高了单位时间的平均净利润，并确定了最合适的质量和最可能的销售价格加价。并确定了每个周期的最优生产数量。该模型适用于制造商想要共同确定所要生产的产品的质量(等级)和产品的销售价格以使单位时间平均净利润最大化的制造系统。通过数值算例说明了模型的正确性。进行了敏感性分析。

2.假设和符号

在开发的模型中使用了以下假设和符号。

生产过程。生产过程并不完全完美。生产的产品中有一小部分是次品。一小部分有缺陷的东西可以修复，使它变得完美。其余部分无法修复，将被处理掉。

产品质量。产品可以生产不同的质量，但制造商想要销售的特定质量将是最有利可图的。实际上，原材料的种类，在生产线上工作的工人的技能，以及在生产系统中使用的机器的质量是对质量负责的。质量应由制造商控制。质量由质量指数来表示，．在这里,是销售产品所需的最低质量。表示最高质量。

生产速度。生产率依质量而定。生产速度是的递减函数吗．这意味着当质量提高时，速率降低。这个比率以下列形式计算: 在哪里表示生产速率的常数部分，不依赖于质量和第二部分减少与质量。可以注意到和．这种类型的产量可以在Datta中看到[11］.

单位成本。单位成本产品的质量取决于质量。质量越高，成本越高。单位成本的线性形式如下在哪里和是两个正常数。可以注意到．

账面成本。搬运/储存成本单位时间内。成本随着质量的提高而增加且取二次形式:在哪里和都是正的常数。

考虑以下 :所生产的次品的比例; :有缺陷的物品的一部分，可以修复使其完美; :每次生产运行的安装成本; :处理不可修复物品的单位处理成本; :修理一台设备的成本; :销售加价率(．销售价格是为每一单位产品的质量．但为了赚取利润，应大于1。

时间范围。时间范围是无限的。

短缺。短缺是不允许的。

需求率。需求率取决于两种加成率质量呢?．随．通常情况下,是的递增函数吗，但在某些情况下，顾客通过价格来判断质量。如果价格太低，他们会怀疑质量而拒绝购买。这意味着对于给定的，需求会随之增加达到一定的水平，然后就会下降。

此外,应该是凹的．因此，下列条件应满足：，，其中后缀(*)表示对“*”的偏导数。

下列条件必须满足：

3.提出了系统

时间刚过，生产就开始了。每台装置在生产后将立即由自动检查系统进行检查。有缺陷的装置将立即转移到维修车间，维修车间将可修复和不可修复的缺陷装置分开。金额（处置成本）将收取处置每个单元的费用。是修理每个部件使之完美的成本。当销售区域的库存为零时，这些修理后的部件将立即送到销售区域。系统的典型图如图所示1．生产和消费将共同持续.当时的库存水平是.生产准时停止．只会在期间消费．库存水平在某一时刻变为零．立即，修理单位将带来，这将提高库存水平当时．

这个初始库存水平将因市场需求而逐渐减少，并在某一时间变为零．的时间段定义一个完整的补给周期。

4.收入计算

所建议的存货系统涉及下列成本:设置成本、单位成本、持有成本、修理成本和处置成本。这里采用的策略是在一个补给周期内，使单位时间的平均净收入(ANR)最大化。决策变量是生产周期,标记率，以及质素水平．

收入计算详情期间生产总量＝．生产的不良品总数=．可修理的瑕疵品总数=．将被处理的不可修复的有缺陷的物品总数=．生产的完美物品总数=．库存水平当时可以表示为．及时的新鲜库存水平是．以下是和得到:和 ．一个周期的总生产成本=．设置成本=．总处置成本=．总修理费=．总持有成本=．总收入=．

因此，单位时间的平均净收益(ANR)为

5.模型的求解

对于给定的ANR值，存在ANR最大值的必要条件是 同时, 这意味着，对于给定的和， ANR最大值为定义为(5)．

属性1。根号下的表达式是正的。

证据平方根下的表达式是正的，如果是正的。
现在, 但是,通过(2),．
因此，平方根下的表达式是正的．(证明)

此外, 在哪里 极大值的充分条件为 第一个条件(a)已经证明。如果我们看(3.)，我们将会看到是订购成本、单位成本、处置成本和单位时间维修成本的总和，而是每件的售价。对于任何业务,或.这导致了结果．

因此,.这证明了（b）。

很难给出（c）的解析证明。然而，对于给定的模型参数值，这是可以证明的。对于给定的，最具经济价值和属于和可以通过联合求解(5)和(8).这些价值观和将给出一个给定质量的最大ANR值．最佳生产量在每个循环中将满足下列方程: 下面给出一个算法来解决这个问题。

算法。

第一步。选择一个需求模式。输入模型参数的值。

第二步。选择的增量说,．的价值，可以取0.1或0.01。使用一个计数器拿．

步骤3。取，．

步骤4。找到通过使用(5)．

第5步。找到由(8)．

步骤6。重复步骤3.，4和5直到和变得稳定。

步骤7。使用(3.)．设此值为ANR()．

步骤8。 ．

第9步。如果，移动到下一步。否则然后转到步骤3.．

第10步。比较ANR值找到它是最大的。对应的值，，将给出模型的解。

步骤11。停止。

6.一些特殊情况

案例1。当 当生产的所有产品都是完美的，这就是最优生产数量(OPQ)。可以看出，该OPQ表达式类似于生产速度有限且不存在缺货的基本库存模型。进一步，如果取极限为,然后这是经典的EOQ公式。

案例2。当， 当所有有缺陷的项目都不可修复时，这就是OPQ。如果我们进一步取极限,然后这与Salameh和Jaber的（10）相似[7当次品率是恒定的筛选率吗．

案例3。当， 当所有有缺陷的项目都可以修复时，这就是OPQ。

案例4。如果我们的替代品在(5)，它将给我们的最佳生产周期在每个周期 这和达塔(11除了分母的最后一项。达塔的11]第条假设缺陷项将在生产期结束时分离。因此，最后期限不同。

7.数值例子

例1。需求模式．

需求率取非线性形式:,在那里和为正常数(.可以观察到，．对于正需求，．因此，价值位于中间．参数值见表1．

解决方案结果如表所示2．

例2。线性需求模式．

让我们以以下形式分析线性需求模式的模型:在哪里.可以观察到满足条件．这种线性形式的一个优点是可以很容易地估计出常数，，通过使用多元线性回归。需求必须是正的，即，．这种情况给,说。因此，价值位于开球间隙．参数值见表3.．

解决方案结果如表所示4．

8.敏感性分析

在本节中，我们进行了敏感性分析，分析了需求参数和决策变量的影响，平均净利润ANR。在灵敏度分析中考虑了以前的数值问题。这些参数/变量变化的ANR变化见表5．

8.1.非线性需求模式分析（示例1）

可以看出，需求参数和是非常敏感的参数。ANR随着值的增加而迅速增加．但是，数值越高，增长速度越快．的参数相对不那么敏感。的参数对于较低的值相对于较高的值更敏感。决策参数是否比其他决策参数更敏感．值的变化12%会导致ANR值下降20%以上。

8.2。线性需求模式分析(例)2）

需求参数和非常敏感，参数对更高的值更敏感，但是对较低的值更敏感。需求参数相对不那么敏感。决策变量非常不敏感。的敏感性是温和的。为了更好地了解灵敏度，前面的结果以图形形式显示在图中2和3.．以下是上述分析的管理见解:(我)在估计需求参数时应适当小心。这些参数的一个小错误可能会误导生产经理;(2)如果生产经理被迫更改最优生产时间的时间很小，那么对最优利润的影响不会太大。

9.结束语

本文描述了如何解决与生产系统的缺陷有关的管理问题，该系统产生了完美和缺陷单元的组合。假定只有一小部分有缺陷的产品是可修复的。该模型共同决定产品的质量和销售价格，使单位时间的平均净收入最大化。建立了一个通用模型。为说明该模型，给出了两种需求模式下的两个数值问题。对这两个例子进行了敏感性分析。给出了求解该模型的算法。这种算法有助于生成计算机代码。但是，可以使用MATLAB等标准优化软件来求解该模型。在MATLAB中,fmincon函数可以使用。该模型认为质量是一个连续变量，由质量指标来描述，但可能会出现这样的情况，即制造商/业务组织可能会面临从有限数量的质量选项中选择合适的质量的问题。这意味着质量有一个离散的选项集。可以使用前面的模型来处理这种情况，只需要稍加修改。在这种情况下，为每一个可能的质量找到最佳的ANR，然后比较值，以找到最合适的质量。

通过考虑短缺、通货膨胀和依赖于库存的需求率，有足够的空间扩展这个模型。

利益冲突

作者声明与软件包MATLAB没有利益冲突。

致谢

作者非常感谢匿名推荐人的宝贵意见/建议。

参考文献

1. e·s·梅恩,家庭生产及消费，国家经济研究局，剑桥，马萨诸塞州，1976年。
2. 蒋锐，“基于产品寿命分布的产品质量指标”，载国际测量技术与机电一体化自动化会议论文集(ICMTMA '09)，第573-577页，2009年4月。浏览：出版商的网站|谷歌学者
3. A.Huidobro，A.Pastor和M.Tejada，“为生金枪鱼（Sparus aurata）开发的质量指数方法，”食品科学杂志，第65卷，第5期7，第1202-1205页，2000。浏览：谷歌学者
4. a . Barbosa and P. Vaz-Pires，“质量指数法(QIM):一种普通章鱼(octopus vulgaris)的感觉系统的发展”，食品控制，第15卷，第5期。3，页161-168,2004。浏览：出版商的网站|谷歌学者
5. M. J. Rosenblatt和H. L. Lee，《生产过程不完美的经济生产周期》，国际教育协会事务第18卷第2期1，第48-55页，1986。浏览：谷歌学者
6. C.H.Kim和Y.Hong，“恶化生产过程中的最佳生产运行长度，”国际生产经济学杂志，第58卷，第2期，第183-189页，1999年。浏览：谷歌学者
7. M.K.Salameh和M.Y.Jaber，“不完全质量项目的经济生产数量模型，”国际生产经济学杂志号，第64卷。1，页59-64,2000。浏览：出版商的网站|谷歌学者
8. Chung和Hou，“生产过程不完美且允许短缺的最佳生产运行时间，”计算机与运筹学，第30卷，第2期4，第483-490页，2003。浏览：出版商的网站|谷歌学者
9. 赵玉平，“基于随机不良率、返工过程和积压的有限生产模型的最优批量确定”，工程优化，第35卷，第4期，第427-437页，2003年。浏览：出版商的网站|谷歌学者
10. S.S.Sana，“不完美生产过程中的生产库存模型，”欧洲运筹学研究杂志，第200卷，第2期2，页451-464,2010。浏览：出版商的网站|谷歌学者
11. T. K. Datta，《部分缺陷产品库存系统中的生产速度和销售价格的确定》，应用数学学报-建模与仿真， vol. 1, no. 12, pp. 15-19, 2010。浏览：谷歌学者
12. F. Mhada, A. Hajji, R. Malhamé， A. Gharbi，和R. Pellerin，《生产有缺陷产品的不可靠制造系统的生产控制》，维修工程质量学报，第十七卷，第二期3，第238-253页，2011。浏览：出版商的网站|谷歌学者
13. C. Chen，“中间企业的质量水平、销售数量和购买价格的最优确定”，生产计划与控制，第11卷，第7期，第706-7122000页。浏览：出版商的网站|谷歌学者
14. N.K.Mahapatra和M.Maiti，“需求和库存相关且随机恶化的多项目多目标库存模型，”高级建模与优化，第7卷，第5期1，页69-84,2005。浏览：谷歌学者
15. 陈少林，“供应链协调下制造商的最优寄售策略”，国际生产研究杂志，第46卷，第18号，第5121-5143页，2008年。浏览：出版商的网站|谷歌学者
16. 陈志强，“最优工艺均值与经济订单量的联合确定”，淡江科学与工程学报第14卷第2期4，页303-312,2011。浏览：谷歌学者

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