文摘

Fermat-Weber问题的最优定位服务设施欧几里得连续二维空间通常是通过迭代过程首先解决建议Weiszfeld或更高版本。方法通常是相当有效的,但特殊问题在文献中描述的迭代的解决方案是非常长。这些问题的解决方案正值一个需求点或近一致。我们描述一个noniterative直接选择,基于个人的见解,梯度组件需求点可以被认为是集中力量对解决方案。这是证明了对称问题没有迭代,从而可以优化解决在静力学类比找到平衡点。其中包括著名的坏脾气的问题和它的变体,它现在可以轻松地解决了最优使用几何因素。

1。介绍

现代问题,找到最优的位置服务设施对于一个给定的一组点的需求来自一个古老的几何问题。根据库恩(1),它是由费马在17世纪早期首先提出的。Torriceli是第一个显示的几何建筑解决方案(见连续加感和Vajda [2]),显然施泰纳解决了一遍在19世纪。问题:给定三个noncollinear点,找到一个点,这样给定的点距离之和最小。解决方案是,如果所有的角度给出的三个点形成的三角形小于120°,最优位置的点线,得出径向每个需求点,形成三个120°角。几何方法在文献中寻找这一点得到(见,例如,Georg选择数学附录韦伯的书(3],Wesolowsky [4),和马提尼5])。如果三角形包含一个角大于或等于120°,那么最优位置是顶点。当需求超过3点涉及不同的需求点可能有不同的权重,是最小化代价函数的问题 在哪里是给定的点的数量,的重量吗th点,之间的欧氏距离th点坐标和点的位置。问题通常称为韦伯问题,后一个重要的工作,韦伯(3]。

为了研究解的性质,可以把第一个衍生品(1.1),即 的必要条件是一个解决方案的金额(1.2)等于零。此外,由于成本函数(1.1)是凸(见,例如,(6),如果有一个局部最小值,它必须是一个全球。因此,主要目的是找到一个点,这将是问题的最优解。

设置(1.2)为零收益率 这些方程不能解决在封闭形式,Weiszfeld [7建议一个迭代过程基于(1.3)(参见英语翻译,Weiszfeld和Plastria8])。Weiszfeld形容迭代计划 不同的建议的第一个猜被赋予“重心”很受欢迎。Ostresh [9)和其他(见,例如,10,11)指出,事实上,Weiszfeld的方法是最速下降法,即由方向(1.2),当步长由分母(1.4)。Ostresh也表明,在许多情况下,倍步长加速法的迭代过程。特殊情况的Weiszfeld方法不能有效地收敛于最优解(已报告1,12- - - - - -16])。这些包括案例的解决方案同时或近恰逢一个需求点。Katz (13)表明,在这种情况下,最优解的同时,一个需求点,可能是次线性收敛;在某些情况下,这可能会导致一个非常缓慢的收敛Weiszfeld过程,描述在下面第三个例子。已经提出一些补救措施改善收敛性(例如,[17- - - - - -19])。

在某些情况下,落在一个需求点的迭代程序不是最优,因为不是可微函数在这样的时刻,这个过程不能进行。应该指出,Ostresh [9)表明,这个问题可以解决大多数情况下通过识别需求点解点困不是最优解,远离它,继续Weiszfeld迭代。在这种背景下,让我们提到一个猜想Chandrasekaran和塔米尔(20.]说,“如果顶点集的凸包的尺寸,然后设置的初始点Weiszfeld算法所产生的序列降落在一个顶点是可数的。“Brimberg (21)试图解决Chandrasekaran的悬而未决的问题和塔米尔的雅可比矩阵迭代的分析功能。他总结道,有一个凸包的尺寸是集的充分必要条件是可数的。canova et al。16通过提供反例)驳斥了这一结果。在以后的工作中,Brimberg [22)解决了这个问题。他表明,当不动点的凸包中包含的仿射子空间起始点的集合,过早终止Weiszfeld算法在定点nondenumerable这些一般条件下。然而,当凸包完整的维度这集是保证是可数的。因此,Chandrasekaran构成的悬而未决的问题和塔米尔(20.镐。

请注意,几位作者(例如,7)表明,一个需求点最优最小位置当且仅当它的重量大于个人的矢量和梯度的标准元素的其他需求点的位置点, 陈所指出的(23),一个可以考虑的力学模拟在(1.1)看作是一个标量场类似于重力或电场的潜力。第一个衍生品(1.2)可以被视为和组件的合力作用于找到最优的服务点。从“物理”的角度来看,一个对象放置在一个力场吸引点分布在二维空间。给定的点的物体相互吸引,吸引到th点与点的重量成正比。力的方向沿着线连接组件是粒子和th点。如前所述,陈(23]和Wesolowsky [4),这个力元素的力量并不依赖于粒子之间的距离和需求点。问题是,找到一个静止的点粒子在这个领域。而不是电子和引力场的情况下,没有任何一个驻点存在,存在一个最小值点总是在目前的情况下。

已经提到的一个可能性是,解决方案的同时,其中的一个需求点。由于成本函数是没有可微的一个需求点,这可能导致困难如果迭代过程步骤到需求点,是否最优。一个巧合的可能性解决方案的需求点讨论了Katz (12],库恩[1),和其他人。Katz建议首先检查每个需求点的最优使用(1.5)在继续之前的迭代,且仅当所有的需求点被发现是最优,迭代过程应该开始了。

在下一节中,我们简要介绍了机械模拟韦伯问题然后继续noniteratively类的问题可以解决,使用引力的概念和一个特定问题的对称。

2。机械模拟

在韦伯的数学书附录3),选择描述了一个模拟装置之前发明的Varignon解决韦伯问题(参见Wesolowsky [4])。他的方法主要是直观的,但其背后的基本原理是几乎一样的,上面提到的势场和力的概念。的地图区域问题是放置在一个董事会,和洞中钻点需求的位置在哪里。字符串是通过洞,重量成正比经济“权重”被挂在他们。另边的字符串是绑在一起。很明显,可能一些振荡后静止的情况下达到平衡点,即最小化问题的解决方案。显然,方法的准确性受到的摩擦力字符串漏洞,事实上,它看起来很原始的选择一个有效的数值程序是可用的。然而,机械模拟提供了一个了解解决方案的属性。

解释说,由于每个需求点力元素在径向方向,但独立的需求点之间的距离和服务设施的位置。这个事实的一个有趣的暗示是,一旦解决方案的位置是已知的,它实际上是其他问题的解决方案中,每个需求点沿射线可以任何地方连接服务设施点和需求点,而不改变其重量(见[4,23])。当然,这不能帮助解决这个问题,但是它确实给一些理解的解决方案的敏感性变化需求点的位置。

3所示。韦伯Noniterative解决一些问题

正如上面指出的,一种可以解决noniteratively韦伯问题是场景解决方案的同时,一个需求点。在现在的环境下,这发生在重量的需求点大于所有其他部队的合成(所有)(见,例如,10,23- - - - - -25])。在目前的工作中,我们专注于直接解决方案服务点不符合需求点。显然,这是一个平衡点,拉动力量的总和是零。的事项非常类似机械静力学。

第一个例子是一个问题由库恩(1)展示的可能性Weiszfeld方法不收敛到最优解。四个顶点在平面上的问题是图所示1。两个需求点与权重在设在在和和其他两个需求点在和。库恩(1)表明,如果迭代的起点,Weiszfeld步骤需要我们的需求点₁,这不是最优,被“困”。库恩指出,最佳的解决方案是在原点,。我们表明,利用力的概念,这个结果很容易达到。对称的问题,很明显的解决方案是在设在。也很明显,它不能被正确的的₂因为所有的权重都拉到左边。考虑点之间₁和一个₂,我们可以很容易地看到,这些需求点的力量相互制衡,但是₃和一个₄有力量把左边的组件。因此明显,解决方案必须在−20和20之间,在一个点表示。力的₃是13个单位线连接,它的水平分量离开,也是同样的道理₄。解点应该是,如上所述,一个平衡点,合力为零。用给定的权重的部队的组件设在必须平衡,即 的收益率。从较低的三角形,很明显,。从一个基本的三角恒等式,。因此,我们得到立即,收益率,即解决方案是在原点。

第二个例子也有类似的对称性,但似乎给一个更深层次的了解得到的解决方案的可能性noniteratively对称的问题。如图2,两个大盘需求点是位于和。位于两个需求点设在,和,重量和,分别。不失一般性,我们可以假设。由于对称性,优化解决方案预计将在积极的一面的设在,我们正在寻找解决方案,解决方案的位置设在。的拉力₁是沿,其组件设在是到左边。

也是同样的道理₂,所以在一起,他们施加的力而这两个左侧制造相互抵消。两个重量的合力设在是。因此,平衡条件 从较低的三角形,很明显 从(3.2)和(3.3),我们可以写通过消除 通过简单的代数, 显然,如果和保持不变,增加,解决点右移。的价值达到下的表达式的平方根等于1时,哪时 根据前面的讨论,对于较大的值,解决方案仍在。

类似的考虑申请其他问题,例如,一个₁和一个₂在设在以对称的方式。也为给定的值和需求点₃和一个₄可以移动的吗设在(提供了一个₃仍在消极的一面,₄从积极的一面来看),解决方案不会改变。唯一的区别可能与相关的终点(3.6)。当变大,点“卡住”的解决方案₄。如果一个₄位于更加右倾,使用(3.5),我们可以看到,例如,为了配合解决的条件₄位于是 自小于,应该得到更大的对于一个给定的到达之前解决方案。

类似的考虑可以为更多的需求点的问题设在和双点对称放置的设在。

现在我们转到Drezner[提出的问题14,17这对Weiszfeld算法是极其困难的。这是(规模),如图所示3。它由五个需求点,四个位于单位正方形的四个角,,,,的重量和五分之一点位于各1人重量的4。解决方案是已知与后者的需求点,但Weiszfeld过程需要数以百万计的迭代中得到最佳的0.001。方法来改善这个已经提出,但是我们想在这里显示,使用力量的概念和对称,对于这个问题,一些有趣的变异,noniteratively可以找到解决方案。

从对称,很明显,解决方案应该沿着对角线。如果我们考虑点对角线上靠近点4单位,后者施加一个力向上沿对角线。的权重和发挥团结力量向下沿对角线。每个其他的点,和施加一个力,沿着线连接它与团结,其组件沿对角线略小于团结。因此,无论我们有多近,总力向下沿对角线是略小于4,点拉到和解决方案最终在这一点上。

现在让我们考虑在重量的情况下会发生什么是略小于4。可以想象,从某个体重下降,解决方案将在对角线,之间和。让我们沿着对角线表示任意点在哪里。考虑的角度如图3。它很容易看到 使用三角恒等式 我们得到了 权重的组件和沿着对角线是,因此,我们可以把他们的贡献沿着斜向下的力 为,我们得到(角用在图3)。注意,总拉力下降沿对角线是3.9999475由于额外的团结权值和。自为减少变大,是一个缓慢增长函数(大,越来越变大)。如果小于3.99997475,将会有一个平衡的对角线。为了找到这个点对于一个给定的重量,让我们反功能。为,在那里,让我们找到。这将是重点沿着对角线,所有需求点的力量平衡。从 我们很容易得到 例如,通过插入,我们得到;;。当然,这些相关权重为3.999,3.9999和3.9999747,分别。最后这个例子中,如果需求点的重量大于3.99997475,这一点是最优的。如果重量在是略低于3.99997475 (略低于1.99997475),解决方案是对角线上,两者之间和,可以由(3.13),不需要迭代。请注意,该解决方案,也就是说,,一个人;因此,对于重量的或更低,在,解决方案的同时,需求点。重量小于在,解决方案是将进一步沿着对角线。重量的0,解决方案将在。

4所示。结论

通过使用虚拟力的概念,目标函数的梯度的组件Fermat-Weber问题,直接这样的一些问题可以解决,没有迭代。一些例子的需求点分布对称对一些轴所示。这包括问题的迭代过程表现不佳。特别地,图中给出的问题3是感兴趣的。这里,由于问题的特殊几何形状,非常分钟需求点的重量的变化引起大的变化在对角线上的最优位置。这种特殊的属性似乎与极其大量的迭代需要达到的最低使用Weiszfeld方法。