不完美修复下定期检查系统的最佳维护策略

摘要

本文研究了系统定期检查的维护策略，以检测故障的发生。在第一次如果发生故障，系统将进行不完善的维修，使系统恢复到运行状态，同时故障发生后，我们进行了完美的修理，将机器恢复到崭新的状态。讨论了极限平均可用性和最小成本策略。

1.介绍

所有系统都可以进行随机失败。在某些情况下，这些可能导致人类生活中的灾难性后果，是核植物最杰出的例子。致力于生产货物生产的制造系统中失败的发生并没有如此破坏性效果，但由于停机时间和缺乏系统可用性，导致的经济损失。

维护政策主要涉及使用年限和使用情况，两者都是系统故障的原因。预防性维护在故障之前进行，旨在降低故障风险。纠正性维修是在系统故障后进行的，可分为完全维修和不完全维修。前者将系统带回了一个新的领域像新的一样条件通过任何程序或甚至通过新的相同一个更换系统。后者在某处恢复操作条件as和像新的一样. 只要不更换整个系统，而只更换其部分部件，不完善的维修就构成了一种更现实的方法。在布朗和普罗森的作品中[1.]以及中川和安井[2.不完美的维护是有可能实现的或者一个完美的概率．重要的是要注意，不同的概率结构取决于维护操作的质量。

此外，许多工程系统都有所谓的未暴露故障，即只有通过特殊测试或检查才能发现的故障。这类故障通常发生在非连续运行的系统中，如备件或处于待机状态的部件。如果故障发生在机制空闲期间，它将保持未发现，直到下一次尝试使用，除非系统被监视。持续监测的高昂费用促使对系统进行定期检查，这是非常值得做的。一些工作侧重于基于定期检查的双变量政策检测其他未发现的故障，以及累计故障数，．Badía和Berrade的作品[3.–5.]、泽奎拉和贝伦格[6.， Zhang等[7.，王和张[8.]处理双变量策略，目标是获得最佳策略，使单位时间的长期预期成本最小化。

定期检查系统的一些例子包括火灾、气体探测器以及为防止特殊风险而安装的压力和安全阀。事实上，沃里奥[9]表示核电站安全系统中的缺陷失败是很常见的。一旦发现失败，系统就可以经历不完美的修复或完美的修复。前者通常便于昂贵，尽管在不完美的修复之后，系统寿命通常似乎短于执行完美恢复时。因此，先前允许几种不完整的维修，以完美的修理或单位的最终更换。这种不完美的维修尽可能多地延长系统寿命。Biswas等人。[10.分析一个定期检查的系统的可用性函数，该系统在完全修复之前经历了固定数量的不完美修复。Zhang等[7.，王和张[8.]考虑了专注于参数，预防性维护的定期时间和放弃更换系统的累计故障的定期时间的最佳双变量政策。在这项工作中，我们的目标是设计一项生物策略，考虑到检查时间以及完美修复前的允许失败数量，研究系统可用性和维护优化。我们的目标是无限时间跨度的成本最小化，以及获得最佳政策的条件。第二部分中介绍了维护模型以及可用功能。成本职能以及关于存在最佳政策的主要结果是第三部分，其中还提供了相关结论。最后一节包含一些示例，说明了理论结果。

2.介绍

考虑一个系统，其故障属于未显示的类型，它正在运行。并不时进行测试检查是否发生了故障。如果系统在两个连续检查之间的时间跨度在两个连续检查之间发生故障，则此故障将保持未检测到，直到在以下检查之后，系统经历不完美的修复。当。。。的时候如果检测到故障，则进行完美的维修。因此,，不完美的修复是在完美修复之前进行的。在这个模型中，检查的时间被认为是微不足道的，但修理的时间将被考虑在内。下面将使用下面的符号。

(我) :时间到下一个失败后不完美的修复。（ii） :对应的可靠性函数．(iii) ．(iv) ．（五） :检验后的次数故障检测到失败发生了。所以,在那里表示整数零件功能。(vi) ．（vii） ．(八) ：时间修复。(第九) ．（十） ．

我们假设平均维修时间，构成一个递增的序列．此外，完美修复可以使系统恢复到与新的状态。然而，系统的恶化不能通过不完美的修复来消除，我们假设在修复后的系统寿命呈现下降的模式。因此下列随机顺序关系成立: 在哪里表示通常的随机顺序，即， 用。表示的循环表示系统连续两次更新之间的时间跨度(见Ross [11.])。在这种情况下，只要进行了完美的修复，一个循环就完成了。因此，其长度为: 和它的预期长度 可用性功能位于表示，提供了系统准备好运行的概率，无论是否有一次使用. 在许多实际情况下，使用限制平均可用性： 在哪里和分别表示期望期间的预期正常运行时间和停机时间。此外

在这种情况下，前面的表达式是 我们应该向读者介绍。的下列属性如巴迪亚等人所示[12.]：

因此，下一个条件也成立 右边的限制意味着这类系统在没有检查的情况下往往是不可用的。

此外，是递减函数吗当且仅当是一个递增的过程。后者的导数表示为

指数的情况下
现在，让我们假设失败之间的时间顺序，是指数分布的吗和．然后 因此 因此，系统的可用性降低。因此，检查频率越低，系统在需要使用时就越可能不可用。

3.介绍

在本节中，我们专注于维护优化。该模型包括以下成本。

(我) :单项检验费用。（ii） :因修理不完美而造成的单一成本失败，,是一个递增的序列．(iii) :完美修理的成本。(iv) :一个周期内由于维修而产生的总成本，．（五） :由于停机时间造成的成本率。

无限时间跨度内每单位时间的成本，表示为，假设为该模型的成本函数。取决于定期检查之间的时间间隔，，以及完美维修之前的故障数量，．

重新奖励理论的主要定理（见Ross [11.])确保随着时间趋于无限，收敛到一个周期的预期成本与其预期长度的比率： 一个周期的成本给出如下: 前面表达式中的三个术语分别对应于由于检查，维修和停机费用而产生的成本。

一个周期的预期成本是 在哪里 代价函数是 数字1.显示以下费用:. 假定连续故障间隔时间服从带参数的指数分布．

下面的结果旨在提供在完美检验之前的不完美检验次数固定时，最优检验间隔存在的条件。证据的关键在于，无论何时条件成立，代价函数为- 作为时间的首次减少，即第一次减少，随着时间的推移反转这种情况。

定理3.1。鉴于， 那里存在,最小化，当且仅当．

证明。同样的性质出现在Section中2.是用来证明的吗验证以下限制条件: 是一个连续的非递增函数。本节条件相同2.沿着暗示存在具有是下列方程的唯一解: 除了
存在一个最小值，，是由随着．
此外是下一个方程式的根之一：
在情况下,那么 所以，．
临界条件相当于即，只要完全恢复的平均时间足够长，就值得一项维护政策。否则，维护成本不会弥补它们的益处。

3.1. 最佳N

维护政策包括不完善的维修遵循第一次的故障连同完美的修复后失败。本节的目的是寻找累计失败的次数，,最小化．

我们表示最优．下面的条件保证了局部最小值的存在: 也表示如下: 在哪里 此外 具有 相当于以下不等式： 由(2．2)通过尾部概率的大小，就可以得出结论 因此．除了是一个随时间增长的函数当且仅当所以 现在考虑相同的修复时间，也就是说， 然后．因此，(3.16）满意提供了持有。

根据上述计算，我们得出然后．此外，如果对所有那么．

的条件也表达为 因此在哪里定义如下: 这一点很重要是一个越来越多的函数，所以它可以说明这一点 条件式中的等价表达式(3.20）涉及有限的存在．它们表明，该系统应经历完美的恢复，条件是下一个失败的剩余时间不超过（3.20）.这个极限是一个涉及维护成本和故障之间的过去时间的关系，说明了从成本角度来看，完美维修，即新系统的改变，是最佳选择的时刻。

３．２．指数故障时间和最小修复

现在我们假设第一次故障遵循指数分布，不完美修复包括将系统恢复到故障前的运行状态的最小修复。因此在所有失败之间的连续时间里，，也是指数分布的是其平均值。

在这种情况下 下面给出代价函数: 具有．

在下文中，我们的目标是获得以下所示的最佳策略：令人满意的, 在哪里代表最佳对于一个给定的．

我们可以把分析限制在情况下,当那么和．

以下分析的目的就是要证明这一点 具有．

鉴于并提供了，最佳的是方程的唯一根吗在哪里 仔细检查让我们得出结论，如果那么．

除了当且仅当,在那里定义了下一篇： 是一个递增函数吗对于．此外 前提是. 所以,，if然后 接下来，我们展示对于．以下事实表明，越来越多和．然后. 所以,，．同样的论点可以证明这一点以及对于. 所以对于．因此，这是必然的 此外，在我们具有相同的修复时间的情况下，前面的结果与一节中的结果一起3．1导致

３．３．结束语

该模型构成了一种常见维护实践的方法，包括在系统使用寿命期间进行几次维修，当预期可用时间不够长时，以更换新系统结束。通过连续故障次数和增加维修次数的随机顺序，我们反映出，随着时间的推移，系统状况变得不完美，维护成本逐渐增加。

考虑了一个受检查以检测其故障的系统，因此我们处理了一个二元策略，其中一个术语指的是检查时间，另一个是系统替代之前的故障数量。关于最佳政策，我们获得条件，确保在检查和维修使用中的系统时仍是有利的。

这项研究是通过一些与指数分布后的故障间隔时间相关的见解来完成的。

4.例子

例4.1。让我们考虑一下,,为威布尔随机变量，其分布函数为: 具有和. 到达目的地的平均时间在后面的失败不完美的修复是 我们假设以下不完美的修复成本th失败 具有是一个正的常数。除了时间的不完美修复已定．

这是由Section的结果可知的3．1，最佳大于或等于．我们的目标是求得两者的局部最优和利用中川提出的以下算法[13.]还有泽奎拉和贝伦格尔[6.］．

步骤1。设置．

步骤2。计算Y．

第3步。如果然后设置然后去步骤2.．

表格1.包含随着当地的最佳选择和在不同的代价值和参数下和．

例4.2。考虑一个系统，它的失效时间假设是一个指数分布，其均值等于并受到统一成本的检查以及最低限度的维修费用．停机时间的成本是．修理的时间是表格2.给出了不同完全维修成本下的最优策略鉴于表3.处理独特的最小维修成本。

检查表格中的结果2.和3.揭示了由于完美修复和最小修复而产生的两种成本中的任何一种成本越高，，即检查的频率越低。此外，较高的小修理成本意味着在完美修理之前的累计故障数更少，而增加完美修理成本则会导致相反的效果．

致谢

本研究得到了西班牙教育部MTM2007-63683研究项目的支持。作者谨感谢两位匿名推荐人的宝贵意见。

参考文献

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