论测地线的性质-Preinvex功能

摘要

本文研究测地线的性质-预不变函数及其与-不变函数和严格测地线-preinvex功能。测地线-pre-pseudo-invex和测地线介绍了测地线不变集上的-预拟不变函数，并讨论了它们的一些性质。

1.介绍

近年来，对凸性的经典性质进行了一些推广。线性拓扑空间中的这一概念依赖于空间中任意两点之间的线段连接的可能性。1981年，Hanson [1通过一般化两者的区别，引入了不变的概念在凸函数的定义中任意函数．Hanson的初步结果启发了大量的后续工作，极大地扩展了invexity在非线性优化和其他纯和应用科学分支中的作用和应用。

本-伊斯雷尔和蒙德[2引入了凸集和凸函数的一种新的推广。克雷文(3.分别称它们为不变集和不变前函数。Jeyakumar [4]研究了预不变函数的性质及其在优化和数学规划中的作用。

一般来说，流形不是线性空间，但概念和技术从线性空间扩展到黎曼流形是很自然的。Rapcsak [5]及Udrişte [6研究了一种广义的凸性，称为测地凸性，并将凸分析和优化理论的许多结果推广到黎曼流形上。在这种情况下，线性空间被黎曼流形所代替，线段被测地线所代替。欲知更多详情，读者可参阅[5，6以及其中引用的参考文献。

中引入了黎曼流形上不变函数的概念7]，然而，Mititelu [8]．Barani和Pouryayevali [9针对特定映射引入了黎曼流形上的测地线不变集、测地线不变函数和测地线预不变函数，并研究了它们之间的关系。

本文讨论了黎曼流形上函数的各种概念、定义和性质。本节回顾了不变的概念及其在黎曼流形上的推广2．节3.，讨论了测地线的一些性质-预不变函数及其与-invex功能。严格测地线之间的关系-预不变函数和测地线-预不变函数。我们还证明了复合函数是测地线不变集上的不变集。

测地线-pre-pseudo-invex (p.p.i)和测地线-pre-准不变(p.q.)函数将在本节中介绍，并讨论它们的性质4．这里得到的结果推广了文献中存在的结果。

2.预赛

在这一节中，我们回顾一些关于黎曼流形的定义和已知的结果，这些结果将在整个论文中使用。关于微分几何的标准材料，可以参考[10]．

假设是一个完整的维黎曼流形。一个子集的称为完全凸，如果包含每一个地线的，其端点和属于［6]．

定义2.1。让是一个完整的-维黎曼流形完全凸出来．一个函数是测地线凸如果对所有的测地线弧和所有,一个 或 如果是一个可微函数。

让是一个维可微流形是到的切空间在．另外,假设切束是．对于任何，．

定义2.2(见[7，8])。可微曲线称为可微分应用。
让．然后是曲线的切向量在是．
假设是另一个可微流形吗是一个可微分的应用。

定义2.3(见[8])。线性应用程序定义为,在那里和叫做在点．但 所以, 分段的长度曲线被定义为 对于任意两点,我们定义 然后是诱导原始拓扑上的距离吗．我们知道，在每个黎曼流形上都存在一个协变的推导，称为Levi-Civita连接，用对于任意向量场．

定义2.4。测地线是光滑的路径哪个正切沿路径平行,也就是说,满足的方程．任何路径加入和在这样是一条测地线，它被称为最小测地线。
换句话说，a曲线其加速度矢量场完全消失的称为测地线[6]．

现在我们考虑一个应用程序这样对于每一个和任何．对于可微函数,扎7对invexity的定义如下。

定义2.5。可微的函数据说是-invex上如果对任何，
如果从流形是一个可微映射吗管汇的，则用的微分在．

Mititelu [8]将上述定义归纳如下。

定义2.6。可微的函数据说是-pseudoinvex上如果对任何，

定义2.7。可微的函数据说是-quasiinvex上如果对任何，

2.8的话。如果是可微的和吗- inex函数和对所有,然后是-pseudoinvex上．

在所有这些定义中， 如果是黎曼流形吗可微地图是从哪里来的来,然后 在哪里为梯度在点．

Barani和Pouryayevali [9定义了测地线不变集和函数不变黎曼流形的开测地线不变子集。

定义2.9。让为黎曼流形，设是这样一个函数，．一个非空的子集的是测地线不变集对如果对于每一个存在一条独特的测地线这样

定义2.10。让为黎曼流形，令成为…的开放子集哪个是测地线不变,让是定义在上的实可微函数．然后,据说是-invex上如果对于每一个， 可微凸函数(在开凸子集上)invex。此外，在一些关于流形的附加假设下，流形上更广泛的大地凸函数也包括在不变函数类中[11]．特别地，如果流形具有任意两点的性质，这是成立的存在一条独特的测地线加入他们。在这种情况下，测地线凸的函数也是测地线不变的．

3.测地线的一些性质-Preinvex功能

上预不变函数的定义是在[12]．参见[13，14求预不变函数的性质。Barani和Pouryayevali [9把这个概念推广到黎曼流形。

定义3.1(见[9])。让为黎曼流形，设成为…的开放子集哪个是测地线不变．然后,是测地线吗-preinvex上如果 对于每一个．如果上面的不等式是严格的，是严格测地线吗-preinvex上．

定理3.2。让为黎曼流形，设成为…的开放子集哪个是测地线不变．让是一个地线- preinex函数和let是一个递增的凸函数．然后是复合函数是测地线-preinvex上．

证明。自是测地线-预不变函数 自是一个递增凸函数吗 因此,是测地线-preinvex上．

定理3.3。让为黎曼流形，设成为…的开放子集哪个是测地线不变．让是一个地线- preinex函数和let是一个严格递增的凸函数．然后是复合函数是严格测地线-preinvex上．

证明。自是测地线-预不变函数 自得到的是严格递增凸函数吗 或 因此,是严格测地线-preinvex上．

同样，我们可以证明以下结果。

定理3.4。让为黎曼流形，设成为…的开放子集哪个是测地线不变．让是一个地线- preinex函数和let是递增的严格凸函数．然后是复合函数是严格测地线-preinvex上．

定理3.5。让成为…的开放子集哪个是测地线不变．假设，是测地线-preinvex。然后 是测地线-preinvex函数．

现在，我们证明下列命题，它保证了一个可微的测地线-preinvex函数是-invex。

命题3.6。让是一个完整的流形哪个是测地线不变．让是一个可微函数，并且存在一个序列正实数的集合作为和 对于每一个,然后是-invex上．

证明。我们有 自是可微的，取极限为在两边，我们得到 因此, 因此,结果。

需要注意的是，上述命题的反面一般来说是不正确的。然而，Barani和Pouryayevali [9证明，证明-invex函数是测地线-preinvex上如果满足条件在[9]．

下面的命题揭示了像凸函数一样，-invex函数被转换成-不变函数由一类合适的单调函数组成。

命题3.7。让为单调递增可微凸函数。如果是测地线不变集上的不变集，然后是复合函数是-invex。

证明。利用这个事实对于每一个,我们有 因此是-invex上．

4.广义测地线的性质-Preinvex功能

在[15， Pini引入了这个概念-pre-pseudo-invex和-不变集上的前拟不变函数。我们把这些概念推广到测地线上-pre-pseudo-invexity和测地线测地线不变集上的准不变用测地线代替线段。

让是定义在测地线不变子集上的函数黎曼流形的关于．

定义4.1。函数是测地线吗-pre-pseudo-invex (p.p.i)如果存在测地线一个严格正的函数这样 对于每一个和．

定理4.2。让为黎曼流形成为…的开放子集哪个是测地线不变．如果是测地线-preinvex,然后是测地线-pre-pseudo- inex对同一测地线。

证明。如果对于每一个和是测地线-preinvex,然后 在哪里．

定理4.3。让是一个地线-pre-pseudo-invex函数,让是严格递增的凸函数．然后是复合函数是测地线-pre-pseudo-invex上．

证明。自是测地线-pre-pseudo-invex函数,我们有 对于每一个和,在那里是严格正函数。
自是严格递增的凸函数吗 对于每一个和,在那里是严格正函数。这表明,是测地线-pre-pseudo-invex函数．

定义4.4。函数是测地线吗-pre-quasi-invex (p.q.i)如果 对所有每．

现在，我们来描述测地线-前拟不变函数的低水平集。

定理4.5。让的测地线不变子集和．然后,是测地线-pre-quasi-invex上当且仅当它的下层集是测地线不变集。

证明。假设是测地线-pre-quasi-invex函数和是．如果是空的，结果是平凡的。如果不是空的，也不是整套的，取任意两点和在．我们必须证明测地线包含在．自是测地线-准不变函数 对所有每．因此是测地线invex。
反过来，假设对于每个实数一组是测地线invex。取任意两点和假设．考虑较低的级别集．自测地线是不变的吗包含在．因此, 对于每一个．证据是完整的。

命题4.6。让是一个地线-pre-quasi-invex函数．然后,
(我)的每个严格局部极小值也是严格的全局最小值;(2)所有严格全局最小点的集合都是测地线不变集。

证明。 让是一个严格的局部最小值，而不是全局的;那么存在一个点,这样,．因为,是测地线-pre-quasi-invex,我们有，这与假设相矛盾为严格局部极小值。
如果没有最小值，则最小值点集为空，因此是测地线不变的。如果有最小值点在，则最小值点集为，它是测地线不变的。
测地线在非减函数组合下保持了-预拟不变如下图所示。

命题4.7。让是一个地线-pre-拟不变函数是一个非递减函数。然后,是测地线-pre-quasi-invex。

证明。考虑到是测地线-pre-quasi-invex功能和是一个非递减函数。然后,我们有 这说明了复合函数是测地线-pre-quasi-invex。

命题4.8。如果函数是测地线-preinvex上,然后是测地线-pre-quasi-invex上．

证明。让是测地线-preinvex函数．然后对每一个和，这就引出了 这表明,是测地线-pre-quasi-invex上．

命题4.9。如果是测地线-pre-pseudo-invex上然后是测地线-pre-quasi-invex上．

证明。让．自是测地线-pre-pseudo-invex函数对所有为了所有人,我们有 因此,是测地线-pre-quasi-invex上．

承认

作者非常感谢匿名审稿人对论文提出的宝贵意见和建议。

参考文献

1. M. A. Hanson，《关于库恩-塔克条件的充分性》数学分析与应用学报，第80卷，第2期。2，页545 - 550,1981。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
2. 本-伊斯雷尔和蒙德，“邪恶是什么?””,澳大利亚数学学会学报。B系列第28卷第2期1，第1 - 9页，1986。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
3. “广义凸分式程序的对偶性”，国立台湾大学哲学社会科学研究所硕士论文优化与经济中的广义凹性S. Schaible和W. T. Ziemba, Eds。，pp. 437–489, Academic Press, New York, NY, USA, 1981.视图:谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
4. V. Jeyakumar，《数学规划中的强和弱invexity》，在运筹学方法，第55卷运筹学方法，页109-125,Athenäum/Hain/Hanstein, Königstein，德国，1985。视图:谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
5. t . Rapcsak中平滑非线性优化ℝⁿ，第19卷非凸优化及其应用， Kluwer学术出版社，Dordrecht，荷兰，1997。视图:Zentralblatt数学|MathSciNet
6. c . Udrişte,黎曼流形的凸函数与优化方法年第297卷数学及其应用， Kluwer学术出版社，Dordrecht，荷兰，1994。视图:Zentralblatt数学|MathSciNet
7. R. Pini， "沿着曲线的凸性和不变性"优化，第29卷，第2期4，第301-309页，1994。视图:谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
8. Ş。可微流形的广义不变和矢量优化，微分Geometry-Dynamical系统，第3卷，第2期。1，页21-31,2001。视图:谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
9. A. Barani和M. R. Pouryayevali，“黎曼流形上的不变集和不变前函数”，数学分析与应用学报，第328卷，第328号2，页767-779,2007。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
10. 美国朗,微分几何基础，第191卷毕业数学课本，施普林格，纽约，纽约，美国，1999。视图:Zentralblatt数学|MathSciNet
11. T. Rapcsák，“曲面上的弧凸函数”出版Mathematicae第34卷第3期1-2，第35-41页，1987年。视图:谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
12. T. Weir和B. Mond，“多目标优化中的预不变函数”，数学分析与应用学报第136期1，页29-38,1988。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
13. S. R. Mohan和S. K. Neogy，《关于不变集和不变前函数》，数学分析与应用学报第189卷第1期3，第901-908页，1995。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
14. 杨新民，“关于预不变函数的性质”，数学分析与应用学报，第256卷，第2期1，页229-241,2001。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
15. R. Pini，“inexity和广义凸性”，优化第22卷第2期4，第513-525页，1991。视图:谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet

版权

版权所有©2009 I. Ahmad等人。这是一篇发布在知识共享署名许可协议，允许在任何媒介上不受限制地使用、传播和复制，但必须正确引用原作。