文摘

在提交论文,广义非线性薛定全垒打卷积方程及时内核和有特殊延迟卷积内核了。利用几何奇异摄动理论,证明了行波方面的存在。首先,我们展示了这种non-Hamiltonian及时行波方面存在的定性分析。然后,对于广义非线性薛定全垒打卷积方程与当地一个特别强大的延迟内核,获得所需的heteroclinic轨道通过弗雷德霍姆理论。

1。介绍

近几十年来,有两个重要的可积模型非线性数学物理,这是著名的非线性薛定谔(NLS)方程(1] 和非线性薛定导数全垒打(黑暗)方程 在哪里 , 是一个复杂的空间坐标的函数和时间 ,和 分别分散系数和朗道系数。 , 的共轭复数吗 。方程(1)和(2)模型的强激光束传播媒体和承认的解决方案变得无限大各向同性传播距离有限。在超短激光脉冲的情况下,时间效应(如色散)可以成为重要的。此外,在足够高的强度、电场电离介质,导致等离子体形成(2,3]。反过来,这导致介质的光学性质的变化,下落不明的(1)。非线性薛定谔方程模型还忽略了高阶非线性偏振的媒介。方程行波解和各种推广已经广泛研究了很长时间4- - - - - -6]。在文献[7),他们从理论上解决下面的行波解的存在性延迟非线性薛定谔方程:

意味着非线性响应延迟项(8)和参数 。他们致力于研究旅行的一波又一波的非线性薛定谔方程与分布式延迟通过应用几何奇异摄动理论,微分流形理论,和正则摄动分析。架连接和周期轨道的存在。在文献[9),一些双组分一般非线性薛定谔方程的精确解利用达布变换,获得包括“解决方案、呼吸的解决方案,和breather-rogue-wave交互。

在这篇文章中,我们将使用几何奇异摄动理论(10- - - - - -13]调查下面的广义非线性薛定全垒打(GNLS)方程 在哪里 是一个整数, 代表一个卷积在空间变量。当 ,这意味着有一个时间延迟的高阶非线性朗道。当 ,方程(4)减少方程(3)。我们应该注意时间延迟也含蓄地发挥重要作用的动力学行为(4),如非线性朗道术语涉及到这个时间间隔的大小。对方程(4),我们分析及时相应的常微分方程,与外地弱通用延迟卷积核,分别,然后证明行波的存在领域利用几何奇异摄动理论。

本文的其余部分组织如下。几何奇异摄动理论提出了部分2。节3方程(4)研究了两种情况:及时与当地强大的通用延迟内核。行波方程方面(的存在4)是通过使用几何奇异摄动理论,弗雷德霍姆理论。这是一个简化的结论部分4。

2。预赛

首先,我们引入以下结果不变流形将Fenichel [14,15]。

引理1。对于标准快慢系统, 在哪里 是一个真正的参数, , , 是在一组 ,在哪里 和是一个开区间包含吗 。假设 ,系统有一个紧凑的,正常的双曲流形的临界点 ,这是包含在一组 管汇的是双曲通常的线性化(5在每个点)正好有与零特征值实部,中心点的维数。因此,对于任何 ,如果 和足够小,存在多方面的 ,局部不变的流动下(5),这是在 和 。更重要的是, 对于一些函数和在一些紧凑 。存在局部不变的稳定和不稳定流形和躺在 ,并diffeomorphic和 ,分别。

定义2。一组从(局部不变下的流5)如果附近所以,没有轨迹可以离开还没有离开 。换句话说,它是局部不变量如果 , 意味着 ,类似与 取而代之的是 ,当 ,的符号 是用来表示一个流的应用后时间吗的初始条件 。
变化的时间尺度 ,系统(5)可以新配方 当 系统(5)和(6)是等价的,系统(5)的快速系统,(6)缓慢的系统。每一个落下的石块自然极限 。这些限制(5)和(6),分别由 前者称为层问题,后者称为减少系统。

3所示。行波领域的存在

行波前解 严格单调对吗 并与相移全局渐近稳定。对方程(4),在一定参数条件下,存在行波方面,满足 。事实上,这意味着有两个稳定状态方程,在本节中,给出了系统还原。然后,我们将建立行波方程方面(的存在4)在两种情况下:及时和与当地强大的通用延迟内核,分别。

3.1。该模型没有延迟

延迟的广义非线性薛定谔方程(4),行波形式 , ,和 ,在哪里是实值函数,代表了行波的振幅与波数 和频率 。核函数的财产 ,当及时,方程(4)减少

对于一个给定的常数 ,替换 到(8),实部和虚部的nondelay方程给出

然后, 。方程(9)相当于一阶方程组如下: 在哪里 。很明显,系统(10)是一个non-Hamiltonian系统。假设 ;不难知道(10)有两个平衡 和 ,和 是一个中心; 是一个节点时 , ,和 。

为了验证heteroclinic轨道之间的存在 和 ,我们限制 。一个合适的值 ,的三角 不变的是正的。让右边系统定义的向量(10),是向内正常的边界 。在幻灯片上 , ,设置 ,它获得

当 ,很明显, ;这意味着 。因此,稳定流形的一个分支 总是停留在该地区和连接 到原点。这意味着所需的heteroclinic轨道的存在。因此,我们得到下面的定理。

定理3。假设 足够小, , ,和 ,然后在 系统的相平面(10),有两个轨道之间 和 ,局限在 。行波的方面 对于系统(9)是严格递减和令人满意的

3.2。与非局部模型的延迟

从分段3所示。1,heteroclinic轨道的存在,所以我们要验证一个连接 和 的存在。延迟是合并的方式允许空间平均由于扩散有关。这个想法被首次引入布里顿(16]。行波方程方面(的存在4)与当地强大的通用内核被认为是通过使用几何奇异摄动理论,弗雷德霍姆理论。卷积 用

因为是一个复杂的值函数时,内核可以被定义为一个复杂的值函数,即:,内核 ,满足以下正常化条件: 这样内核不影响空间统一的稳态。分布式的平均延迟延迟内核被定义为 。特别是,有以下外地弱和强一般延迟内核 的参数 措施的平均时间延迟。在这里,我们讨论方程(4)与当地强大的通用内核。方程(4)改变

假设的行波前波解(16)的形式 ,与 , 波的速度。的实部和虚部对应的常微分方程 在哪里 和

通过直接计算,获得 在哪里

然后,它

因此,方程(17)相当于一个四维系统如下: 根据边界条件是什么 , 。从第三和第四个方程(22),当 ,它有 和 。在这个限制,(22)可以减少nondelay模型(9),它拥有两个平衡 , 。为 ,在 相空间(22)有两个平衡: 和 。小参数 在原系统延迟,(22)减少正则摄动系统。因此,显示行波方程方面(的存在4),我们需要显示的行波方面存在系统(22)。注意,当 ,(22)没有定义动力系统 ;因此,我们使用转换 ;系统(22)可以写成 在哪里表示的导数 。系统(23)是快速的系统,他们是等价的 。当 ,然后缓慢的流动系统定义为一组 这是一个二维不变流形(22), 。为了找到一个足够小的二维不变流形 利用几何奇异摄动理论,我们必须验证变体歧管通常是双曲线。因此,我们找到一个不变流形的系统(23)当 ,这是封闭的 。的限制(23这个不变流形)收益率的二维系统中,由于线性化矩阵(23)限制是

很容易获得特征值 ;然后,与零特征值实部的数量等于暗淡和其他特征值是双曲线。因此,慢流形通常是双曲线。从几何奇异摄动理论,很明显,存在子流形的摄动系统(23)足够小的 ,可以写成 在哪里 是光滑函数定义在一个紧凑的域和满足

因此,功能和可以展开成泰勒级数的形式呢如下:

替换 和 缓慢的系统(22),我们有

通过比较系数与每一个学位,我们获得

因此,我们有

准确地说,缓慢的系统(22)限制是

显然,当 系统(32)降低(23)。的平衡和的系统(32)是靠近和 ,分别。为了证明行波方程方面(的存在4),我们建立的存在两个轨道连接临界点 。从引理1我们知道,当上存在两个轨道 。

表示, 和 的解决方案(10)和(32),分别的时候 。为 集,

替换和在(33)(32)和系数的比较每度,确定的微分方程系统和是

我们打算找一个行波的解决方案满意(34)满足 。表示,是平方可积函数的空间内生产, 在哪里是欧几里得内积 。从弗雷德霍姆理论,系统(34)有解当且仅当 适用于所有功能在内核中伴随的运营商定义左边的(34)。表示,伴随算子的吗 ,和

这意味着 , 满足

由于矩阵(38)是一个变量的系数矩阵,很难找到通用的解决方案。但是,我们能证明这样的解决方案满意 必须是零解推断heteroclinic轨道的存在。虽然我们不能找到确切的表达,但平静的系统和解决方案吗 。因此,当 ,矩阵(38)成为一个常系数矩阵

对应的特征值都是由 。自 ,有两个真正的非零特征值 。因此,解决方案满意 解决方案是零,这意味着弗雷德霍姆正交性条件非常,所以解决方案(38)存在,满足 和 。因此,我们可以得出结论,足够小 ,存在两个轨道(38)连接这是接近 作为 。

定理4。假设 , ,和 ,(4)与当地强大的通用内核 具有行波前面 令人满意的 , 当参数 是足够小。

备注5。时间延迟项 在方程(4)是当地强大的通用延迟卷积,卷积可以取代其他延迟;提供的方法仍然适用的行波的持久性方面,所以我们只考虑强一般延迟卷积核调查行波方程方面(4)。

4所示。结论

本文研究行波的存在领域的广义非线性薛定谔方程及时与当地一个特别强大的通用延迟卷积核,分别。基于行波之间的关系方面和heteroclinic轨道相关的常微分方程,通过应用几何奇异摄动理论,奇异摄动系统改为正则摄动系统。然后,弗雷德霍姆理论和线性链技巧是用来证明解决方案是行波前解在某些参数条件。行波的充分条件方面,持续的广义非线性薛定谔方程(4)。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项研究支持下的广西自然科学基金批准号2018 gxnsfaa281307和广西财经大学批准号2022 xj49之下。