文摘
在本文中,我们研究问题的二维热方程有一定的初始和边界条件。在一个二维热传输问题,边界积分方程方法应用。表达的问题是一个使用绿色的基本解积分方程的身份。在这项研究中,我们将边值问题的边界积分方程和稳态传热问题驱动二维传热问题的解决方案使用混合边值问题的边界积分方程,利用绿色的身份和基本解决方案。
1。介绍
偏微分方程的边界积分方程的基本方法分析边值问题(1]。出现了各种方案,使离散时域相关抛物问题的边界积分方程(2]。《盗梦空间》的边界积分方程方法,热能工程社区一直在利用其潜在的解决瞬态热传导问题[3,4]。任何方法的近似数值解边界积分方程称为边界元法(5]。微分方程的精确解一个二维传热问题域边界元法获得的不同边值问题的近似解产生的边界元法(6- - - - - -9]。只需要离散域的边界,特别是在一个简单的圆形边界的二维传热问题。
在某些应用程序中,物理相关数据提供解决方案的边界值或其衍生品而不是域边界的解决方案(10]。这些数据可以直接推导边界积分方程的解。
使用边界积分公式的优点是,我们只需要偏微分方程问题未知的离散化边界 ,在哪里是变量的数量在每一个空间维度5,6]。提出了许多不同的配方治疗热传导边界积分方程(扩散)问题的边界积分方程方法,其中最有效的是雇佣了一个依赖于时间的一个基本的解决方案。制定采用这种分析采用绿色的身份获得的边界积分方程4,11]。基本的解决方案通常是没有如果原偏微分方程的系数不是常数。一个可以使用,在这种情况下,拟基本解(Levi函数),这通常是可用的,而不是基本解格林公式(3,12,13]。
域内的解决方案完全满足的微分方程;然而,近似解存在,因为边界条件只有大约满意。因为函数是定义在全球范围内,不需要域划分为元素(14- - - - - -16]。
解决方案也符合标准在无穷远处,所以处理无限域,在有限元方法必须适用截断或近似无限的元素,不是一个问题10,17,18]。因此,这项工作的目标是使用绿色的身份和基本解决稳态传热的边值问题转化为边界积分方程和解决混合边值问题的边界积分方程(8,19- - - - - -21]。
使用边界积分表达式的二维传热问题,我们获得一个独特的弱解变分解决方案的水列夫空间秩序,(15,22]。当前文档的其余部分如下:一些基本定义、定理和属性出现的拉普拉斯方程的稳态热方程的问题中提到的部分2。部分3说明了声明的细节的稳态传热问题,经典的边界积分方程的解决方案,和边界积分弱解的表达式。部分4提供论文的结论。
2。预赛
2.1。在二维拉普拉斯方程
让 开放和 。拉普拉斯方程是
热方程,不改变随着时间的推移,拉普拉斯方程出现作为一个稳态问题[20.]。
方程(1)没有对时间的依赖,只是在空间变量和 。这意味着,拉普拉斯方程描述稳态温度分布位置。
稳态解满足 和边界条件,在规定 ,然后,我们考虑到域圆的(23]。
2.2。水列夫空间
定义1(见[8])。让 和 ,,让 是一个非空的开集。索伯列夫空间订单基于被定义为
备注2。 被视为一个分布 ,因此,条件 意味着存在一个函数 这样 ,这样一个函数被定义为一个弱衍生品的 。
的补充意味着成为巴拿赫空间上把规范作为
为 , 是一个希尔伯特空间的内积。
规范引起的内积
定义3(见[24])。在一个特定的情况下,水列夫空间所有吗 这样所有的偏导数 属于 。的内积是 在哪里 表示 。这显然内积给出了规范 然后,我们表示内积的下标0。 然后,方程(6)读 在哪里是一个缩写 。特别是,
然后,柯西序列收敛的元素 。换句话说,是一个希尔伯特空间。它实际上是希尔伯特空间通过完成一系列对光滑函数 ,以同样的方式是希尔伯特空间通过完成平滑函数的设置对吗规范(24]。
2.3。稀溶液(1,15]
考虑一个偏微分算子的订单在变量 在哪里 是一个多索引 和 函数在 。
考虑微分方程 的分布,然后下面是真实的。
让 ;然后, 在 。
这意味着 在哪里 ;在这里,操作伴随运营商吗 。
如果最初的问题 - - - - - -次可微函数开集上定义这样 对所有 ,经典解决方案,然后一个可积的函数据说是一个弱解如果
2.4。基本的解决方案
定义4(见[25])。一个分布微分算子是一个基本的解决方案 当且仅当
最根本的解决方案的微分算子满足的方程;然而,不需要满足所提供的边界条件。一个基本的解决方案,满足给定的边界条件被称为格林函数(20.,21,25]。
让 是格林函数 ;它满足的方程
身体、格林函数 代表点的影响狄拉克δ函数的源点 (20.]。
用方程(14)在区域和集成的圆,这样
然后,我们有
自 ,我们有
拉普拉斯算子的基本解决方案如下。
定义5(见[26])。让 这样 与狄拉克δ函数。一般尺寸,(分配空间 )是一个方程解(18)叫做拉普拉斯方程的基本解 。在热方程的背景下,拉普拉斯方程的基本解热内核是至关重要的。在二维空间中,基本的径向解拉普拉斯方程 在哪里任意常数和吗是距离来ξ。
它也被称为热内核,这是一个解对应于初始条件的热方程的初始点光源在指定的地方。这种方法可以用来发现热方程的通解为给定的域(21,25,26]。
2.5。绿色的第二16,26]
让 和绿色的第一身份的一对和 ;然后, 又一对和 ,
通过减去方程(21从方程()20.),我们得到绿色的第二个身份(23]。
它是有效的功能和 。
以上积分是一个线积分在二维区域的边界曲线 ,和表示边界的弧长16,26]。
2.6。边界积分方程
在各种各样的应用程序,有效的数值解偏微分方程(PDE)使用边界积分公式是至关重要的(27,28]。
考虑作为一个例子拉普拉斯的问题形式
在某些领域 与分段光滑李普希茨边界 ,绿色的表示定理允许我们写解决方案作为 在哪里是单位向外指向正常吗和 是一个基本的解决方案定义为
因此,原则上,如果或 是已知的 ,我们可以恢复未知的数量通过限制方程(24)的边界和解决未知的边界(见,例如,6,16])。
2.7。变分公式
问题的变分方法不仅奠定了基础的数学证明存在性和唯一性,还强数值方法如有限元法(15,29日]。使用上述边界条件在一个适当的空间的函数,我们寻找一个独特的弱解的拉普拉斯方程 在(15,29日]。
问题是用弱形式如下:(1)把两边的拉普拉斯方程 由一个函数在和积分Ω (2)应用分部积分到达
3所示。稳态传热问题的声明
考虑一个导热是均匀和各向同性体;是一个简单的连接和有限域李普希茨的边界 当 和是不相交的部分 。环境介质的对流被认为发生在边界和 ,在规定的温度保持不变的价值在 ,和是绝缘的。混合边值问题描述系统的状态方程 在哪里 , 当是温度的域,环境温度,向外单位法向量,对流系数,是传导系数。
因为经典的解决方案 这个问题不存在 对方程(19),然后是一个奇异点(1,25,30.),关闭域吗 ;我们可以关心变分的解决方案 。
3.1。边界积分方程的经典解决方案
传热问题的边界积分方程公式是基于格林公式的基本解决方案(20.,28,31日]。将变量转换为边界变量的简单的方法是使用绿色的第二个身份(1,25,32]。
让和是 函数;然后,格林公式方程(22)持有。如果经典解决方案 存在,可以代替的通过在方程(22)。然而,奇点在方程(19)是阻止一个替换通过在方程(22)。克服困难是替换的一种方式通过在哪里是一个圆的小半径集中在一个单一的点 。
可以得出从方程(22), 为 在哪里的边界在方程(34)。自 和 在 ,我们有
第一项的积分在方程(34)成为
自
第二项在集成在方程(56)成为 在哪里 单位圆的边界长度在吗和圆半径的边界吗 。如果一个选择 和替代方程(35),(36),(37)和(39在方程()34),然后 持有,归零。如果是在 ,方程(40)有一个奇点。然后,我们可以把它的边界通过和在哪里与小半圆半径集中在一个单一的 。然后,方程(40)成为
第一项的边界整合在方程(41)成为
第二项是
自
假设 ;然后,方程(42)成为 用方程(42)和方程(45)方程(41),让去零,然后我们获得
当我们使用的问题的边界元法 , 得到数值从方程(46),而从方程(40)当 。通过边界划分成小段,经典的解决方案,如果存在,可以使用边界积分方程近似数值(40)和(46正如上文所述。然而,混合边值问题的古典解不存在的时候和在同一点;然后,它有一个奇点ξ是奇点的基本解决方案。因此,我们不能使用方程(40)和(46直接)。
3.2。边界积分弱解的表达式
方程的状态方程(29日)- (32)是在变分形式写的 在哪里给出了容许集吗 。方程的弱解(47)是独一无二的通过使用方程(27)和(28)和应用Lax-Milgram定理。对于每一个 ,存在一个独特的解决方案 。
通过使用cauchy - schwarz不等式,我们检查的连续性 :
在边界上 由cauchy - schwarz不等式,
下面是双线性形式的 :
庞加莱不等式表示
然后,我们有
因此,Lax-Milgram定理的条件满足,存在一个独特的弱解 (2,8,9,14]。
代表的边界变分弱解积分方程 ,然后我们需要以下定理8]。
定理6(见[8,21]。水列夫空间的格林公式 适用于域李普希茨的边界如果 在哪里 。
变分的解决方案是在 ,但不是根本的解决方案。事实上,它是(8]。然后,在方程(49可以代替)但不能通过 。这个困难是被取代通过 ,自是 在 。然后,我们可以从方程(得出结论54),
左边的集成第一项是零,在集成方程(55)成为
第二项在集成方程(55)成为
然后,用方程(56)和(57在方程()54),我们得到 作为归零。
用同样的方式在部分3.1在方程(41),(42),(43),(44)和(45),如果是在 ,方程(55)成为
如果我们插入方程的边界条件(30.)- (32)到方程(58)和(59),分别,我们可以得到
方程的解决方案(60)和(61年)等于变分的解决方案,因为它是独一无二的 。问题的解决方案在方程(60)和(61年)可以近似数值除以边境进入小部件,如前面所示的结果。
4所示。结论
在这项研究中,我们提出一个二维传热问题利用边界积分方程与特定的初始和边界条件,我们讨论如何解决混合边值问题变分可以获得即使经典解决方案并不存在。同时,我们已经改变了稳态传热问题的边值问题转化为边界积分方程和边界积分方程的解的混合边值问题通过使用绿色的身份和基本解决方案。问题的边界积分方程的指导下拉普拉斯算子有一个独特的解决方案,类似于变分解决方案 。结果的数值近似变分得到边界积分问题的解决方案。此外,本研究中使用的方法可以用于三维传热问题以及其他椭圆问题。
数据可用性
没有数据被用来支持这项研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突的准备研究论文。
确认
作者要感谢马来西亚Tepi大学自然科学学院数学系,提供必要的资源在进行这项研究和数学部门员工。