文摘
确切的分数Sharma-Tasso-Olever方程的行波解可以通过使用函数展开法,但一般不能得到行波解。后将它转换为小数的整数阶Sharma-Tasso-Olever方程复杂的转换,一般解的行波是通过一个特定的函数变换。通过参数设置,发现弯折的孤波解的通解的行波,它是发现,当两个部分衍生品成为较小的影象,波形变得更加光滑,但位置基本上是不变的。这一现象的原因是,扭结孤波达到平衡的逆时针顺时针旋转,拉伸现象是伴随的过程中达到平衡。这是一个我们以前工作的进一步发展,这种详细的病因分析是罕见的在以前的论文。
1。介绍
由于许多现象,integer-order微分方程不能描述,这使得部分非线性微分方程具有研究意义。作为一个有效的数学建模工具,它广泛应用于非线性现象的数学建模在生物学、物理学、信号处理、控制理论、系统识别、和其他科学领域。广泛研究部分Sharma-Tasso-Olever(国标)方程在空间和时间1- - - - - -4]
在方程(1),如果 ,我们得到该time-fractional停止方程(6,7]
在方程(1)- (3), 这个函数是解决,是一个任意的真实参数, 是整合部分衍生品。
最近,我们看了一些论文,获得分数阶的行波方程的精确解和说明一些孤波的解决方案中包含的精确行波解。这些文章使用不同的方法来获得大量的各种形式的精确行波解。为了更好地理解我们的工作,我们现在整合分数阶导数的定义和属性如下。
给定一个函数 。的整合分数阶导数的订单 被定义为(8]
整合导数是一个分形导数(9]。根据分形阶导数理论,环境的影响异常波动对物理行为的影响相当于分形时空变换(10,11]。几个属性整合分数阶导数的定义如下:
这些属性被证明文献[8),而不需要重复了。整合分数导数的物理解释可以在文献中找到(12]。
根据定理2.11(链式法则)在文献[13),我们显示以下属性一致的部分衍生品。
更详细的知识,请参阅参考文献[13]。公式(6)简要证明如下。
证明。集 定义中,你得到的
现在,让我们看一些与国标分数阶方程找到精确行波解。
在文献[1),作者使用部分复杂的转换方程(1),然后使用exp-function方法获得其精确行波解。
在文献[2),作者使用部分复杂的转换方程(1),然后使用 - - - - - -扩张的方法获得方程的精确行波解(1)。
在文献[3),作者使用部分复杂的转换方程(1),然后使用了小说 - - - - - -扩张的方法获得准确的方程的行波解(1);广义Kudryashov方法也被用来获得方程的精确行波解(1)。
在文献[4),作者使用改进的 - - - - - -扩展方法来获取准确的方程的行波解(1使用复杂的分数转换)。
在文献[5),作者使用部分复杂的转换方程(2),然后扩展tanh-coth方法被用来获得方程的精确行波解(2)。
在文献[6),作者使用部分复杂的转换方程(3),然后使用Riccadi函数展开法获得的分数阶方程的行波解(3)。
在文献[7),作者使用部分复杂的转换方程(3),然后使用了一种新的广义 - - - - - -展开法获得分形方程的精确行波解(3)。
这里,我们刚刚上市的一些文章准确line-wave解决停分数阶方程。它可以看到从文献[1- - - - - -7),这些作者的第一步是减少停等式的分数阶非线性常微分方程利用部分复杂的转换,然后通过各种方法解决简化方程获得原始分数阶方程的解决方案。除了文献中提供的方法(1- - - - - -7),还有其他的技术,可以用来获得不同结构的波解(14- - - - - -19]。它可以看到从方程(1)- (3),最通用方程方程(1),所以我们只讨论准确的通用方程的行波解(1)。
对方程(1), 整合部分衍生品和使用的部分复杂的转换是20.] 在哪里 参数被确定。通过方程(8),方程(1可以转换成)
在文献[1- - - - - -7),一些文章积分方程(13)一次,然后假设积分常数为零,这将导致获得的精确解一般低于原来的一个(21,22]。方程(9)是一个三阶微分方程,一般而言,其通解应该包含三个任意常数。从这个角度看,完全line-wave本文获得的解决方案(1- - - - - -7我们提到的不是一般的解决方案,但只有部分的解决方案。在本文中,我们考虑方程的可积性(9),并结合部分复杂的转换获取一般分数STO方程的行波解,这是不同于精确解得到的已知文献中使用函数展开法。我们都知道,从旅行波的精确解,各种形式的解决方案可以通过选择合适的参数,如孤波解和周期波解。这个结论可以得到分岔分析第一积分方程的方程(9)[23]。如果读者想知道准确的线性波解的方程(9)分岔以及精确行波解对应于不同形式的解决方案,请参考[23]。我们选择从行波的通解扭结孤波分数阶参数变化对波形的影响,发现当两个分数阶参数减少同时,扭结孤子会变得更加光滑,但位置仍是相同的基本现象,通过分析发现,造成这种现象的原因是一个扭结孤子在顺时针和逆时针的平衡。论文有这样详细的分析很少。
2。该部分停止方程的通解行波在时间和空间上
积分方程(10),我们得到的 在哪里 , 是积分常数。
考虑到特定的函数变换, 在哪里 ,我们可以很容易的得到以下方程。
安排方程(15)
方程(16)是一种常见的微分方程及其通解可以很容易地获得,表示 ;然后,方程(16)有一个特征方程
三个方程的根(17)可以通过卡丹公式按照以下顺序: 在哪里 。(1)当判别 ,也就是说, ,三个方程的根(17)减少到
方程(16)一般有以下解决方案: 在哪里 是任意常数
不失一般性,我们可以假设不等于零。用方程(22)方程(12),结合复杂的转换方程(8),一般原方程的行波解(1)表示为
在方程(23),只有两个任意常数,这是由于固定任意常数 。不失一般性,我们可以写 。(2)当判别 ,方程(19)一般有以下解决方案: 在哪里 是任意常数
不失一般性,我们可以假设不等于零。用方程(24)方程(12),结合复杂的转换方程(8),一般原方程的行波解(1)表示为
不失一般性,我们可以写 ,我们有一个任意常数隐藏在参数 。
3所示。讨论和解释
我们观察到一些文章关于停止了分数阶方程,发现他们或多或少忽略方程本身的属性在解决过程中,与行波的精确解,通过各种功能扩展方法不是一般的解决方案。因为一般来说,是有道理的,精确的通解方程(10)应该包含三个任意常数。在以下部分中,我们将会发现弯折的孤立波解的通解本文获得和分析同步变化的影响两部分衍生品在弯折的孤立波解波形和这一现象的原因。
我们把积分常数在方程(11)为零;然后, ,和在方程(25)是有价值的 ;然后,方程(25)是写成
在方程(27),以 ;然后,解决方案(图27)方程(1)改变 如图1。这是扭结孤波解,这是一个特解的通解(25)方程(1)。当 ,分数阶STO方程退化成一个整数阶方程。此时,方程(图27从图)1,如图2。其他参数设置值后,图1解释了透视图的解决方案(27),当的值 依次是1、0.7和0.4。
从图可以看出1分数阶导数和成为更小的影象,扭结孤波的扭曲变得平滑,但扭结孤波的扭曲的位置基本上仍在直线 在飞机。为了进一步解释这种现象,促进我们的以前的工作24),本文进行更详细的研究分数导数的影响在两个步骤扭结孤波的形状。首先,时间分数阶导数的值是固定的,只有空间分数阶导数的变化是观察到的。结果如图3。从图可以看出3空间分数阶导数值1,0.7和0.4,和弯折的孤波旋转弯折的位置飞机,旋转方向接近 在飞机。其次,空间分数阶导数的值是固定的,只有时间分数阶导数的变化吗是观察到的。结果如图4。从图可以看出4时间分数阶导数是1,0.7和0.4,和扭结孤波的弯折位置飞机也旋转,接近直线的方向 在飞机。
通过比较数据3和4,发现空间分数阶导数变得越来越小,这使得扭结的扭结孤立波如图的顺时针方向旋转飞机,而时间分数阶导数变得越来越小,这使得扭结的扭结孤立波如图的逆时针旋转飞机。当部分衍生品改变影象,孤立波图的缺陷1达到一个平衡的顺时针旋转和逆时针旋转,和缺陷的位置几乎保持不变。同时,孤立波的缺陷在顺时针和逆时针旋转,使孤立波平和的缺陷。
4所示。结论
确切的行波函数展开法获得的解决方案通常不一般的分数阶非线性偏微分方程的行波解。摘要分数阶STO方程转化为一个integer-order STO方程通过复杂的分数阶变换,然后,一般分数阶STO方程的行波解是通过一个特定的变换函数,这将使我们对行波的理解更全面的解决分数阶STO方程。通过设置参数,一般的弯折的孤立波解提取行波解,和分数阶导数的影响详细分析了弯折的孤波。发现弯折的孤波变得更加光滑的分数阶参数同步,但弯折的孤波的位置基本上是不变的。弯折的孤波的位置基本上是不变的,因为我们有两个分数阶参数,其中一个变得越来越小,这样弯折的波形顺时针旋转,另一个分数阶参数变得越来越小,这样弯折的波形逆时针旋转。这样的顺时针旋转和逆时针旋转达到一个平衡。扭结孤波变得平滑,因为拉现象,伴随的过程达到平衡。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
作者的贡献
所有作者阅读和批准最终的手稿。
确认
这项研究得到了山西省重点研发项目(CN) (20181101008, 20181102015)。