文摘
在这项研究中,一个模糊Meir-Keeler收缩定理完全基于乔治和FMS Veeramani想法是建立。然后,我们描述模糊Meir-Keeler的收缩引起的收缩类型函数称为模糊 - - - - - -函数。此外,我们表明,反过来这是真的。最后,我们把一些例子和推论证明我们的结果和新改进。
1。介绍
不动点理论和相关的话题是一个活跃的研究领域与范围广泛的应用程序在数学、工程、化学、物理学、经济学和计算机科学。许多作者研究了这一理论在外部表面空间与古典度量空间和赋范空间。其中,它可以引用概率和模糊度量空间。模糊度量空间的短语(FMS),介绍了员工Kramosil和Michalek [1],然后乔治Veeramani [2),修改这个想法已应用在量子粒子物理学(3和在双缝实验中4,5]。FMS的理论是,在这个框架中,非常不同的常规指标最佳逼近理论和完成,例如,看到6]和[7- - - - - -9),分别。Grabiec [10)开发和扩展不动点理论概率度量空间。后来,一些作者参与的增长这一理论(见[10- - - - - -17])。
2006年,林18]介绍了 - - - - - -功能(LF)和self-map Meir-Keeler的收缩特征在满足 对于一些低频(参见[19])。这描述准备很容易比较地图与满足Boyd-Wong的条件(见[20.])。然后,Meir-Keeler [21发达Boyd-Wong]的结果如下
2005年,Razani ([22],定理2.2)介绍了FMS的收缩定理。本文的主要结果是定理推广到模糊Meir-Keeler的收缩。我们认为,如果 是一个FMS和在是一个模糊Meir-Keeler收缩self-mapping,然后,有一个独特的定点在吗 。我们的作品是一个扩展的最近的一些结果,我们注意到他们。然后,我们描述模糊Meir-Keeler收缩地图作为地图,这样 在哪里是一个模糊低频和是最低 - - - - - -规范,即 。
2。预赛
接下来,我们提到一些报道结果,定义和例子与FMS的理论是必要的。更多的细节和解释可以随后在2,6- - - - - -9,23,24]。
定义1(见[24])。一个 - - - - - -规范是一个函数 这样是连续的,交换关联, ,和 ,在哪里 和 ,和 。
概率和调频的研究空间,表示的 - - - - - -规范提出的要求分配三角不等式(以下条件(iv))在度量空间的设置的模糊度量空间。无数的例子,这个概念已经被不同的研究人员,例如,一个可能被发现在14,15]。
定义2(乔治和Veeramani [2])。 据说FMS的地方 是一组,是一个连续 - - - - - -规范,在 是一个函数,(1) ,对所有 (2) ,对所有 敌我识别 (3) (4) ,(5) 是一个连续模糊setwhere 和 。现在,我们把两个定理和定义,扮演关键角色,和我们继续下一个部分基于这些概念来达到我们的目标。
定理3(见[2])。在FMS , (例如,收敛于 )敌我识别, 作为 。
定义4(见[2])。 说一个柯西序列在吗 如果对所有 和 , 这 每当 。同时,我们称之为完整的如果每个柯西序列收敛。
定理5(见[9,17,23])。在FMS , 是一个连续函数。
定义6(见[22])。在FMS , 在据说一个模糊收缩self-mapping (FCM),如果
3所示。主要结果
在本节中,我们讨论关于模糊Meir-Keeler的收缩self-mapping。我们给一个证明Meir-Keeler在FMS的不动点定理。在这里,我们考虑模糊Meir-Keeler收缩(FMK)我们的主要结果。
定义7。在FMS , 在是(FMK),如果对所有 , 这样对所有 ,
注8。每个FMK FCM但是逆不一定是真实的。为了证明这一说法,我们把流动的例子。
例1。精确FMK意味着模糊收缩,但注意的是逆是不对的,因为假设 和定义为例(2.92)与 。如果 和 然后 和 。因此, 。因此,我们得到 ,尽管 ,也就是说,FCM。但是,如果 , ,和 ,然后,存在 这 成立。因此,如果FMK,我们很容易 对所有 。这意味着 ,这是一个矛盾。因此,不满足FMK,这证明了我们的说法。
定理9。如果 是一个完整的FMS,哪里 - - - - - -标准的定义是 。假设self-mapping在是一个FMK。然后,有一个独特的定点。
证明。对所有
和
,我们得到了
。因为如果有
和
这
。为简单起见,我们把
和
。因此,对于每一个
然后,通过(4),
,这是一个矛盾。让
。集
和假设
,因为否则有一个固定的点。假设
是任意的和固定后选择。现在,让
。
是一个nonincreasing序列。所以,收敛于
。因此,
这样,
,对所有
。我们声称
。如果
,有
这样,
和
,在哪里
,我们有
。选择
这样
。我们有
因此
所以
。这意味着
。因此,2,
,这是一个矛盾,因为
,对所有
。
现在,我们证明是一个柯西序列。如果不是,还有吗
,因此,对于任何
,有
这样
。为每一个
,有
这样,对于任何
和
,如果
然后
。存在
这样对所有
和
,
。取
这样
然后,我们得到
这礼物
。因此,通过(4),
。同时,
换句话说,
。因此,通过(4),
。通过感应,
。由(11),
,也就是说,
,这是一个矛盾。因此,是收敛的
。我们得到了
然后,
。所以,
。
为证明的独特性
,假设有一个
与
,由此可见,
这是一个矛盾,那么,唯一性证明。
请注意,定理9的泛化([22),定理2.2);当我们考虑
- - - - - -规范
,这表明最好转的原因之一(22☐。
4所示。描述模糊Meir-Keeler的收缩
在论文的这一部分中,我们描述FMK地图。在定理11,我们提供了一个充分必要条件FMK地图模糊的工具 - - - - - -函数。同时,这个推广定理1的21]。更准确地说,我们表明,如果一个self-mapping在是一个FMK还有一个模糊的问题 - - - - - -函数从 到自己, , 。同时,我们的交谈这是真的。在某种意义上,我们的工作非常接近铃木(19Lim [],18]。
定义(见[1018])。函数从
本身是一个模糊的如果如果
和
这
。
在下面,我们把一个定理的条件达成self-map在在FMS FMK。
定理11。假设 是一个FMS, - - - - - -标准的定义是 。这时,一个self-map在是FMK敌我识别存在一个(不减少的)模糊低频(2)是满意的。
证明。假设是一个FMK。通过定义7,让一个函数从 成 这样定义 为 。这样的 ,我们现在不减少的功能从 成 通过 对于任何 。自 ,我们得到了 为 。假设函数 被定义为 很明显, 。 为 。让 是固定的。如果 ,在哪里 ,一个可以把 。否则, 与 。但 ,然后,我们得到 ,如果 然后 因此,我们得到 。这是一个矛盾。因此,得出结论 现在,我们将选择 与 ,,让 。考虑 。自 我们获得 。因此 因此,是一个模糊的低频。如果我们考虑 与 和固定。的定义意味着 有 在这 。因此, 在哪里 。因此, 成立。因此,满足(2)。我们定义的函数作为 对于任何 ,我们得到了 因此,也满足(2)。很容易可以证实是一个模糊如果不减少的。这就完成了证明。☐
例2。让 与通常的距离和在被定义如下: 让我们设置为例(2.92), 然后, 因此,满足条件的定理9。因此,有(独特的)定点 。同样,如果我们考虑 因此,是一个模糊低频和 在这一步中,我们可以很容易地达到以下推论。
推论12。假设 是一个FMS,哪里 和是一个self-mapping上 。如果存在一个模糊 - - - - - -函数 (在哪里2)是满意的,然后,有一个独特的定点。
证明。让 给了。通过定义10有 这样对所有 , 。它的意思是如果 然后由(2) 这意味着(4)持有。因此,(独特的)定点。☐吗
推论13。假设 是一个FMS的地方 和是一个self-mapping 。以下语句是等价的:(1) 是一个FMK(2)有一个模糊的低频这样,(2)满足
5。结论
本文出于Razani的结果(22),一种新的FMK收缩在一个完整的介绍了FMS通过减少收缩条件所谓Meir-Keeler收缩的地图。在定理9,我们建立了一个不动点定理;在定理11,我们提供了一个充分必要条件模糊FMK地图。我们的工作概括定理1.1的22和定理1的21]。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
作者的贡献
所有作者同样起到了推波助澜的作用。所有作者阅读和批准最终的手稿。