文摘

在本文中,我们目前的规范方案的古典Painleve第二个等式。我们reexpress古典Painleve第二松懈对新设置介绍计转换产生的规范表达添加剂形式。新的线性系统的方程有类似结构的其他可积系统拥有AKNS方案。最后,我们总结经典的达布变换Painleve第二方程 - - - - - -th Wranskian的形式。

1。介绍

六个经典Painleve方程首先介绍了保罗Painleve和他的同事们虽然分类非线性二阶常微分方程对他们的解决方案(1]。一开始,这些都是娱乐在数学,因为他们的连接非线性偏微分方程,在那里他们表现为常微分方程减少高维可积,进一步追求建立Painleve测试这些偏微分方程2,3]。例如,Painleve二(P-II)方程产生的颂歌减少Korteweg-de弗里斯(KdV)方程(4,5]。虽然这些方程的各种属性从数学的角度研究了它们的可积性等通过Painleve测试,他们的零曲率表示是一个兼容性条件相关的线性系统(6- - - - - -8)的框架以及哈密顿形式主义(9]。这些方程得到了相当大的注意力从物理的角度来看,因为许多问题在应用数学和物理是可积的解决方案,Painleve超验。Painleve第二方程是这六个方程 应用作为模型来研究电场在半导体(10), 和 是参数,其已经建了rational解决方案(11)通过Yablonski-Vorobev多项式和进一步的行列式泛化rational解决方案提出了(12]。此外,古典Painleve二方程也可以由Noumi-Yamada系统(13),这些系统能发现和山田,研究对称Painleve方程,这些系统也具有仿射对称外尔集团的类型 。Noumi-Yamada设置,Painleve II的对称形式方程(1)是由 在哪里 和 , ,是常量参数。这可以表明在消除 和 ,一个可以获得Painleve II方程(1) 。在命题 下面,我们介绍的松懈表示Painleve II对称形式(2)。我们还提供规范Painleve II方程的解决方案的帮助下达布变换将其高斯松懈的一对。达布变换明显有相当大的注意力在理论上可积系统找到其确切的解决方案。可以找到这些转换的成功实现(14- - - - - -16],solitonic解决方案生成一些可积系统的计算报告。

命题1。Painleve II对称2可以用宽松的运营商 ,在哪里 和 宽松的运营商。

证明。为此,考虑一个线性系统 的进化 关于 是由 这个系统的相容性条件收益率松懈的方程 在这里, 是一个光谱参数, 。现在,我们考虑宽松的一对 在以下表格 在哪里 和矩阵的元素 是由 在哪里 当上面的宽松的矩阵 和 受到宽松的方程(5),我们获得第二Painleve对称形式(2),和一个可能扩大行列式 的特征值 类似的作为quasideterminants完成(17]。
Painleve第二方程(1线性系统的)出现兼容性条件 宽松的一对 收益率Painleve第二方程(1), , ,和 是泡利矩阵旋转。

备注2。根据标准达布变换(18,19在组件的列向量 作为 一个可以构造1-fold达布变换方程解(1)通过使用相关的线性系统(10下面的形式) 收益率琐碎的达布解决方程(1)以 像种子一样的解决方案 ,这是毫无意义的。在下一节中,我们将重要的达布解这个方程引入计转换带来的宽松对(11)一种新形式尽可能相似的我们有许多可积系统的AKNS方案。此外,通过迭代, - - - - - -褶皱达布变换将广义朗斯基矩阵的行列式的形式。

2。计转换和重要的规范的解决方案

命题3。让我们考虑一个矩阵 转换旧松懈对(11) 到一个新的设置为 ,在新的宽松的一对吗 繁殖Painleve第二方程(1)作为受零曲率条件

证明。根据以上计转换,新宽松将采取以下形式 与线性系统 的相容性条件给零曲率形式的宽松的矩阵( , )作为 。现在,值 , ,和换向器 从测量松懈对(13),用相应的零曲率条件,一些计算系统再现了经典的Painleve第二方程(1)。

命题4。线性系统(14达布变换(下)12)连接下一个新的解决方案和说 (1旧的) 作为 在哪里 和 线性系统的特定解决方案(14) 。

证明。让我们先从标准达布变换(12)对组件的列向量,并考虑矩阵的一列 与线性系统(14),我们有以下转换方程 现在从(12) 现在,在结合(16)和(17),然后对比系数 和 ,在 ,我们获得 上面的表达式简化后的收益率和1-fold达布变换如下: 在上面的表达式(20.), 是古老的古典Painleve II方程的解决方案产生新的解决方案 有 和 作为系统的特定解决方案(14) 。现在,这可以表明,替换后的值 和 在(20.从线性系统)(14),1-fold达布变换可以表示为 以上结果表明,添加剂的古典Painleve第二达布变换结构,如果我们追求与旧的宽松,规范表达式将在产品形式主要发生非交换情况下不推荐的经典框架。

3所示。 - - - - - -朗斯基行列式的褶皱规范解决方案

在这里,我们推广了达布变换Wro skian。迭代Darbous解决方案可以更紧凑的方式描述 th wro skian组件的形式。

3.1。1-Fold规范的解决方案

使用以下设置,

的1-fold达布变换 , ,和 可以写成下面的吗 在哪里 和 朗斯基行列式定义为

3.2。朗斯基行列式为2倍达布变换

的2倍达布变换 组件可以写成 或

现在,朗斯基矩阵而言,它可以表示为

同样的,对 组件,我们有 这同样可以表达为 或 在哪里 。现在,第二次迭代(21)收益率方程(下一个新的解决方案1) 朗斯基行列式的定义如下:

3.3。 - - - - - -褶皱达布变换

为 - - - - - -一次迭代达布变换,我们有以下结果 和 组件,分别 在哪里 和 和 在宽松的特定解决方案对吗 。

奇怪的价值观的 ,决定因素 和 是

即使是值的N,我们有以下因素:

最后,所有可能的规范的解决方案(1)可以推广 - - - - - -朗斯基矩阵的形式如下所示 在哪里 是初始或“种子”解决方案,它可以被视为微不足道 在(1),这个简单的选择,一个可以构造所有可能的非平凡解这个方程。

4所示。结论

在这里,我们提出了其他等效松懈的表现古典Painleve第二个方程通过gauge-like转换。这已被证明的松懈对新设置仍有助于构建达布变换添加剂和其他可积系统具有结构。转换可能产生所有可能的重要的规范方案的古典Painleve第二个方程变换以种子溶液为零。最后, - - - - - -褶皱达布变换已经提出了朗斯基矩阵。不过,工作正在进行中构建精确解通过其达布变换涉及相关的黎卡提微分形式的古典Painleve第二。

数据可用性

这个数据适用专门研究Painleve方程可积系统。这里,采用规范的方法获得的结果Painleve二方程讨论了由Flashka和中心柱在不同的形式。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

我非常感谢旁遮普大学54590提供我完成项目2019 - 2020的金融支持。