文摘
时间尺度的梅对称和守恒定律nonshifted汉密尔顿方程探讨,和梅对称性定理给出了证明。首先,时间尺度汉密尔顿原理建立和扩展到非保守的情况。根据哈密顿原理,时间尺度的动态方程nonshifted约束机械系统。其次,对时间尺度nonshifted汉密尔顿方程,梅对称性的定义及其标准方程。第三,梅对称性定理证明,Mei-type守恒定律在时间尺度相空间是驱动的。两个例子显示了结果的有效性。
1。介绍
我们都知道,动态系统的对称性是一些物理量无穷小变换的不变性的一组数学形式,可以表示为一个物理守恒定律(1- - - - - -5]。我们熟悉的古典对称包括Noether对称和对称性。数学上,Noether对称性是无限小变换下的不变性的动作功能的一个群体,和身体,Noether守恒定律(4,5]。谎言对称是无限小变换下的不变性的微分方程的一组(2,6,7]。相应地,Hojman守恒定律可以导出5,8,9]。我们要学习的对称美是由梅教授首次提出在2000年(10许多学者[],后来推广11- - - - - -17]。相比Noether或对称,对称美是一种新型的对称,它指的不变性动态函数无穷小变换后仍然使动态方程。从对称美,一种新的守恒定律可以带来,这是不同于Noether或Hojman叫做梅守恒量。梅对称性定理一直延伸到分数阶机械系统(18,19和非标准的拉格朗日动力学20.]。最近,我们研究了梅对称性在时间尺度21,22),但这项研究是初步的,有限的拉格朗日方程和比尔科夫方程。
时间尺度,即,任何非空的封闭的实数集的子集,首次引入了Hilger博士(23]。由于实数和整数本身特殊的时间尺度,不仅可以处理连续系统和离散系统均匀而且复杂的动态过程,既有连续性和离散化的时间尺度。在过去的三十年里,时间尺度分析不断改进,它的应用已经扩展(24- - - - - -30.]。Bartosiewicz和托雷斯了诺特定理31日)和二欧拉方程(32时间尺度改变拉格朗日系统。Anerot和他的合作者(33]证明了诺特定理在拉格朗日的时间尺度版本系统的框架下转移和nonshifted三角洲微积分的变异,而结果也出现回调引用(31日,32]。在过去的十年里,时间尺度动力学及其对称性的研究引起了广泛的关注,取得了重要的进展,引用所示(34- - - - - -44]。然而,这项研究主要局限于以下几点:(1)保守系统,(2)Noether对称性,和(3)Noether-type保护法律。此外,根据布尔的研究(45nonshifted例的),结果在离散级别保持变分结构和相关性质,虽然到目前为止,已经有一些研究时间尺度nonshifted变分问题。
本文将重点探索时间尺度的对称美nonshifted一般完整系统和非完整系统哈密顿框架下,证明美对称性定理,推导梅的守恒定律。时间尺度的对称美不同于Noether或对称躺在时间尺度。在数学上,它是一个新的对称的无限小变换下一组。身体上,它会导致一种新的守恒定律。时标美对称性不仅结合梅对称的连续和离散的情况下还可以获得各种离散模型的任意时间尺度,它提供了一个新的视角还利用算法的机械系统。到目前为止,尽管已经有许多研究Noether或谎言对称性在时间尺度上,研究时间尺度nonshifted梅对称尚未报道。
2。时间尺度Nonshifted动力学方程
2.1。汉密尔顿原理及其扩展
的时间尺度nonshifted汉密尔顿行动 在哪里 是哈密顿,是广义速度,即,delta derivative of generalized coordinate关于时间 ,和是广义动量, 。所有的功能都的 。我们将方程(1)作为nonshifted汉密尔顿行动的变量和(而不是和或和 )(45),向前跳转操作符和吗向后跳转操作符。
变分原理 与端点条件 和交换关系 被称为时间尺度nonshifted汉密尔顿原理。
原则(2)可以推广 在哪里 是nonpotential广义的力量。原则(5)是时间尺度的nonshifted汉密尔顿原理一般完整系统。
2.2。哈密顿系统
从原理(2),很容易得到
方程(6)包含nonshifted哈密顿正则方程的时间尺度哈密顿系统。
如果我们把 ,则方程(6)减少经典哈密顿正则方程。
如果我们把 ,则方程(6)成为 在哪里远期,有什么区别呢是落后的区别。
2.3。一般的完整系统
从原理(5),很容易得到
方程(8)包含nonshifted汉密尔顿方程的时间尺度一般的完整系统。
2.4。非完整系统
非完整约束是
应用的限制约束(9虚位移)是
如果是独立于 ,然后公式(9)代表non-Chetaev约束,如果 ,然后公式(9)代表Chetaev约束。
拉格朗日是假设 ,,让 ,然后 。因此,方程(9)和(10)可以写成
nonshifted汉密尔顿方程可以表示为
如果系统非简并,约束乘数可以解决由方程(11)和(13)作为广义坐标的函数,广义动量,和时间。因此,方程(13)可以写成 在哪里 代表了非完整约束相对应的约束力量。方程(14)可视为一个完整系统的非完整系统由(11)和(13)。如果约束方程(11)是最初满意,然后非完整系统的运动由(11)和(13从方程()是解决14)。
3所示。对称美
3.1。哈密顿系统
介绍了无穷小变换的组: 在哪里 是一个小的参数。的转换(15)、哈密顿转换成 ,然后 在哪里 。
定义1。为时间尺度nonshifted哈密顿系统(6),如果 持有,那么转换(15)据说梅对称的。
标准2。如果转换(15)满足以下标准方程 然后他们对应的对称美时间尺度哈密顿系统(6)。
3.2。一般的完整系统
假设时间尺度哈密顿和时间尺度的广义力进行转换(15)成为和 ,在哪里 然后我们有以下。
定义3。为时间尺度nonshifted一般完整系统(8),如果 持有,那么转换(15)据说梅对称的。
标准4。如果转换(15)满足以下标准方程 然后他们对应的对称美时间尺度一般完整系统(8)。
3.3。非完整系统
认为哈密顿 ,广义的力量 ,制约力量 ,和约束条件在时间尺度上进行转换(15)成为 然后我们有以下。
定义5。时间尺度相应完整系统(14),如果 持有,那么转换(15)据说梅对称的。
标准6。如果转换(15)满足以下标准方程 然后他们对应的对称美时间尺度相应完整系统(14)。
定义7。时间尺度的非完整系统由(11)和(13),如果方程(23)和下列方程 持有,那么转换(15)据说梅对称的。
标准8。如果转换(15)满足标准方程(24)和下面的约束方程 然后他们对应的对称美时间尺度非完整系统由(11)和(13)。
4所示。梅对称性定理
4.1。哈密顿系统
定理9。假设的转换(15)满足标准方程(18),那么时间尺度nonshifted哈密顿系统(6)有一个新的守恒定律等 在哪里是衡量函数满足吗
证明。 用方程(18)和(28)(29日),我们得到 因此,方程(27)是一个守恒定律。
定理9梅对称性定理的时间尺度nonshifted哈密顿系统(6)和方程(27)被称为梅守恒定律。
4.2。一般的完整系统
定理10。假设的转换(15)满足标准方程(21),那么时间尺度nonshifted一般完整系统(8)有一个新的守恒定律等 在哪里是衡量函数满足吗
证明。 用方程(21)和(32)(33),我们得到 。因此,定理证明。
定理10梅对称性定理的时间尺度nonshifted一般完整系统(8)。
4.3。非完整系统
定理11。假设的转换(15)满足标准方程(24),那么时间尺度相应完整系统(14)有一个新的守恒定律等 在哪里是衡量函数满足吗
定理12。假设的转换(15)满足方程(24)和(26),那么时间尺度非完整系统由(11)和(13)有一个新的守恒定律(34),表函数满足方程(35)。
我们称之为定理12时间尺度的梅对称性定理nonshifted非完整系统由(11)和(13)。在这里,定理11建立了对称美之间的关系和时间尺度汉密尔顿方程的守恒定律(14)。
5。例子
例1。时间范围是 ,哈密顿是 根据方程(6),我们得到 计算,我们有 从方程(18),我们获得以下标准方程: 从方程(39),我们有 用(40)和(41)方程(28使用方程()和37),我们可以得到 根据定理9,我们有 在哪里 为 。这是两个美系统的守恒量。
例2。我们调查时间尺度非完整系统的拉格朗日函数
和约束方程
和系统的虚拟位移满足
广义动量和哈密顿
在正则坐标,约束方程(45)成为
时间尺度动态方程
从方程(48)和(49),我们可以得到
因此,非完整约束力量
因此,方程(49)成为
计算,我们得到
以发电机为
发电机(54)满足方程(24),根据标准6,对应于相应的完整系统的对称美(52)。然而,发电机(54)不满足
,所以他们不美非完整系统的对称性由(48)和(49)。用方程(54)方程(35),我们解决
所以从定理11,我们有
这是梅相应完整系统的守恒量(52)。
如果我们把发电机
根据标准8发电机在(57)对应于非完整系统的对称美取决于(48)和(49)。用方程(57)方程(35),我们得到
从定理12,我们有
6。结论
对称和守恒定律的研究一直是分析力学的一个重要方面。Noether对称和对称性是两种不同的古典对称撒谎。从这两个梅对称本质上是不同的,它能直接产生美守恒定律。在这篇文章中,我们证明了梅对称性定理时标nonshifted机械系统哈密顿下框架。本文的主要工作是梅的形式不变性的概念扩展到任意时间尺度框架和获得新的守恒定律时标nonshifted机械系统。细节如下。
首先,我们提出了时间尺度汉密尔顿原则(2)和(5)和派生的时间尺度动态方程(6),(8)和(13)。其次,我们定义对称美为时间尺度下机械系统哈密顿框架及其标准方程推导。第三,我们提出并证明了梅对称性定理时标机械系统哈密顿框架下得到了梅的守恒定律(27),(31日)和(34)。
如果我们把 ,然后我们有 和 ,因此上述结果减少到连续版本的变分原理,动态方程,和对称美在哈密顿定理的框架。
如果我们把 ,然后我们有 和 ,因此上述结果减少到离散版本的变分原理,动态方程,和梅对称性定理与步长 。
因为有很多替代真实和整数数字的时间尺度,我们的成绩也一般。
数据可用性
使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突的出版这篇文章。
确认
这项工作得到了国家自然科学基金批准号。11972241和11972241下的中国和中国江苏省自然科学基金批准号下BK20191454。