应用三阶计划改善收敛弯矩分配法的管道网络分析

文摘

在这项研究中,22个新的数学与三阶收敛方案从文献收集和应用于管网分析。提出方法分为一步、两步、三步计划基于假设的排放的数量用于解决管网。这些新方法的性能和弯矩分配法是通过求解样本相比管网考虑四个不同的场景(92例)。结果表明,一步方法改善弯矩分配法的收敛速度在10的24例(41%),而这种改善被发现39的56例(69.64%)和5 8例(62.5%)两步、三步方法,分别。这显然表明,修改后的方案,特别是三步方法,提高原回路校正法的性能通过降低迭代次数的薪酬相对更多的计算工作。

1。介绍

配水网络(WDNs)是一个关键的基础设施影响每个和每个人的日常生活使用纯净水。从本质上讲,管理和设计WDNs需要WDNs内流量和压力的知识领域。这样的知识是专门提供管道网络分析。这种分析主要是针对解决一系列的一阶非线性微分代数方程的迭代方法。弯矩分配法,利用牛顿迭代法,是一种用于这一目的的方法。然而,它也有一些缺点是足够的液压动力学:(1)它需要一个初始猜测事先保存在第一个迭代中连续性方程分析WDNs [1]。(2)收敛速度慢,和(3)编码的方法可能比其他可用的方法(2]。这些缺点限制的应用解决WDNs弯矩分配法(3]。

尽管提到的挑战,进行了几项研究在文学这个方法有点来改善其性能。洛佩斯(1)实现了弯矩分配法求解管网。Demir et al。4)提出了一个电子表格应用弯矩分配法的修改版本WDNs的模拟时间。Moosavian和Jaefarzadeh5)建议修改为分析WDNs弯矩分配法。波尔和刘6调查一个弯矩分配法的一般特征。Niazkar和Afzali7与MS Excel)与MATLAB解决WDNs在稳态条件下使用三种discharge-based方法包括弯矩分配法。Turkkan et al。8]研究的实现编程语言c#的弯矩分配法计算WDNs教学。Gokyay [9)提出了一个MS Excel Visual Basic应用程序设计的闭环管网用弯矩分配法。

虽然弯矩分配法被认为是最古老的方法之一的分析管道网络,它没有被弃用,因为它的优势(6]。不仅与方便的计算,该方法适应性强,也很容易实现在电子表格4]。此外,弯矩分配法解决了水网络没有形成矩阵方程(10]。然而,该方法的收敛较低相比,基于矩阵的一些方法(11,12]。因此,该方法的主要挑战之一是其收敛速度相对较低。

在这项研究中,新修改的变体与三阶收敛速度回路校正法是解决WDNs申请。为此,22个计划也从文献收集改善收敛速度回路校正法。这些新的修改版本的实现是详细阐述了一个简单的水网络使用四个场景。最初的弯矩分配法的性能而提出的修改版本。结果表明,一些建议修改提高收敛速度显著的弯矩分配法。

2。方法和材料

2.1。分析水的分销网络

分析WDN可能在三种不同条件下进行的13):(1)稳态条件,(2)长时间模拟,和(3)瞬态条件。的变化率随时间水网络的状态变量是这些条件之间的主要区别。在第一个条件,状态变量的时空变化是不考虑而突然改变的状态变量模拟第三条件。不同于这两个极端条件下,网络分析的时间分成几个区间的稳态条件控制在每一个时间间隔在第二个条件。因此,任何修改分析WDN稳态条件下可以简单地延伸到长期模拟。在这个研究中,水是在稳态条件下进行网络分析。

稳态条件下的控制方程包括水连续性方程(1)和(2)能量方程。管网的未知状态变量,即。管流量(问)和节点水头(h),是由解决这两个方程(7]。配水网络的iteration-based方法可分为两种主要的方法(10):(1)基于矩阵和(2)nonmatrix-based方法。前者的形成一个矩阵方程组成的控制方程和试图解决这些方程同时而后者处理解决方程分别在两个步骤:首先,线性满足连续性方程,其次,非线性能量方程迭代求解。前方法包括线性理论、牛顿、有限元法和梯度全球算法而循环校正法是后一种方法14]。

水的分析网络只不过是解决两个控制方程。第一个方程平衡水为每个节点(方程(1)),而第二个方程满足每个循环的能量网络(方程(2))。 在哪里是管道连接到一个典型的节点的数量的水需求是什么 , 是管道的数量在一个典型的循环,是管系数,是力量。最后两个参数取决于采用阻力方程。更具体地说,和等于 分别和2,如果Darcy-Weisback (dw)方程利用阻力方程。在这个关系,是管长度,dw摩擦系数,重力加速度,是π号码,吗表示管道直径。在这项研究中,进行的计算中使用dw方程计算显式Swamee-Jain的关系,也就是说, ,在哪里 是相对粗糙度和是雷诺数(15]。

2.2。原回路校正法

弯矩分配法,nonmatrix-based方法,启动分析过程与假定一组管道流速方向满足连续性方程。在这方面,每个循环的能量平衡是只考虑找一个循环修正( )完善初始猜测(方程(3))。

在方程(3),是能量方程,它可能会给一个消极的,积极的,或零值;而与积极的能量方程的一阶导数值。

能量函数及其一阶导数计算使用初始猜测管流速在第一次迭代。在下一次迭代(s),这些函数使用修正后的评估值的管道流速在年底前实现迭代。方程(3)申请每个循环找到每个循环的循环修正。应该注意的是,能量函数,也就是说, ,是一个求和的能量流经所有管道在一个典型的循环。

每个循环,循环修正确定管道的流量值,循环是精制通过代数添加这个循环校正器的管道流量。如果水假定在一个典型的管流的方向循环修正,添加循环修正;在管道流量和循环校正器有相反的方向,循环管流量校正器值减去。此外,如果管道是两个相邻的一部分循环,循环的回路校正器应该完善相应的流量。这个改进过程排出管道中的值将会继续,直到循环校正器的值变得微不足道这实际上意味着两件事:(1)管道流速将不再细化如果过程继续,和方程(2)分子(3),即。,the energy function, approaches enough close to zero which means that the energy equation is acceptably satisfied.

从方程(3)是截断泰勒级数,牛顿迭代,收敛速度最初的二阶弯矩分配法。这个收敛速度相对较低的其他方法相比,可以认为是这种方法的主要缺点。为了提高这种方法,修改版本的弯矩分配方法提出了三阶收敛性的研究。

2.3。新变种的循环与三阶收敛校正方法

根据获得更精确的结果相对较少数量的迭代,循环校正法提高了利用高阶收敛方案。在这方面,22个三阶收敛牛顿迭代方案选择的文学。为了提高收敛速度回路校正法,应用这些计划的替代方程(3)。在这项研究中,这些修改算法分为三组:(1)一步计划,(2)两步计划,和(3)三步计划。第一组只使用一个放电,而第二和第三组使用一个和两个额外的排放,所谓的假想的流速,在每个循环计算。假设流速的关系中使用22算法提出了以下方程: 在哪里 , , , , ,和假设管道流速专门计算计算循环校正器。

为了更好的澄清,一步一步的解决过程WDNs使用修改后的方案之一(司马义et al。算法)如图1。如图所示,这两步计划使用一个假想的放电( ),因此,流速( ),雷诺数( ),dw摩擦系数( ),和管系数( )计算为 。换句话说,这四个变量是需要计算每个假设的放电。这个需求不可避免地增加了更多的计算分析WDNs努力与原来相比弯矩分配法公式的修改方案包含一个或两个假想的排放,而这可能与更多的补偿精度通过三阶收敛算法。

修改后的版本的回路校正方法介绍如下:(1)每个循环计算方案与一放电管(一步修改方案):(我)切比雪夫的算法(16:这一步算法使用一个能量函数的评价,也就是说, ,利用管流率th迭代( )和一分之一和一个二阶导数的能量方程,即 , ,分别。该算法如下所示: (2)哈雷的算法(17]:这个算法使用一个能量函数和一分之一的评估和一个二阶导数的能量方程: (3)Abbasbandy的算法(18]:Abbasbandy的算法计算一个能量函数和一分之一和一个二阶导数的能量方程: (iv)春的第一个算法(19]:这一步算法计算回路校正器使用一个函数和一个一阶导数能量方程的评估: (v)春,金正日的第一个算法(20.一分之一:该算法包含一个函数,和一个二阶导数评估 (vi)春,金正日的第三个儿子算法(20.]:春和金正日的第三个儿子算法有一个函数,一个一阶导数,二阶导数函数评估之一 (2)计划每管two-discharge每个循环计算(两步修改方案):(我)Weerakoon和费尔南多的算法(21:这两步算法利用一个能量函数的评估和一分之二衍生品的能量方程: (2)Frontini和索尔的算法22]:该算法评估一个能量函数的能量方程和一分之二衍生品两个步骤: (3)司马义et al的算法(23:这两步算法计算回路校正器通过评估两个能量函数和一分之一的导数的能量方程: (iv)Ozban的算法(24]:该算法包含一个能量函数和两个一阶导数的评价能量方程的两个步骤: (v)口等的算法(25:该算法有两个步骤确定每个循环的回路校正器包括两个函数的评价和一分之一衍生品的能量方程: (vi)春的第二个算法(19]:春第二算法利用两个函数和两个一阶导数能量方程评价在两个步骤: (七)春的第三个算法(19:该算法计算回路校正器通过评估两个能量函数和一个一阶导数能量方程在两个步骤: (八)扛鼎之作et al的第一个算法(26]:扛鼎之作et al。第一算法计算一个假设的流量,然后计算回路校正器。它使用一个函数和两个一阶导数能量方程评价: (第九)扛鼎之作et al。第二个算法(26):这两步算法计算类似的扛鼎之作et al的第一个算法在计算回路校正器使用不同的配方如图所示: (x)Darvishi和巴拉狄的算法27:这两步算法有两个功能评估和一个一阶导数的评估: (十一)周的算法(28):这 - - - - - -权力意味着牛顿算法计算回路校正器在两个步骤,它使用一个免费的参数( )作为能源的一阶导数的指数方程。在这项研究中,这个免费的大小参数被认为是1: 在哪里是符号函数(十二)火腿等的算法(29日]:火腿等的算法是一个两步算法有两个函数评估和一分之一衍生物的能量方程 (十三)春,金正日的第二个算法(20.:该算法计算回路校正器在两个步骤如下: (十四)春,金正日的第四算法(20.]:循环的计算校正器使用该算法需要一个函数和一分之二衍生品的评价: (3)计划每管three-discharge每个循环计算(三步修改方案):(我)扛鼎之作et al的第三个算法(26:该算法计算回路校正器使用一个函数评价和两个一阶导数能量方程评价: (2)Zavalani的算法(30.]:Zavalani中给出的算法是一个三步算法如下:

2.4。比较三阶收敛的改进算法

在前一节中给出的22个方案比较表1在对功能和衍生品的数量需要评估。根据这个表,这些方法大多两步算法,为每个使用两个放电管在每个循环计算。显然,需要额外的每个管放电时在修改后的方案,它要求计算 , , ,和新的排放值,如图1。这当然需要更多的计算,这带来一个之间的权衡精度和计算工作。

3所示。结果与讨论

样品解决了管网使用23方法,其中包括22个修改算法和原始的弯矩分配法,比较性能不同的方案。这个网络,采用从文献[2,14),包括两个循环,七管道,六个节点。图2描述了布局、管道的特点,水在节点点要求,储层水头这个管网连接。

每个算法编码在MATLAB和MS Excel解决样品管网络为四个不同的场景(92例),而这些项目以前推荐的应用实现数值模拟(31日- - - - - -33),特别是对于管网分析(2,7,9]。四个不同场景的细节提出了以下几点:(1)第一个场景:最初的想接近但不太接近最终的解决方案。每个流量保持不变在每个循环的计算,和排放仅修改结束后每个迭代的计算(2)第二个场景:最初的想接近但不太接近最终的解决方案。每个放电期间可以修改每个循环和每次迭代的计算(3)第三个场景:最初的猜测是最终的解决方案。每个流量是恒定在每个循环的计算,和排放仅修改结束后每个迭代的计算(4)第四个场景:最初的猜测是最终的解决方案。每个放电期间可以修改每个循环和每次迭代的计算。

详细结果实现了求解样本管网使用23四个场景提出了以下的方法:

3.1。一步修改方案的结果

6步方法的性能解决WDNs是相对于原来的弯矩分配法在图3。如图所示,这些方法解决了样本管网在三个迭代对于第一和第二场景,而第三和第四场景需求4、5或6运行这些方法的迭代。这意味着初始猜测影响所需的迭代次数使用循环解决典型WDN校正方法。更具体地说,亲密的初始猜测和最终解决方案减少迭代过程中分析WDNs。此外,所有计划的表演似乎类似于前两个场景。然而,基于结果的第三和第四场景如图3,春的第一个算法进行初始弯矩分配法,而其余的一步计划提高后者的性能。最后,图3表明一步方法达到最终的解决方案使用较低的迭代次数在10的24例(41%)。

图4比较了计算时间解决样本管网使用六一步循环校正方法和原来的弯矩分配法。如图所示,每个场景最低的计算时间属于弯矩分配法,而最高的计算时间是通过Abbasbandy算法四个场景。通过考虑两个数字3和4,观察契比雪夫算法和哈雷的算法表现好于其他一步方法基于迭代次数和计算时间。虽然春的第一个算法获得相对较低的计算时间图4,它利用相同的迭代数量弯矩分配法(6和5迭代)为解决第三和第四场景图3,分别。

3.2。两步的结果修改方案

两步计划所需的迭代的数量和原来的弯矩分配法解决样本WDN是描绘在图4四个场景。如图所示,几两步算法改进解决样本网络通过满足停止条件的迭代次数较低。更具体地说,八个迭代算法把2对于第一个场景,而原始的弯矩分配法和其他两步循环校正方法需要三个迭代。第二场景,寇et al。s算法,扛鼎之作et al。”年代第一和第二算法,春,金正日的第二和第四算法优于其他通过求解示例网络两个迭代,而春的第二个算法和其他四和三个迭代,解决了这个问题。此外,第三个场景如图的结果5证明所有两步方法减少了迭代次数达到弯矩分配法。同样,两步算法(除了口et al。算法和扛鼎之作et al。的第二个算法)减少了迭代次数的弯矩分配法得到的5 - 4所示。根据图5春,金正日的第二和第四了最低数量的迭代的算法考虑的四个场景。总之,图5证明了两步方法改善了弯矩分配法的收敛速度39的56例(69.64%),而春的第二个算法执行比后者在第二个场景中。

所需的计算时间解决样本管网使用两步算法和弯矩分配法相比,在图6。如图所示,最低的计算时间得到的弯矩分配法,而春第二算法(前三个场景)和火腿等的算法(第四场景)达到最高的计算时间。基于数据5和6春,金正日的第四算法优于其它两步方法,因为它相对解决样品的four-scenario管网采用最低的迭代中数字和计算时间。

3.3。三步的结果修改方案

图7比较了表演的三步修改方案和原始的弯矩分配法。如图所示,Zavalani两个迭代算法解决了第一个场景,而扛鼎之作et al。第三个算法和原始的弯矩分配法需要三个迭代。此外,这三种方法使用相同的迭代数量在第二个场景中。另外,图7显然表明,两三步方法提高原来的弯矩分配法的收敛速度在第三和第四场景。更准确地说,他们解决了第三场景四个迭代,而原来的弯矩分配法把6个迭代。此外,Zavalani算法和扛鼎之作et al。第三四迭代算法分析了第四场景,而五个迭代所需的初始弯矩分配法达到第四场景的最终解决方案。基于图7,三步方法降低迭代次数在5 8例(62.5%)。因此,很多情况下被认为是证明该回路校正方法改善弯矩分配法的收敛速度。

图8显示弯矩分配法的计算时间和样本WDN三步解决方案。根据图8,最低和最高计算时间得到的弯矩分配法和扛鼎之作et al。第三算法,分别虽然Zavalani算法所需的计算时间略低于后者为所有四个场景。基于数据7和8Zavalani算法总体表现好于扛鼎之作et al的WDN第三算法分析的样本。

4所示。结论

摘要22新回路校正方法提出了三阶收敛。尽管最初的回路校正法,即。,Hardy Cross method, these new methods theoretically have one higher order of convergence. A sample water network was analyzed using four scenarios (92 cases overall) for comparing the performance of these new versions of loop corrector methods with the original Hardy Cross method. The results indicate that the closeness of initial guesses to the final solutions was found to be an important factor in number of iterations required to solve a typical WDS. However, considering different scenarios reveals that one-step, two-step, and three-step schemes improve the rate of convergence of Hardy Cross method by 41%, 69.64%, and 62.5%, respectively. Additionally, one of the two-step methods, Chun’s third algorithm, was found to solve the sample network in more number of iterations that the Hardy Cross method for one out of four scenarios. Moreover, based on comparing the iteration number and computation time of the four scenarios of the sample pipe network, Chebyshev’s algorithm and Halley’s algorithm performed better than other one-step methods, while Chun and Kim’s fourth algorithm and Zavalani’s algorithm outperformed other two-step and three-step methods, respectively. Finally, the improvement obtained by applying the modified schemes demonstrates that the rate of convergence of the loop corrector method can be considerably increased by adopting these schemes.

数据可用性

在这项研究中使用的管道网络数据报告的手稿。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

引用

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