文摘
在本文中,我们考虑KP-MEW(3 2)时,动力系统的分岔理论方程积分常数。相应的行波系统是一个单一的平面动力系统与一个单一的直线。的相图 , ,和 是画的。周期性的确切参数表征peakon解决方案和平滑周期解。
1。介绍
2012年,萨哈(1]认为KP-MEW方程:
它是由结合新方程的KP方程。他得到了光滑和非光滑KP-MEW Eq的行波解。1利用动力系统的分岔理论)。在他的论文中,他忽视了积分常数当转移(1一个普通的微分方程。然而,如果积分常数并不等于零,行波解是什么?对于出现的问题,我们调查以下KP-MEW(3 2)方程: 利用分岔理论动力系统(2- - - - - -10),当积分常数。
关于这个话题,魏et al。11)构建单一峰值孤波解的广义KP-MEW(2, 2)方程和边界条件,利用微分方程定性理论。李和歌曲12]发现kink-type波和广义KP-MEW compaction-type波解的方程(2,2)通过使用分叉方法和动力系统的数值模拟方法。钟等。13)获得了cuspons peakons compacton,光滑和循环孤子解的广义KP-MEW方程运用分歧理论技术。在[14),躺在广义对称性分析KP-MEW方程。作者推导对称KP-MEW方程和伴随表示。Seadawy et al。15]研究了广义KP-MEW-Burgers孤波解的方程通过应用修改形式的扩展映射方法辅助方程。
寻找非线性偏微分方程的行波解,有更丰富的方法被采纳,如映射法和扩展映射法(16),tanh-coth展开法(17,18),达布变换(19),首次积分法(20.),exp-expansion方法(21]。实际上,没有统一的技术,可以用来处理所有类型的非线性微分方程。重要的是要讨论旅行非线性系统的动力学行为。因此,在我们的论文中,我们试图找到一些新的行波解情商。2)动力系统的分岔理论。
2。阶段的肖像
使转换 ,集成这两次,(2)到达 在哪里波的速度,是积分常数,然后呢的导数是吗 。
方程(3)相当于平面动力系统
使用转换 ,(4)改变 与第一个积分 在哪里是一个积分常数。因此,系统(4)和(5)具有相同的拓扑阶段画像除了直线 。
设置 。表示, , ,和 ,在哪里 是一个虚数。公式的基础上找到根源的三次方程,我们有以下结论:(i) 具有独特的平衡点 ;(2)如果 有两个平衡分 和 ;(3)如果 有三个平衡分 , ,和 。尤其是在直线上 ,有两个平衡的点为 。
让 线性化方程组的系数矩阵(5)在一个平衡点 和 。因此,它拥有
它具有以下的命题。
命题1。对于一个平面可积系统的平衡点,如果 ,的平衡点是一个鞍点;如果 ,那么它就是一个中心点;如果 和Poincar平衡点的指数是零,那么它是尖的。
为了方便起见,如果 ,指出, 我们将讨论的相图 , ,和 (参见数据1- - - - - -3)。
(一)
(b)
(c)
(d)
(e)
(一)
(b)
(c)
(一)
(b)
(c)
3所示。解决方案的一些具体参数表示系统(4)
在本节中,一些系统行波解(4),具体的参数表示的解决方案。的帮助下(22),我们将获得的精确行波解KP-MEW(3 2)方程。
3.1。周期性Peakon解决方案
(我)在本节中,周期性peakon解决系统(4)进行了探讨;的情况下 ,的相图如图所示1 (b);为 ,有两个拱轨道连接两边的直线 。与此同时, 与 。因此,从第一个方程(6),参数表示如下: 在哪里 是雅各宾派的椭圆函数与模吗 , 。这个概要文件的定期peakon解决方案(9)如图4(一)。(2)的情况下 ,的相图如图所示1(一);为 ,有一个拱轨道连接左边的直线 。(6可以减少) 在哪里 , ,和共轭复数。因此,我们可以获得的参数表示的周期性peakon解决方案(见图4 (b))。 在哪里 是雅各宾派的椭圆函数, , , (3)的情况下 ,的相图如图所示2(一个);为 ,有一个拱轨道连接左边的直线 。从(6),我们有 在哪里 , ,和共轭复数,所以它有周期性peakon解决方案的参数表示为(11)。(iv)的情况下 ,的相图如图所示3 (c);为 ,有一个拱轨道连接右边的直线 。它拥有 在哪里 , ,和共轭复数,所以它有周期性的参数表示peakon解决方案: 在哪里 是雅各宾派的椭圆函数, 这个概要文件的定期peakon解决方案(14)如图4 (c)。
(一)
(b)
(c)
3.2。平滑周期解
光滑的周期解系统(4)进行了探讨;的情况下 ,的相图如图所示1 (c);为 ,有一个同宿轨道封闭平衡点 和连接的直线 。与此同时, 与 。因此,从第一个方程(6),参数表示如下: 在哪里 是雅各宾派的椭圆函数。平滑周期解的概要文件(16)如图5。
备注2。所有相图分岔和行波解的获得KP-MEW(3 2)方程提出论文中没有提到在1]。
4所示。结论
在本文中,动力系统的分岔理论方法用于调查KP-MEW(3 2)方程。我们获得的参数表示周期性peakon光滑周期波解。对应的行波系统的相图分岔方程。
数据可用性
所有的基础数据可以找到支持你的研究的结果。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
这项工作是支持的中年和青年教师的基本能力促进广西项目(2020 ky16019和2020 ky16020)和广西财经大学项目(2019 qna03)。