文摘
在本文中,我们分类paracontact度量 - - - - - -多方面满足Miao-Tam临界方程 。我们证明了局部等距是平坦的产物 - - - - - -维流形和一个 - - - - - -维负常曲率流形 。
1。介绍
灵感来自于正质量定理和爱因斯坦的变分特性指标在一个封闭的管汇,,目的是找到一个合适的指标的概念之间会坐在爱因斯坦恒定曲率标量度量和度量,在1),苗族和Tam研究了体积的变分属性功能的空间曲率标量常数边界度量指标与规定。具体来说,他们得到以下的充分必要条件指标是一个关键点:
定理1(定理5 (1])。让是一个紧凑- - - - - -维黎曼流形与光滑的边界 , 一个给定的指标 ,和指标的空间具有恒定曲率标量吗并诱导度量给出的 。让 是一个光滑的度量,这样第一个狄利克雷的特征值 是正的。然后,是卷功能的临界点当且仅当存在一个光滑函数在这样 在和 在哪里和拉普拉斯算子和黑森运营商对吗 ,和里克( )里奇曲率的吗 。
为简便起见,我们叫Miao-Tam等关键指标的关键指标和参考方程(1)作为Miao-Tam方程。Miao-Tam关键指标的基本属性是其曲率标量是一个常数(见定理7 (1])。可以找到一些明确的例子Miao-Tam关键指标(1,2],不仅包括空间形式的标准度量测地线球但空间史瓦西指标和AdS-Schwarzschild指标限制某些域包含他们的视野和有界两个球对称天体。在[2),作者分类所有爱因斯坦和形平坦Miao-Tam关键指标。事实上,他们证明了任何连接,紧凑,爱因斯坦流形具有光滑边界满足Miao-Tam危急等距测地线球在一个单连通的空间形式。然后几个概括这一刚性的结果被发现由不同的作者,取代了爱因斯坦假设弱条件如谐波外尔张量(3),并行里奇张量(4),或循环并行里奇张量5]。对于一些其他概括或刚性的结果,我们可以参考6- - - - - -10)等。
最近,一些几何学家关注Miao-Tam方程的研究框架内联系度量集合管。在[11),作者证明了一个完整的 - - - - - -接触指标满足Miao-Tam临界条件是单位球面等距 。此外,他们研究了 - - - - - -接触指标满足Miao-Tam方程。此外,Miao-Tam方程的框架内Kenmotsu几乎Kenmotsu繁殖研究(12),证明Kenmotsu指标满足Miao-Tam方程是爱因斯坦。此外,在[13),作者研究了临界点方程 - - - - - -paracontact导管;特别是,他们证明了任何 - - - - - -paracontact集合管满足Miao-Tam方程一定是爱因斯坦。我们也注意到,一些几何结构如里奇孤子研究的框架内paracontact指标 - - - - - -管汇(见[14])。在这个方向,研究paracontact规是很自然的事情 - - - - - -多方面满足Miao-Tam方程。在本文中,我们将证明以下主要结果:
定理2。让 是一个paracontact规 - - - - - -歧管的维 与 。如果 是一个非常数的解决方案的Miao-Tam方程,然后呢维局部平 ,在更高的维度 ,是本地等角平面的产物 - - - - - -维流形和一个 - - - - - -维流形负常曲率等于 。
2。预赛
在本节中,我们回忆起一些基本定义和事实paracontact度量集合管,稍后我们将使用。对于更多的细节和一些例子,我们指的是(15- - - - - -26]。
一个 - - - - - -维光滑流形据说有一个吗几乎paracontact结构 ,如果承认 - - - - - -张量场 ,一个向量场 ,和一个1满足下列条件:(我) , (2)张量场每个纤维诱发几乎paracomplex结构 ,也就是说,the eigendistributions和的对应特征值1和 ,分别具有相同的维度
从定义,很容易看到 , ,和自同态有排名 。据说是一个几乎paracontact结构正常的当且仅当张量场 消失是一样的。如果一个几乎paracontact歧管承认pseudo-Riemannian度量这样 对所有 ,然后我们说有一个几乎paracontact指标结构,被称为标准兼容。由此可见, 和 。请注意,任何此类pseudo-Riemannian指标是一定的签名 。
如果除了 为所有的向量场 在 ,然后廖 据说是一个paracontact规管汇。在这种情况下,成为一个触点形式,即 ,与啤酒的向量场。在paracontact规管汇,定义了两个自伴的运营商和通过 和 ,在哪里是导数在撒谎 ,和的曲率张量 。众所周知在[25),这两个操作符和满足
这里还拥有 在哪里是Levi-Civita pseudo-Riemannian歧管连接 。此外, 当且仅当是一个向量场杀戮,在这种情况下,paracontact规管汇吗据说是一个-paracontact廖。正常paracontact规管汇是一个paraSasakian廖。
无效的研究条件paracontact paracontact几何几何是最有趣的话题。出于联系度量和paracontact几何之间的关系,在18),。意大利水饺Montano等人介绍了以下。
定义3。一个paracontact度量廖 据说是一个paracontact度量 - - - - - -管汇,如果其曲率张量满足 切向量场 在 ,在哪里 是真正的常数。
在paracontact规 - - - - - -廖 ,下面的公式是有效的(18]: 在哪里里奇算子与里奇张量有关 。
Paracontact规 - - - - - -空间满足(7),但这种情况不给任何类型的限制的价值 ,与接触几何度量,因为paracontact规管汇的度规不是正定。然而,几何paracontact度量的行为 - - - - - -廖是不同的 和 。特别的情况 和 , - - - - - -无效条件(7完全)决定了整个曲率张量场。这个案子 相当于 而不是 ,这是不同于接触 - - - - - -空间。事实上,有paracontact指标的例子 - - - - - -空间与 但 ,是第一所示(18,27,28]。在本文中,我们考虑paracontact度量 - - - - - -繁殖的条件 。
3所示。定理的证明2
之前给的证明定理2我们介绍一些重要的前题,稍后将使用。首先,我们回忆起关于paracontact度量的基本事实 - - - - - -多方面的。
引理4(推论4.14 (18])。在任何 - - - - - -维paracontact规 - - - - - -廖 这样 ,里奇运营商的是由 对于任何一个向量场 。特别是, 是 - - - - - -爱因斯坦当且仅当 ,爱因斯坦当且仅当 和 (在这种情况下,廖里奇平坦)。此外,标量的曲率是 。
在下面,我们考虑paracontact度量 - - - - - -多方面满足Miao-Tam方程。
引理5。让 是一个非常数的Miao-Tam方程的解决方案 - - - - - -维semi-Riemannian廖与标量曲率 。然后,曲率张量可以表示为 对于任何一个向量场 在 ,在哪里 。
证明。跟踪(1),我们得到
然后,Miao-Tam方程(1)可以展出 对于任何一个向量场在 ,在哪里 。的协变导数(12)一个任意的向量场在 ,我们获得
同样,我们有 对于任何一个向量场 在 。比较前两个方程和使用(12在著名的曲率张量表达式) ,我们获得的结果。
引理6。让 是一个paracontact规 - - - - - -歧管的维 与 ,和 是一个非常数的Miao-Tam方程的解决方案 。然后,我们有
证明。首先,采取协变导数(8)任何向量场 和使用(4),我们可以获得
的内积(10),和使用(8)和(16),我们有 在哪里 (注意尺寸是 )。
它遵循从(6), 。然后,取代通过和通过在(17),分别得到
自是非常数的 ,很容易看到
替换通过在(9),我们有
操作(9) ,我们有
用方程(20.)- (23)(19)的收益率 完成引理的证明6。
接下来,我们将给出完整的定理的证明2。
证明。首先,采取 在(17)给
把 在(6),并与放弃方程,我们得到
注意的是,标量曲率是一个常数,它遵循的 那
一方面, 在(6),因为 ,由此可见, 这给了
接下来,采取的协变导数(28)和利用(31日)和(32),我们有
操作这个方程显示
因为我们假设 ,我们分成两种情况:
案例(i): ;例(2):
如果情况(我)发生时,它遵循从引理6那 。因此,paracontact度量的定义 - - - - - -管汇给, 对于任何一个向量场 , 。从定理3.3的26),维局部平 ,在更高的维度( ),是本地等角平面的产物 - - - - - -维流形和一个 - - - - - -维负常曲率流形 。
如果发生情况(ii) ,也就是说, 。区分这沿着一个任意的向量场在一起(4)意味着
它遵循从(12), ,然后显示,上述方程
替换通过 , 通过 ,并指出,是任何非零paracontact规复写,它遵循了吗 。因此, , ,是一个常数,它给一个矛盾。
这就完成了定理的证明2。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者(年代)(s)宣称他们没有利益冲突。
确认
第一作者被授予国家自然科学基金委的支持(排名11801011)和重点科研项目的河南省高校(排名19 b110001)。