文摘

一个可积变系数非局部非线性薛定谔方程(NNLS)研究;采用副大臣的双线性方法,获得了双线性形式, - - - - - -孤波解。此外,一些奇异的解决方案和时间解决方程的解与特定系数所示。最后,在一定条件下,two-soliton解的渐近性态进行了分析证明two-soliton的碰撞是弹性的。

1。介绍

1998年,本德和同事第一次提出了 - - - - - -(parity-time)对称量子力学non-Hermitian [1]。现在, - - - - - -对称性在不同激光等领域被广泛研究[2)、音响(3),非线性光学(4玻色-爱因斯坦凝聚],[5),和量子力学(6,7]。非线性薛定谔方程一直被视为基本的模型来描述光纤中孤子的传播,和它的空间孤子已经成为非线性科学的研究前沿8,9]。2013年,Ablowitz和Musslimani合并 - - - - - -对称与非线性可积系统并提出了非局部的或 - - - - - -对称非线性薛定谔方程(NLS) [10), 在哪里代表复杂的共轭。显然,方程(1parity-time下)是不变的(PT)变换,及其解决方案评估( )和( )。从方程(1)的建议,许多研究人员进行了大量的工作。可积性(10,11],柯西问题[12),逆散射变换(13),和具体的解决方案,如呼吸器、周期性和rational解决方案(14),一般的超级巨浪(15)、多亮孤子(16),高阶rational解决方案(17),而 - - - - - -孤波解(18)(1)。此外,其他非局部可积系统也被调查了像外地修改Korteweg-de弗里斯方程(19,20.),外地KP方程(21),向量非线性非局部非线性薛定谔方程(22,23),外地离散非线性薛定谔方程(24- - - - - -26),外地Davey-Stewartson我方程27)等。

虽然进步已经取得了在外地的系统中,很少有研究非局部变量系数方程。从现实的角度来看,它是更准确的描述物理现象通过使用物理变系数方程在很多情况下(28]。所以这是一个有意义的工作来研究非局部变量系数方程的精确解。在[29日),作者构造的孤子解变系数非局部的NLS方程,利用达布变换。在[30.),分析物质波的解决方案( )- - -维外地Gross-Pitaevskii方程研究了。在这篇文章中,我们考虑的变量系数外地NLS方程, 在弥散系数和增益/损失系数甚至是任意的真正的连续变量的函数 。显然,方程(2)可以parity-time转换 , , 它是不变的,所以 - - - - - -对称的。当 和 ,方程(2)降低了常系数自聚集外地NLS方程(1)。当 ,方程(2)成为变系数非局部NLS方程解决了达布变换(29日]。本文的新颖的变系数NLS方程是首先由副大臣的双线性方法解决,更一般的two-soliton解决方案 - - - - - -报告孤子解,首先讨论两个孤子的碰撞。

本文的组织结构如下:在部分2、双线性形式和one-soliton two-soliton, - - - - - -孤立子方程的解决方案(2),得到基于副大臣的直接法。节3,研究了渐近行为证明two-soliton碰撞是有弹性的。最后,给出了结论部分4。

2。双线性形式和孤子的解决方案

我们实现以下因变量变换方程(2) 在哪里和是复杂的功能和是一个真正的函数;然后,下面的双线性方程的方程(2)得到如下: 在哪里 和双线性运算符(24]:

2.1。One-Soliton解决方案

为了构造方程的孤波解(2),我们消耗和如下: 在哪里是一个任意小的参数。然后,用方程(6)为双线性方程(4),并收集相同的功率系数 ,我们得到以下方程:

现在,我们构造方程(one-soliton解决方案2)。假设 与 , ,方程(7)收益率色散关系 。然后,用获得的在方程(8),我们得到 与 。因此,和可以表示为

如果我们将其他离开方程满意 和 。因此,我们得到了方程(one-soliton解决方案2),

现在,设置 和 ,我们得到一些特殊方程的解决方案(2):(我)如果 和 ,在哪里是一个实数,方程(14)变成以下时期解决方案已报道在29日), (2)如果 ( ,和 ),方程(14)成为

显然,方程(16)与奇点one-soliton解决方案 ,在哪里满足 ,和 。(3)如果 , ,和 ,我们得到了空间时间的解决方案 的时期 。

显示one-soliton解决方案的特点,我们说明奇异解(16)和周期解决方案(17)在图1(当 )和图2(当 )。

2.2。Two-Soliton解决方案

two-soliton解决方案,我们 与 , , 。从方程(7),我们有 , 。将获得的方程(8)导致 在哪里 , 。

然后,插入已知和在方程(9)和方程(10),我们得到和作为 在哪里

如果我们让其他方程满意 和 。因此,对于 ,我们得到two-soliton解决方案 在哪里 , , , , , , ,和 。特别,如果 和 ,解决方程(21)变成一个双spatial-period解决方案见图3(当 )。

2.3。 - - - - - -孤子解

的 - - - - - -孤子方程(解决方案2)可以显示如下: 在哪里 在哪里 和 或( ), , ,和满足下列条件,分别

3所示。渐近分析Two-Soliton解决方案

的渐近行为依赖two-soliton解决方案 。在本节中,在一定的假设 ,我们调查two-soliton解的渐近行为。自甚至是一个真正的函数,我们有什么 。为简单起见,我们表示通过 , ,然后 。

固定 ,我们得到了 在哪里 。

假设 ,也就是说, 。two-soliton解渐近趋于one-soliton解决方案如下:

固定 ,假设 ,以类似的方式,我们得到方程的渐近表达式(21):

我们可以看到,渐近解方程(27)和方程(28),方程(29日)和方程(30.)有相同的形式,这意味着two-soliton碰撞是有弹性的。但two-soliton解决方案不是一个行波。如果我们假设 ,可以得出相同的结论。

4所示。结论和讲话

在当前,我们研究了一个可积变系数非局部非线性薛定谔方程通过副大臣的双线性方法。我们首先建立双线性形式,然后 - - - - - -孤波解。此外,在一定条件下,我们分析了two-soliton解的渐近行为,证明了两个孤子的碰撞是弹性的。同时,我们表明,通过选择不同的特殊参数,获得孤子的解决方案可以减少空间周期解或奇异解。我们知道有时高维非线性系统更适合模型超快非线性光学等物理现象,所以我们希望调查 - - - - - -在未来维变系数非局部偏方程。

数据可用性

所有数据用于支持本研究的结果包括在提交论文。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作是由中国国家自然科学基金支持下批准号11505090和聊城大学的博士研究基金会在批准号318051431。