文摘
一般耦合KdV方程,描述了两个长波浪的相互作用与不同的色散关系,被认为是。采用副大臣的双线性方法,获得了双线性形式,one-soliton和two-soliton解决方案构建的解决方案。此外,两孤子之间的碰撞是弹性证明分析two-soliton解的渐近行为。一些数据显示说明弹性碰撞的过程。
1。介绍
孤子理论,非线性部分方程的孤子解变得越来越重要,因为孤子解可以描述许多复杂物理现象(1]。提出了许多有效的方法,如逆散射变换法(2),Backlund变换方法(3),达布变换方法(4- - - - - -6),副大臣双线性方法(7- - - - - -11],和Riemann-Hilbert方法[12]。其中,副大臣双线性方法不仅直接而且有效的调查孤子解。
在过去的几十年中,耦合Korteweg-de弗里斯KdV方程研究了广泛和许多可积耦合KdV方程。例如,Gurses和卡拉苏13]表明,以下KdV方程可积耦合和承认递归运算符和bi-Hamiltonian结构:
事实上,这个方程是可积的松懈,宽松的一对是首先由Drinfeld和武器14然后通过Bogoyavlenskii [15)和卡拉苏Yurduşen (16独立)。随后,这个方程也衍生了无核小蜜橘和副大臣17)的一个案例中four-reduction KP的层次结构。此外,卡拉苏和Yurduşen [16)提出一个Backlund变换和一些显式解的方程(1)。据我们所知,孤子解和两个孤子之间的碰撞并没有被调查。所以在本文中,我们调查以下一般耦合KdV方程: 也就是耦合KdV方程(1)
本文的其余部分组织如下。在“双线性形式和孤子解,”,双线性形式,one-soliton, two-soliton方程(2),得到基于副大臣的直接法。在“Two-Soliton渐近分析的解决方案,”研究了渐近行为证明Two-Soliton碰撞是弹性的。最后,给出结论“结论”。
2。双线性形式和孤子的解决方案
我们实现以下因变量变换方程(2): 在哪里和是函数的和 然后,下面的双线性方程的方程(2)得到如下: 在哪里 - - - - - -运营商(18)是由 这两个和都是整数。
为了应用微扰法方程(4)找到方程的孤波解(2),我们扩展功能和在一个小参数的幂级数作为 在哪里和 是函数的和 。用方程(6)和(7)入双线性方程(4)和收集参数的系数 ,我们有
2.1。One-Soliton解决方案
获取one-soliton解决方案一般耦合KdV方程(2),设置 在哪里 。代入到方程(8),我们有 和
此外,从方程(9),我们有
假设 ,很容易看到,方程(10)和其他方程系数的参数自动满足。所以我们得到以下one-soliton解决方案一般耦合KdV方程(2)通过设置
数据1(一)和1 (b)演示one-solutions的孤子结构 和 ,分别为参数 。
(一)
(b)
2.2。Two-Soliton解决方案
同样,到达two-soliton解决方案,我们集 在哪里 , 。将方程(17)方程(8)的收益率 , ,和 与 。
与
此外,如果我们把上面的 和 在方程(11),我们得到 与 。
假设 ,可以看出左边方程自动满足。通过设置 ,我们获得two-soliton解耦合KdV方程(2)。我们i4llustrate结构和在数据2(一个)和2 (b)。
(一)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
3所示。渐近分析Two-Soliton解决方案
现在我们分析two-soliton方程解(2用长期的渐近方法)。注意,可以写成two-soliton解决方案 在哪里 和 方程所示(17)- (23)。不失一般性,假设 。
固定 ,请注意, ,然后到达以下:(我)在碰撞之前Solitons-1 ( , ) 在哪里 (2)Solitons-1碰撞后( , ) 在哪里 。
固定 ,请注意, ,然后我们到达以下:(我) 在碰撞之前Solitons-2 ( , ) 在哪里 (2) Solitons-2碰撞后( , ) 在哪里 。
上面的渐近分析也可以看到在图3。比较方程的渐近表达式(25)和方程(26)和方程(27)和方程(28),我们发现振幅和速度保持不变,但阶段发生了变化。准确地说明碰撞过程,并给出了图在图2,这表明two-soliton波的碰撞是完全弹性的。
4所示。结论
总之,我们研究了一般耦合KdV方程(2通过副大臣的双线性方法)。我们首先建立双线性形式,然后one-soliton解决方案和two-soliton解决方案。此外,渐近分析给出证明two-soliton的碰撞是弹性的解决方案。
数据可用性
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的利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
作者的贡献
畅好张负责方法论、数据管理、软件和验证。Guiying陈负责概念化,原创作品草稿,可视化,写作(审查和编辑),监理和项目管理。所有作者已阅读及同意发布版本的手稿。
确认
这项工作是由中国国家自然科学基金支持下批准号62071053和聊城大学的博士研究基金会在批准号318051431。作者想表达衷心感谢编辑和审稿人的意见和有价值的建议。