文摘
在本文中,我们研究了不同类型的新Landau-Lifshitz方程孤子解借助辅助方程的方法。然后,我们得到一些特殊的孤子解这个方程。没有吉尔伯特阻尼项,我们目前的行波解和有限的能量在初始时间。孤子包络得到的参数的函数依赖模型系数。
1。介绍
非线性偏微分方程有不同类型的方程;其中一个是Landau-Lifshitz方程相关的经典和量子力学。非线性演化方程(需要雇)描述许多物理现象往往说明了非线性偏微分方程。确切的解决方案,详细探讨NLPDE为了理解自然现象的物理结构所描述的这样的方程。各种强大的方法被用来研究非线性演化方程,为分析和数值解。其中有些方法,黎卡提微分方程方法(1),副大臣的双线性算子(2),指数有理函数方法(3],雅可比椭圆函数扩张[4),齐次平衡法(5],tanh-function扩张[6),首次积分法(7,8],subequation方法[9],exp-function方法[10],Backlund变换,和减少相似[11- - - - - -29日),是用来获得NLPDE的具体解决方案。
Landau-Lifshitz-Gilbert方程在物理,命名为列弗兰道Evgeny Lifshitz,和t·l·吉尔伯特,顾名思义就是用于描述磁化的列队行进的运动微分方程在一个固体。修改了吉尔伯特LLG原始方程的方程(见[30.])可以写下来 在这里, , 表示叉乘。乘以这个词代表了交流互动,项表示吉尔伯特阻尼项。特别是,两个极端情况下(1)( 和 ,分别)包括在特殊情况下,著名的薛定谔方程和谐波地图地图热流,分别。这个问题会(G)方程的适定性问题深入研究数学,列出一些,在1986年,弱解的方程(G)。在小的初始值,解决方案的全球存在在不同的空间31日- - - - - -33被证明。第一个进展部分LLG方程正则解的存在被发现(30.,33- - - - - -36]。即使是小的初始数据,准确的解决方案的形式仍然是未知的。另一方面,LLG方程是否承认一个全球的解决方案将开发一个有限时间奇点的大初始数据是一个开放的方程。
2。辅助方程法
让我们考虑一个典型的非线性PDE ,给出的
根据波的转换 和 ,方程(2)成为一个普通的微分方程给出的 我们假设的解决方案非线性方程(18)可以表示为 在这 都是真实的常量,平衡号码吗是一个正整数,可以由平衡的最高阶导数项最高权力非线性项在方程(2),辅助常微分方程表达了以下的解决方案: 在哪里 是真实的参数。方程(6),(7),(8),(9),(10),(11),(12),(13),(14),(15),(16),(17),(18)和(19), 提供以下解决方案:
案例1。为
例2。为
例3。为 ,
例4。为 ,
例5。为 ,
例6。为 ,
例7。为
案例8。为 ,
例9。为
10例。为 ,
例11。为 ,
例12。为 ,
例13。为
案例14。为 ,
第二阶段:用方程(4)和(5)方程(3),并收集所有条款的顺序相同在一起,我们把左边的方程(3)进入一个多项式 。设置每个多项式系数为零,我们获得一组代数方程 。通过求解这些代数方程,我们得到几个变量情况下的解决方案(15,37]
阶段3:用获得的解决方案在第二阶段到方程(4与通用方程的解决方案()6),(7),(8),(9),(10),(11),(12),(13),(14),(15),(16),(17),(18)和(19),最终生成的新精确解非线性PDE (1)
3所示。通过Aem将方程的行波解
在本节中,我们构造一个行波解,而吉尔伯特术语(30.]。辅助方程方法的条件下,我们考虑以下波转换: 在哪里和是常数待定。
在这里,我们假设 替代(5)(1)[30.),单独的真实和虚拟部分,分别 在哪里 。(21)和(22)的非线性常系数常微分方程系统变量 。根据(22),我们就可以获得之间的关系和 : 在哪里是任意常数。如果我们将= 0,
4所示。结果
通过辅助方程的方法,解决(25)假设
从(5),我们有 在哪里和是常数。用(26)(25)和(27)和比较相似的权力的系数提供一个代数方程组,解决这一组代数方程的使用枫木,我们获得几个案例的解决方案。例如如下。
组1:
从第一集和情商。26),我们有
因此,方程的解决方案(5)获得的(6),(7),(8),(9),(10),(11),(12),(13),(14),(15),(16),(17),(18)和(19),我们最终解的方程(1)和方程(25)如下:
在图1,图形化解决方案的行为为 在不同的值和说明了。
在图2,图形化解决方案的行为为 在不同的值和说明了。
在图3,图形化解决方案的行为为 在不同的值和说明了。
组2:
组2和情商。26),我们有
因此,方程的解决方案(5)获得的(6),(7),(8),(9),(10),(11),(12),(13),(14),(15),(16),(17),(18)和(19),我们最终解的方程(1)和方程(25)如下:
在图4,图形化解决方案的行为为 在不同的值和说明了。
在图5,图形化解决方案的行为为 在不同的值和说明了。
更多的便利和理解,图形化行为的答案是(见图1- - - - - -5)。
5。结论
本文推导出的新光学孤子解Landau-Lifshitz方程,它描述超短脉冲在非线性光纤的传播通过使用辅助方程的方法。我们大胆地说,这里的工作是有价值的,可能是有益的在其他非线性科学研究。从模型方程获得确切的解决方案提供重要的见解孤波的动力学。本文获得的解决方案没有在旧的研究报道。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。