文摘
利用动力系统的分岔方法,我们研究了非线性波和广义KdV-mKdV-like方程的极限性质。我们得到以下结果:(i)三种类型的新的非线性波的显式表达式。(2)在不同的参数条件下,我们指出这些表达式代表不同的波,如孤波,1-blow-up波,2-blow-up波。(3)我们发现一种新的有趣的分岔现象。现象是1-blow-up波可以从2-blow-up分叉。同时,我们获得其他有趣的分岔现象。我们还表明,表达式包含现有的结果。
1。介绍
大多数关系在自然界和人类社会在本质上是本质上的非线性而不是线性的,所以许多现象在自然界和人类社会可以被描述为非线性方程,如自动控制、气象、工程计算、工程预算、经济和金融(1,2]。如今,许多科学家对非线性方程组及其解决方案非常感兴趣,已经做了很多相关工作(3- - - - - -5]。
在本文中,我们考虑广义KdV-mKdV-like方程(6,7]。 在哪里 是真正的常数。通过使用适当的参数,广义KdV-mKdV-like方程成为古典KdV方程(8- - - - - -11],mKdV方程[12- - - - - -16],KdV-like方程[17- - - - - -20.),广义mKdV方程(21]。
到目前为止,许多作者感兴趣的多种形式的研究KdV-like方程(22- - - - - -25),有几个明确的解决方案的结果广义KdV-mKdV-like方程的基础上,显著的物理背景。例如,李,王6)给下面的行波的解决方案: 在哪里 。
近年来,动力系统的分岔方法已广泛应用于研究非线性偏微分方程,例如[26- - - - - -29日]。
在本文中,我们研究了非线性波解和Eq的分岔现象。1)。首先,我们获得三种类型的显式的波,它代表的孤波,1-blow-up波,2-blow-up波。第二,我们揭示了新的分岔现象,介绍了抽象的上面。此外,我们获得其他有趣的分岔现象。第一个现象是1-blow-up波从孤波可以分为两部分。第二个现象是,孤波的小波可以分为两部分。
本文组织如下。节2,我们给出一些符号和国家我们的主要结果。我们的主要推导节中列出3。给出一个简短的结论4。
2。我们的主要结果
在这篇文章中,很奇怪,甚至类似于研究的情况。在本节中,我们国家我们的主要结果。为了国家这些结果,我们给出一些符号,将用于后者语句和推导过程。
的区域( )给出了图1,是一个任意的实常数。在本文中,我们只考虑这种情况 。在其他情况下,由于复杂性,我们将调查他们在我们未来的工作。
命题1。如果
,然后,明确的解决方案
和
当
,
就变成了
选择合适的参数后,相当于
。
当
,
就变成了
(我)如果
,然后,是对称的孤波(图中给出的例子是吗2(一个)或图3(一个))。特别的,当
,然后,对称孤立波就单边1-blow-up波(图中给出的例子是2 (c)),不同流程的示例,请参见图2。当
,然后,对称孤立波成为小波(图的例子3 (c)),不同流程的示例,请参见图3(2)如果
,然后,是2-blow-up孤波(图中给出的例子是吗4(一))。特别的,当
,然后,2-blow-up波成为单面1-blow-up波(图中给出的例子是4 (c)),不同流程的示例,请参见图4(3)如果
,然后,是1-blow-up孤波
(一)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(一)
(b)
(c)
(一)
(b)
(c)
(一)
(b)
(c)
3所示。主要结果的推导
获得我们的结果,我们在本节给出一些预赛。派生表达为简单起见,我们使用以下符号 然后我们得到我们的主要结果。
3.1。派生的命题1
对于给定的常数和 ,替换 与 在情商。1),它遵循
积分(10)一次,让积分常数为零,我们得到
让 ,我们获得一个平面系统 与第一个积分 在哪里是积分常数。根据定性理论,得到系统的分岔相图(12)如图1。通过分岔相图,我们可以得出命题1。
在第一个积分(13),让 ,我们获得
用(14)的第一个方程(12)和集成,我们得到的 在哪里是一个任意常数或 。
当 和完成上述积分方程和解决 ,它将跟随, ,让 ,我们可以获得(5)(3)。同样的,当 和完成上述积分方程和解决 ,我们获得(4)。因此,我们已经完成了命题的派生1。
4所示。结论
在本文中,我们调查了在非线性波浪的显式表达式及其轨情商。1)。
首先,我们获得了三种类型的新表达式。他们代表不同的波,如孤波,1-blow-up波,2-blow-up波。
第二,我们发现三种分岔现象,包括一个新的分岔现象。第一个现象是新分岔现象是1-blow-up波从2-blow-up波可以分为两部分。第二个现象是,孤波的小波可以分为两部分。第三个现象是1-blow-up波从孤波可以分为两部分。
第三,我们表明,先前的结果是我们的特殊情况,也就是说,包含在 。
此外,动力系统的分岔方法可以用来找到的新旅行解决方案和分岔等非线性方程扩展量子Zakharov-Kuznetsov方程[37],Fujimoto-Watanabe方程[38],[39]b-family-like方程。我们将继续使用动力系统的分岔方法来研究其他重要的非线性方程组。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版这篇文章。
确认
这项工作得到了国家自然科学基金资助(12001377和12001377),广东省优秀创新的年轻人才(2019 kqncx122),广东省自然科学基金(2018 a0303100015),和特点从广东省教育部创新项目(2018 ktscx204)。