文摘

本文是关于奇异的逆特征值问题排名的一个扰动Sturm-Liouville算子。我们确定独特的势函数谱扰动Sturm-Liouville算子及其等级。

1。介绍

考虑到边界问题 在 与 在哪里 是真正的价值, , ,和狄拉克δ函数。它是众所周知的1)操作符是自伴的运营商 ,这是一个一阶奇异摄动Sturm-Liouville运营商 。

本文的目的是解决逆问题的恢复潜力在(1从光谱)和 ,通过应用的方法1)和线性算子的微扰理论(2]。注意,在[3),边界问题 (2)和不连续条件 可以被视为问题(1)- (2)。本文的研究可以Borg two-spectra定理的一种变体4]第二光谱所获得的附加接口条件(4)和(5)问题(3)和(2)。我们的直接动机是一个最近的研究德尔里奥和Kudryavtsev [5,6),他认为是雅可比矩阵的逆问题,恢复原始矩阵的谱及其内部质量弹簧扰动;他们表示,反问题的唯一性不一般仍然有效;然而,最多在一定条件下,存在一个有限数目的矩阵对应于两个光谱。

这样的运营商不仅在电子出现在其他领域如扩散过程的理论,看到相关的引用(7,8]。一些光谱和逆谱问题Sturm-Liouville运营商排名一个扰动研究[1,3,9- - - - - -20.]。特别是Albeverio、Hryniv Nizhnik [3)认为Sturm-Liouville运营商的逆特征值问题的潜力和扰动在哪里 和 。后来,Nizhnik [16持续的问题 。然而,我们考虑运营商的反问题(1)和潜在的 和扰动 。和潜在的可能不是特有的光谱;所以,我们采用添加信息。此外,我们也可以使用的方法解决扰动的问题 的研究(18]。在本文中,我们建立的特征函数的表达式它提供了一个必要的初步治疗它的逆特征值问题。我们使用的方法来证明我们的结果可以转换问题(1)和(2)为三个光谱反问题在21,22]。实际上,的光谱和可能不确定潜在的独特(有关详细信息,请参阅下面的评论)。遇到的主要困难是确定两个Sturm-Liouville问题上定义的特征值 和 从知识的光谱和 ,我们必须采用添加信息的数量特征函数的零,和条件两个光谱是不相交的。

主要结果断言,如果的光谱和是不相交的,潜在的可以确定独特的光谱和0的数量,包含在 ,所有形式的 。我们将在下一节中状态和证明。

2。主要定理和证明

我们需要描述一些预赛,随后,由于[1]。一个定义了空间的规模关联到如下。的空间是与规范 在这很容易完成。为 ,取 的规范 并完成它。请注意,和双重的方式吗 相关联的函数 给出的 。水列夫估计表明,对于任何一个 , 也就是说,在于 。因此,通过节2在((1],p . 115)西蒙,你可以找到一个光谱测量这样

(I.15)和(I.16) ((1],p . 116),它遵循

由于以下预赛([2],p . 245 - 250)。多样性指数 是由

封闭的多样性函数操作符被定义为

让的特征值 , 。然后,

使用相同的方法,以及一些公式的证明([2),由(p。248),10),我们推断

在以下引理,给出了频谱的特征函数 。

引理1。的光谱由真正的特征值。的特征函数是 在哪里是特征函数的 。

证明。由(9), 在哪里 格林函数是 。从([2329页)],p。15日, 与简单的两极是亚纯点 。然后,对于 ,它遵循 注意到的光谱由简单的真实特征值。结合定理I.6 (1),我们看到 因此,通过定理ii . 2 (ii .1)和(18)的光谱由真正的特征值,用 。
由(14),每个零的 的特征值 。因此,0 是真实的,包括零 。让0的 。然后,我们有多重性的功能 使用(14),它是 因此,定义的 ,我们有 现在,我们证明, , ,当且仅当 。事实上,如果 ,它很容易看到 。我们只是证明如果 ,然后 。假设 和 ,然后 ,也就是说,是一个极 。由定理1.1.2 (23),所有的零是简单的;所以, 由(15),(16),([23),15页),可诱导的;因此, 这是矛盾的吗的极是哪一个 。然后, 。
为 我们还需要证明的特征值的多重性当且仅当是一个零的多重性 。事实上,如果的特征值的多重性 ,然后由(21),有 ,它很容易得到 现在,我们假设是一个零的多重性 ,也就是说,(26)持有。通过 ,有 或 。结合 有 和 它的意思是 。然后,的特征值的多重性 。☐证明完成

本文的主要结果如下。

定理2。让和的光谱和 ,分别。如果 ,潜在的可以用特有的 0的数量,包含在 ,所有形式的 。

证明。由定理1.1.4 [23),的特征函数可以通过计算 以同样的方式证明的定理1.1.4 (23[],阿达玛的分解定理24),的特征函数可以通过计算 从给定的光谱 ,我们可以确定的函数 通过 从(16),([23],p。15)和(2)(23), 在哪里 和 的解决方案(3初始条件下) 和 。然后,我们得到的零 ,用 。应该注意的是, 在哪里和的光谱是下面的问题吗 分别。
如果 , 的极 ,和的零 。使用(18),它暗示 是单调递增 。由(16)和((23[30]],p。29日), 因此,没有零 在 和一个零 。这意味着 我们确定了和从由于数量的零本征函数包含在 。众所周知([25本征函数),p。15) 正好有0的 ,我们假设本征函数 有( )0的 。通过比较定理([25),好),没有不到的0的本征函数 包含在 。从引理1.3.1 [25),的根源 连续依赖 。结合推论1.3.2 (25), 有 0的 只有在存在 这样 。因此,如果 有 0的 ,然后 ;否则, 。然后,我们得到和从的信息的数量特征函数的零 包含在 。
接下来,我们证明 , ,和确定 。由(35)和定理3.2 (21),我们看到 , ,和可以唯一确定 ,乙醯。,在 。证明因此完成。☐

备注3。基于定理的证明2,我们知道两个不相交的光谱和确定独特而不是和 。因此,为了获得的独特性 ,我们需要确定和从 。为此,我们必须使用0的特征函数的数量,和条件两个光谱是不相交的,如果没有,我们可能不能保证的独特性 。例如,如果 ,的特征值和有以下渐近表达式: 在哪里 和 。很容易看到,存在一个正整数这样, 虽然我们不能确定和从为 ,这意味着将有最多有限数量的吗对应于两个光谱和由于定理3.2 (21]。因此,我们采用的零特征函数,两个光谱分离条件保证的独特性 。我们还没有找到一个例子,联合光谱确定潜在的独特。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

作者的贡献

作者研究的构思,起草了手稿,并批准最后的手稿。

确认

作者非常感谢处理编辑和审稿人的仔细阅读手稿这个手稿并提供宝贵意见。