合理光谱法与拉普拉斯时分方程的拉普拉斯变换相结合

抽象的

在本文中，提出了与拉普拉斯变换结合的合理光谱法用于解决罗宾时间分数偏微分方程。首先，通过拉普拉斯变换将时间分数偏微分方程转换为具有频域分量的常微分方程。然后，通过合理的光谱方法离散空间衍生物，具有参数的线性方程解，近似呢 得到了。通过修改的Talbot算法获得的任何给定时间的近似解，即数值逆拉普拉斯变换。进行了数值实验，以证明我们方法的高精度和效率。

1.介绍

因为分数阶微积分操作者具有非竞争性，所以适合于描述涉及现实生活中的内存和遗传的材料，并且可以通过分数阶微分方程来描述许多实际问题[1，2］．对各种分数局部微分方程的近似解进行了几项研究。用于解决分数PDES的分析和数值方法是一个非常重要的任务[3.］．为了解决这类问题，我们需要引入特殊函数来表示分数阶微分方程的精确解，这是非常困难的。因此，有人试图提出数值方法来近似这类方程的解[4- - - - - -9］．

本文的目的是调查合理的光谱方法与拉普拉斯变换相结合，找到某些类别的罗宾时间分数PDE的近似解决方案，其中参数具有衍生物在Caputo分数衍生物的意义上如下： 服从以下初始和Robin边界条件: 在哪里 ， ， ，和 ， ， 是连续的实值函数。该方法导致在时间域中连续的精确解决方案，并且是计算效率。Laplace变换的使用避免了在颞域域中进行时间的需要，这是计算昂贵的。

本文的其余部分组织如下2，引入一些必要的符号和初步引理。节3.，我们描述了该方法的实现方法。数值结果将在本节中讨论4，并在本节中得出一些结论5．

2.预先素质

在本节中，我们提供分数阶微积分的一些定义和基本性质[10和拉普拉斯变换，这些都是后续发展所需要的。

2．1.分数阶微积分复习

定义1。分数阶Riemann-Liouville导数的一个函数定义如下: 在哪里 ．

定义2。分数阶Caputo导数定义如下: 在哪里 ．

对于这两个衍生品，我们有以下属性：

引理3。如果 和 ，然后

显然,从引理3.，如果 ，riemann-liouville和caputo分数衍生物是相同的 ．

与整数阶微分一样，Caputo分数阶微分具有如下线性性质: 在哪里 ， 是常数。

２.２.拉普拉斯变换

定义4。假设是该变量的实值函数还是复值函数 和为实参数或复参数。我们定义的拉普拉斯变换如下：

对于分数阶导数，拉普拉斯变换有以下性质:

雷玛5。如果 和 ，则卡普托导数的拉普拉斯变换为: 在哪里 ．

引理6。［11] 如果 和 ，则黎曼-刘维尔导数的拉普拉斯变换为: 在哪里 ．

3.耦合方案

拉普拉斯变换在模型中的应用(1)和(2)，我们可获得以下资料: 在哪里 ．

3.1。合理的光谱法

求解常微分方程(10），选择合理的光谱方法以在转化的域中获得高精度的数值溶液。

合理的功能以重心形式插入函数在 不同的点可以表示如下[12]： 在哪里是称为重心权重的非零数。特别是切比雪夫-高斯-洛巴托点 ，如下所选择的重心重量[13]：

衍生品能否判定^th订单差异化矩阵与由(10在一点上 ：

重心表示的优点是一阶和二阶微分矩阵项的公式简单[14］

通过介绍变换 ， ，和 和定义 ，然后 和 ，我们可以重写（10） 如下：

等式（15)是一个依赖于变换参数的线性方程组 ．当参数定义为积分的轮廓，利用拉普拉斯变换的数值反演可以求解方程组(15）获得复杂域中集成轮廓上的每个点的近似解。

３．２．拉普拉斯变换的数值反演

定义7。拉普拉斯变换的反演定义如下:

通过近似溴化物积分来执行拉普拉斯变换的数值反演。使用共形映射，可以使集成的轮廓变形以获得可以通过标准正交技术近似的积分。

在这里，我们考虑修改后的Talbot等高线[15］ 在哪里 ， ， ，和是用户指定的常量。在这些保形图下，Bromwich积分变得如下： 在哪里 ，哪个可以用2来近似 -面板中点规则如下: 在哪里 ．

如果轮廓（18)与实轴对称，则可以保存一半的转换计算。也就是说，只需要考虑上(或下)半平面上的正交节点。我们可以得到以下资料:

以下修改的塔尔博特等高线[16］ 本文使用;它具有收敛率 ．

4.数值实验

为了证明有理谱法结合拉普拉斯变换的准确性和有效性，本节我们用这种新方法求解了关于Caputo分数阶导数的Robin时间分数阶偏微分方程。

在我们的计算中，所有的实验都是使用MATLAB(版本R2014a)在一台带有2.5 Hz中央处理器(Intel Core i5-2450M)、4.00 GB内存和Windows 7操作系统的个人计算机上进行的。

例1。在有限域中考虑以下线性分数平流扩散PDE ，在哪里 ： 服从以下初始和Robin边界条件: 这个问题的正确答案是 ．结合拉普拉斯变换和RKA(再现核算法)的有理谱方法17用来解决这个问题的不同值 什么时候 ．表中列出了数值解决方案和确切解决方案之间的错误1．通过合理光谱法与Laplace变换结合所获得的精确和数值溶液的比较在表中制表2．

与现有的RKA相比 作为域的二维划分 ，新方法的准确度有 和 有明显改善的情况下，不同 ．数字1给出了数值解与精确解之间的最大绝对误差的变化的不同值 ，12岁，16岁还有 ．可以看出，最大误差随着增加的增加逐渐衰减并保持稳定达到大约15.固定值的最大绝对误差 和 对于不同的值 ，图12和16所示2．

例2。考虑有限域上的线性分数阶Navier-Stokes方程 ，什么时候 ： 服从以下初始和Robin边界条件: 在哪里 这个问题的正确答案是 ．

将新方法的性能与[18来计算线性分数阶Navier-Stokes方程。表格3.列出了有理谱法与拉普拉斯变换结合使用的结果 和 的盒型差分格式 和 对于有 ．将有理谱法结合拉普拉斯变换得到的精确解与数值解的比较列于表中4对于有 ，在哪里立场^thchebyshevgass - lobatto指向[0,1]。

数据3.和4给出了数值解与精确解之间的最大绝对误差的变化的不同值 ，12岁，16岁还有 ．由以上计算结果，我们可以得出与例题相似的结论1．

5.结论

本文提出了一种结合拉普拉斯变换的有理谱方法来求解具有Caputo分数阶导数的参数的Robin时间分数阶偏微分方程。数值实验表明，该方法在时间分数阶问题上是非常准确和可靠的;并且，在给定的时域上的任意时间点上，该方法都是有效的。与传统的时间步长算法(FDM)相比，该方法避免了Courant条件对时间步长的限制。它特别适合于长时间演化问题的数值模拟。

在这里，我们限制我们的方法来解决一维时间分数阶问题。实际上，本文提出的理论和数值框架对于推广到更复杂的问题是必要的。在未来的工作中，我们希望将我们的方法扩展到解决多维问题和非线性问题。

数据可用性

用于支持本研究的FNDING的数据包括在文章中。

利益冲突

提交人声明他们没有竞争利益。

致谢

我很感谢YJ Wu教授为他的宝贵建议，并帮助与本文有关的工作。该作品部分由宁夏（Nange Nxylxk2017b09）的一流学科基金会，宁夏（No.Note NZ17105）的自然科学基金，以及北闽都大学的科学基金（No.2099XYZSX04和2019XYZSX02）。

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