平凡利玛窦孤子的表征

摘要

寻找琐碎孤子的刻画是利玛窦孤子的几何结构的一个重要问题。在本文中，我们发现一个简单的利玛窦孤子的几个表征。首先，在一个完整的萎缩利玛窦孤子，我们证明了的一个不等式数量曲率给出了一个平凡的利玛窦孤子的表征。然后，示出了具有短程线流，并满足一定的不等式势场的长度势场给出一个简单的里奇孤子的另一个表征。最后，我们表明，满足不等式固定长度的势场给出了一个简单的利玛窦孤子的表征。

一。介绍

回想一下，里奇孤子，作为Ricci流的自相似的解决方案（参见[1]），是目前感兴趣的话题。而且，他们的模型对于一些奇点，这使得其几何形状非常有趣。一个 -维利玛窦孤子 是黎曼流形 其上有一个平滑的矢量场（称为势场）满足（参见[1]）， 哪里是里奇张量，是度量的李导关于 ，和是一个常数。里奇孤子 据说是扩大的，稳定的，还是取决于萎缩 ， ，要么 ，分别。如果势场是一个光滑函数的梯度 ，然后 称为梯度Ricci孤子，在这种情况下，方程(1）的形式为 哪里是函数的Hessian矩阵 。利玛窦孤子是Ricci流的稳定的解决方案（参见[1]），并在解决庞加莱猜想被使用，从那时起，利玛窦孤子的研究回升极为重要。一对利玛窦的孤子重要的发现是，如果它体积小巧，势场是一个光滑函数的梯度 ，即，紧凑里奇孤子是梯度里奇孤子（参见[1]). 里奇孤子 据说是微不足道的 ，在这种情况下，度量成为爱因斯坦度量与成为爱因斯坦常数。一些作者研究了Ricci孤子的几何结构[2-4])；在[五-7]，迈尔斯型定理已被证明为里奇孤子;类似地，在[8]，观察到一个完全收缩的Ricci孤子 有一个有限的基本群。在[9，10]证明了非紧收缩Ricci孤子的Bishop型体积比较定理。

当Ricci孤子推广爱因斯坦度量时，一个自然的开放问题是平凡结果的存在性（即Ricci孤子成为爱因斯坦流形的条件）。因此，Ricci孤子几何中的一个重要问题 是找到下它变得微不足道的条件。最近，在[11，12用于紧凑型里奇孤子]，作者发现的充分必要条件是微不足道的里奇孤子。在本文中，我们发现了紧凑利玛窦孤子的充分必要条件，以及非紧里奇孤子是微不足道。在我们的第一个结果，我们证明了数量曲率紧凑利玛窦孤子 满足涉及第一非零本征值的差分不等式给出了一个平凡Ricci孤子的特征（参见定理1）。我们还表明，一个连接利玛窦孤子 势场的流具有长度的测地流满足一定的不平等给出一个简单的利玛窦孤子的特征（参见定理2）。最后，观察到势场连通Ricci孤子满足一定不等式的等长性 也给出了平凡Ricci孤子的一个特征（参见定理4）。

2。预备工作

让 豆 -维利玛窦孤子和是光滑的1-形成双重的势场 。我们定义了一个斜对称张量场关于Ricci孤子 通过 哪里是平滑的矢量场的李代数 。我们称之为张量场里奇孤子的相关联的张量场 。利玛窦操作关于Ricci孤子 是对称的操作者通过定义 ， 。梯度标量曲率 满足 哪里 是一个局部正交框架和协变导数 。

利用方程（1）和（3)Koszul公式，势场的协变导数是由

现在，使用公式（五)，我们得到了Ricci孤子的黎曼曲率张量的以下表达式 ：

随着运营商是对称的，是斜对称的，使用方程(4）和（6）， 我们获得 这导致

我们用拉普拉斯算子的第一非零特征值作用于上紧致光滑功能 。如果 光滑函数是否满足 然后用最小的原则，我们有

3.结构紧凑琐碎里奇孤子的一个特征

现在，我们证明了本文的第一个结果。

定理1。一个 -维完整萎缩利玛窦孤子 Ricci曲率的下界为常数 第一非零特征值当且仅当标量曲率满足不等式

证明。假设 是Ricci曲率完全萎缩利玛窦孤子满足 和数量曲率满足不等式 注意，根据迈尔斯定理关于Ricci曲率的假设意味着紧凑。从而， 是一个紧凑里奇孤子，因此，它是一个梯度里奇孤子（参见[1]). 因此，是一个封闭的向量场，也就是说， 。方程式(8）的形式为 这使 此外方程（五)变成 我们用它来计算的发散并获得 现在，使用公式（13）在上述等式导致 其上集成使 利用方程（15）， 我们有 ，这使 因此，我们得出结论 因此，等式（18）的形式为 现在，方程式(13）和（16)暗示 再配 给 整合上述公式，我们可以得出结论 那是， 这使 现在，使用公式（20)在上面的方程式中 因此，方程式(21）和（27)暗示 同时，我们有波切内尔公式 哪里 是标量曲率的Hessian操作者 。需要注意的是方程（19） 暗示 ，从方程式来看(10）给出 现在，我们用公式（14） 计算 整合上述方程式，并使用等式（28）和（29)，我们得到 其中使用 （对于收缩的Ricci孤子）和不等式(三十）给出 要么 从而， 由于Ricci曲率满足 对于恒定 ，上述不平等形式如下 使用Schwarz不等式 ，与不等式（12）在上述不等式，我们可以得出结论 此外，在Schwarz不等式等号成立当且仅当 。此外，方程 从方程的角度看(15） 暗示 因此，使用 ，我们得到 那是， 。现在，使用 用方程式(13）和方程第一方程（37)，我们得到 ，那是， 。因此， 和利玛窦孤子 实在是微不足道。
相反，如果 是一个微不足道的孤子，那么 ， 给 这意味着 ，因此，平等(12）成立。

众所周知的是，奇数维单位球诱发公制作为欧几里得空间的超曲面 承认一个单元杀矢量场 ，因此，我们得到了平凡的Ricci孤子 ， ，满足定理的假设1。

4.连接琐碎里奇孤子的刻划

在这一节中，我们考虑一个连通的Ricci孤子 找到它是平凡Ricci孤子的充要条件。回想一下本地流平滑的矢量场的关于黎曼流形 如果测地线在 。测地线流已被用于研究黎曼流形（cf[7，13]）。请注意，由等距的流动是测地流动，反过来是不正确的。例如，考虑3维单位球有佐佐木结构 （参见[14]）。那么对于一个积极的作用上 ，使指标变形通过

然后，仍然在黎曼流形上的单位向量场 。然而，不再是杀伤矢量场 但反而 是跨佐佐木结构[15]，以及关于黎曼流形 是一个测地流动。

在未来的结果，我们用测地流这个概念的潜力领域利玛窦孤子 表征琐碎利玛窦孤子。

定理2。让 豆 -势场局部流动的维连通收缩Ricci孤子是测地流。那么， 是平凡的Ricci孤子当且仅当标量曲率是沿积分曲线的常数以及相关的张量满足不等式

证明。假设 用的局部流动连接短程线流和数量曲率是沿积分曲线的常数以及相关的张量满足 作为是测地流，方程(五）给出 作为标量曲率是沿积分曲线的常数 ，使用等式（4）和（8），我们得出结论： 现在，用方程式(五）和（44个)，我们发现向量场的散度 。一些简单的计算之后，我们得到 同样，使用方程式(五）和（45岁)，我们得到 方程式(43个）给出 ，这在上面的方程中插入的产率 需要注意的是方程（五）给出 。因此，服用发散式（43个），并使用等式（46个）和（48个），我们得出结论： 这使 使用Schwarz不等式 和不平等（42个)，在上面的等式中，我们得出 由于在Schwarz不等式等号成立当且仅当 ，我们得到 ，那是， 实在是微不足道。
相反，如果 是的局部流动琐碎利玛窦孤子短程线流，那么它遵循是常数，并且方程（五）的形式为 然后找到的差异使用上面的等式，得到等式

注3。（1）清楚的是，一个奇数维单位球 是一个平凡的Ricci孤子，其中 ，势场 ， 正对复杂的结构和单位是否垂直于超曲面 。相关的张量是由 ，的切向分量 。它遵循 成立。自然，作为杀矢量场，其流动由等距的 ，因此，它是一个测地线流。（2）接下来，我们给出一个具有势场流的非平凡Ricci孤子的例子不是测地线场。考虑开放子集 欧几里得空间 ，哪里是欧几里德度量。考虑矢量场 定义者 哪里 是位置向量场 是欧几里得坐标 。它遵循

因此，我们有 那是， ， 是与相关联的张量场非平凡里奇孤子 ，给出者

流动的是由 这不是测地流。而且，我们有 和 ，那是， 成立。

接下来，我们考虑利玛窦孤子 ，有势场的恒定长度。请注意，如果结构紧凑，是常数，则 是微不足道的论据如下：在这种情况下，为平稳功能 ，并作为紧凑，还有一点 （临界点 ）哪里 。如 ，一个常数，这将使 ，那是， 实在是微不足道。

我们得到了非紧琐碎利玛窦孤子的以下特性与潜在领域具有恒定的长度。

定理4。让 豆 -维连接的非紧里奇孤子与势场的恒定长度。然后， 是微不足道的，当且仅当相关张量满足不等式

证明。假设 是一个 -维利玛窦与孤子常数和 如是一个常数，使用方程式(五），我们得出结论： 现在， 和使用等式（五）和（8)，我们得到 方程发散(63个），以及使用上述等式中，我们可以得出结论 此外，内积与在方程（63个）给出 ，因此，上式变为 利用Schwarz不等式和不等式(62个)，在上面的等式中，我们得出结论 其中，作为定理的证明2，意味着 实在是微不足道。
在相似的线相反的如下如定理2。

我们构造了一个具有非恒定势长的非平凡Ricci孤子的例子。让是单位开的球 在欧几里德空间中 ，哪里是复杂的结构和是欧几里德度量。考虑光滑向量场 定义者 哪里 是位置向量场。然后，就这样 那是，

因此， 是一个平凡的利玛窦与孤子 和相关张量 。我们得到 和 ，那是， 。

数据可用性

没有数据已被用来支持这项研究。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

致谢

作者扩展了他们的赞赏，以科研为沙特国王大学Deanship为没有资金通过研究组这项工作。（RG-1440-142）。