文摘
在这个研究中,一些适当的条件下,我们近似铃木多值映射的静止点修改Agarwal-O 'Regan-Sahu迭代过程2-uniformly凸双曲空间的设置。我们还提供一个说明性的数值例子。我们的结果改进和扩展当前文学的一些最近宣布结果。
1。介绍
让 是一个度量空间是一个非空的子集 。为 ,集
让代表所有非空的紧凑的子集的集合 。这个函数定义为 满足所有的属性指标,通常被称为分离指标 。记得一个多值映射 叫做铃木映射(1如果为每个 ,
铃木的类映射和扩展的单值映射的设置被广泛研究了许多作者(见,例如,2- - - - - -7)和引用)。在这里,我们只会专注于多值版本的铃木映射。我们可以很容易地观察到是扩张, 对所有 ,然后铃木也是一个映射。然而,下面的例子表明,反过来这种说法可能不一般。
例1。让 和 被定义为
当 和 ,然后我们没有什么可以证明的,因为在这种情况下,我们有以下:
当 和 。在这种情况下,扩张,因此,铃木是一个映射。
通过设置 和 ,我们有 。因此,不是扩张。
一个元素在被称为平稳点(或称为端点)的每当 和被称为一个固定的角度每当 。在整个论文中,符号和将代表所有固定的集合点和所有固定的集合点的 ,分别。记得一个多值映射 被称为quasinonexpansive提供吗 为每一个 和 。存在不同类型的多值映射的静止点研究[8- - - - - -15]。以下语句保存:(我) (2) 当且仅当 (3) 当且仅当
2005年,Sastry和先生(16)发表了一篇论文的强收敛的多值扩张映射的不动点,使用改进后的曼和石川迭代过程在希尔伯特空间的设置。在2008年,Panyanak [17)的结果表明,Sastry和先生16)可以扩展到稍微一般一致凸的巴拿赫空间的上下文。歌和王18)改善Panyanak的结果(17]。对于更多的细节在这个方向,看到[19,20.和其他人。在2018年,Panyanak [21)发表了一篇论文多值的近似的静止点扩张映射框架的巴拿赫空间使用修改后的石川迭代过程。2019年,Ullah et al。22)迅速指出,Panyanak的结果(21)可以扩展到一般的猫(0)空间的上下文。2020年,Laokul和Panyanak [23)使用了石川迭代过程寻找静止点的铃木多值映射2-uniformly凸双曲空间。最近,Abdeljawad et al。24)使用修改后的Agarwal-O 'Regan-Sahu迭代过程寻找固定的多值扩张映射在巴拿赫空间中。最近,Ullah et al。25)扩展的结果Abdeljawad et al。24)一般2-uniformly凸双曲空间的上下文。修改后的Agarwal-O 'Regan-Sahu迭代过程读取如下: 在哪里 这样 和 这样 。这项工作的目的是为了证明,在一些适当的条件下,强烈的和收敛的结果静止点更广泛的一类多值扩张映射铃木所谓的多值映射使用迭代过程(6)一般2-uniformly凸双曲空间的设置。通过这种方式,我们改进和扩展中相应的结果证明21- - - - - -25]。
现在我们回想起一些基本定义和结果将用于续集。
定义2 (26]。一个双曲空间是一个度量空间
赋予一个函数
这样对所有
和
,我们有
如果 和 ,我们使用的符号 为 。它遵循从那
一组 如果任何被称为凸 ,一个人 。
定义3。双曲空间 据说如果每个实数一致凸的 和 ,我们可以选择一个 这样,每 与 , ,和 ,一个人
一个函数 提供这样的 对于给定 和 被称为均匀凸性模量。这个函数叫做单调,它提供nonincreasing在吗对于每一个固定 。
定义4。让 是一个均匀凸双曲空间。对于每一个 和 ,集 下确界在哪里了 这样 , 和 。我们说 是 - - - - - -一致凸的如果
备注5。注意,一致凸的巴拿赫空间和猫(0)空间以及猫( )空间( 和 对于一些 是 一致凸双曲空间(见[23,27,28])。
定义6。让任何在一个完整的2-uniformly凸双曲空间中有界序列和 。的渐近半径相对于是 。此外,渐近的中心相对于是一组 。
定义7。让是一个非空的闭凸子集的一个完整2-uniformly凸双曲空间和 。让任何有界序列 。我们说 收敛到如果 为每个子序列的 。在这种情况下,我们写 并调用的的 。
现在,我们收集一些关于铃木多值映射的基本事实,可以发现在29日- - - - - -31日]。
8号提案。让是一个非空的一个完整的子集2-uniformly凸和双曲空间 。(我)如果铃木是一个映射的不动点集非空的,然后呢是quasinonexpansive(2)如果铃木映射,那么以下是适用的:
以下事实也是必要的。
引理9(见[17])。让 是这样的, 和 。让是一个非负实数序列,这样 。然后,有一个子序列收敛于0。
下面的引理2-uniformly凸双曲空间的一个特征。
引理10(见[23])。让 是一个 一致凸双曲空间。然后, 为每一个 和 。
引理11(见[23])。让是一个非空的a2-uniformly凸双曲空间的闭凸子集和 铃木是一个映射。假设是一个有界序列这样 和 是收敛的,每 ,然后 。在这里, 工会在哪里接管所有子序列的 。此外,是一个单例。
2。收敛性定理在2-Uniformly凸双曲空间中
整个部分,将代表一个完整的2-uniformly凸双曲空间单调统一的凸性模量。
下面的引理是至关重要的。
引理12。让是一个非空的闭凸子集和 铃木映射 。让被定义的序列(6)。然后, 对于所有存在 。
证明。让 。由命题8(我) 因此, 是一个nonincreasing序列,这意味着什么呢 存在每一个 。
首先,我们建立我们的 - - - - - -收敛性定理。
定理13。让是一个非空的闭凸子集和 铃木映射 。让 和被定义的序列(6)。然后, 收敛到一个固定的角度 。
证明。修复 。由引理10,我们有 因此, 自 ,由此可见, 因此, 因此 由引理12, 收敛所有 。由引理11,是一个单例中包含吗 。这表明 收敛点 。
定义(见[1421])。让是一个非空的子集和 。 据说满足条件如果有不减少的功能 与属性 , 为 和 对所有 。 如果对每个序列被称为semicompact在令人满意的 一个可以找到一个强烈收敛的子序列的 。此外,一个序列在被称为Fejer单调对吗前提是 为每一个 和 。
在[以下事实31日]。
15号提案。让是一个非空的封闭的子集和是一个Fejer单调序列有关 。然后,强烈收敛点当且仅当 。
下面的定理是基于semicompactness 。
定理16。让是一个非空的闭凸子集和 铃木映射 。假设 是这样的, 和 。如果semicompact,那么由(6)收敛强烈的驻点 。
证明。鉴于(16), 由引理9,存在子序列,即和的和 ,分别,这样 。因此, semicompactness的映射 ,一个可以找到一个强烈收敛的子序列的强极限,说 。我们将证明 。由命题8(2),我们有 因此, 。由命题8(我), 现在,我们让 并选择 这样 从(19)和(21),我们有 因此, 对所有 ,也就是说, 。因此, 。由引理12, 的存在。因此,的强极限吗 。
示例17。让和那样的例子1。然后,铃木是一个映射 。Semicompactness的遵循的密实度 。为每一个 ,我们让 和 。的, 和 。因此,通过定理16的顺序修改Agarwal-O 'Regan-Sahu迭代定义为(6)强烈收敛 。然而,我们不能直接应用任何导致(22,24,25因为,在这种情况下,不是扩张。
下面的定理要求条件 。
定理18。让是一个非空的闭凸子集和 铃木映射 。假设 。如果满足条件 ,然后由(6)收敛强烈的驻点 。
证明。从(17),我们有 自满足条件 ,我们有 因此,从(23),我们得到 因为这个函数不减少的, 和 对于每一个 。因此, 亲密的遵循quasinonexpansiveness的 。在视图的引理12,我们有这是一个Fejer单调对吗 。由命题15,强烈收敛的一个元素 。
示例19。让和那样的例子1。然后,铃木是一个映射 和满足条件 。为每一个 ,我们让 。然后,通过定理18的顺序修改Agarwal-O 'Regan-Sahu迭代定义为(6)强烈收敛 。然而,我们不能直接应用任何导致(22,24,25因为,在这种情况下,不是扩张。
3所示。结论
在一些适当的条件下,我们证明,修改的顺序Agarwal-O 'Regan-Sahu迭代过程定义为(6铃木)收敛于一个驻点的多值映射。我们使用一个2-uniformly凸双曲空间,这比一致凸的巴拿赫空间,更一般的猫(0)空间,和一些猫( )空间。此外,铃木多值映射正确的类包括多值扩张映射的映射如图所示的类的例子1。我们的迭代过程是独立的但比石川迭代过程。因此,我们提出了相应结果推广和改进了结果(21- - - - - -25]。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
作者的贡献
所有作者的贡献同样显著,在写这篇文章。所有作者阅读和批准最终的手稿。
确认
作者感谢西班牙政府授予rti2018 - 094336 b - i00 (MCIU /美国/欧盟菲德尔)和格兰特IT1207-19巴斯克政府。