双组分反应扩散系统的数值模拟与对称性约化

摘要

本文研究了一类双组分反应扩散系统的对称性分类和对称性约化问题，将反应扩散系统约化为常微分方程组，并通过实例给出了其解和数值模拟。

1.导言

系统 参数在哪里 是内在增长系数， 是种内竞争的系数，( )是扩散速率和参数和确定物种相互作用的类型 和 ,这种模式是竞争互动；当 和 ,这个模型是互惠互动的；什么时候 和 ,该模型为食饵-捕食者相互作用系统(1.)及(2.)由Shigesada等人提出[1.]包括古典Lotka-Volterra系统，扩散Lotka-Volterra系统和泛化形式[2.–4.]对称方法也是构造微分方程精确解的有效方法之一；对称方法由Sophus Lie创建[5.]由Ovsiannikov开发[6.]，布鲁曼[7.]，奥尔弗[8.]，Cherniha[9]，以及其他研究人员[10–17]作者主要研究反应扩散系统的Lie对称性、精确解、条件Lie-Bäcklund对称性（CLBS）及其相关研究工作[18–27]本文主要研究系统的对称性约化、求解和数值模拟(1.)及(2.).

2.对称性约化

在本节中，我们将说明还原过程的主要特征。系统(1.)及(2.)承认条件Lie-Bäcklund对称（CLBS） 什么时候

我们主要考虑以下两种情况。

案例1。什么时候 ,然后系统可以导出为以下形式 并承认中电：

系统(7.)及(8.)是关于变量的常微分方程（ODE）系统 ,因此，以下形式是相应的解决方案：

在下面的示例中，插入解决方案(9)及(10)进入(7.)及(8.)产生以下ODE：

我们解决了这个系统(11)–(14)；解决方案如下所示：

然后，系统的解决方案(5.)及(6.)可以通过替换上述函数来显示 , , ,和转化为等式。(9)及(10).

案例2。什么时候 ,系统 承认CLB： 系统(19)是一个关于变量的常微分方程系统 ,因此，以下形式是相应的解决方案。 在下面的示例中，插入解决方案(21)进入(16)产生以下ODE：

3.数值模拟

接下来，我们研究了系统的数值模拟(22)及(25).

系统(22)及(25)有四个平衡点 和 .系统的雅可比矩阵(22)及(25)在 形式为 分别在哪里 (一)就 和 ,就是 和 ,显然，矩阵的特征值不都是负数，所以，平衡系统运行不稳定。矩阵的特征值是 , , ,和 .如果 ,就是 ,然后平衡局部渐近稳定（请参见图1.和2.).矩阵的特征值是 , , 和 .如果 ,就是 ;然后，平衡是局部渐近稳定的。由于矩阵特征值的复杂性 ,我们没有给出平衡点稳定性的理论结果在这里，我们将通过数值模拟进行研究（请参见图3.和4.).（ii）就 和 ,就是 和 ,与案例（i）中的分析类似，我们可以看到这种平衡不稳定,，在该条件下是局部渐近稳定的 , 在该条件下是局部渐近稳定的 ,和有条件存在 (iii)就 和 ,就是 和 ,与案例（ii）中的分析类似，我们可以看到这种平衡不稳定,，在该条件下是局部渐近稳定的 , 在该条件下是局部渐近稳定的 ,和有条件存在 .

数据可用性

用于支持本研究结果的数据包含在文章中。

利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

本工作得到了中国国家自然科学基金（根据河南省议长高校重点青年教师的培训计划（No.2099GGGJS143）。

参考

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