具有无理数固有频率刚体的运动

摘要

本文考虑频率为无理值的刚体的转动运动问题。衍生和减少运动方程，并减少到Quasilinear自主系统。这种系统减少到生成的系统。我们假设一个大参数与一个足够小的分量成反比角速度围绕惯性椭圆体的主要轴或短轴围绕着假设。然后，使用大参数技术来构建这种情况的周期性解决方案。获得运动的几何解释以描述欧拉角的角度的方向。使用数字四阶runge-Kutta方法，我们确定所获得的系统的数字解决方案。应用相图程序来研究达到的解决方案的稳定性。介绍了考虑的数值和分析解决方案之间的比较，以显示出呈现的技术和解决方案的有效性。

1.介绍

刚体质量问题它围绕一个固定点旋转是根据固有频率值在均匀重力场中的哪一个进行分类的加速度或者牛顿力1。在[]中研究了固有频率有理值的情况。1]对于围绕惯性椭圆体的轴的一个轴的固定点旋转重固体。获得的溶液含有何时命名的自然频率的奇异病例。对于固有频率值出现的奇异情况 (磁盘盒)和被认为是在[2那3.]，分别。我们仍然为了研究四种情况，直到解决问题的解决方案到了任何自然频率的第三次近似。这些病例根据命名的自然频率值进行分类;除了三个单一案例之外，将来在Shaa Allah的未来除了三个单一案例之外，还将研究其基础的自然频率的状态。。

我们的框架固定在车身和框架里固定在空间里。假设那那和代表移动坐标系中主体的惯性矩。认为（）是物体的质心。在这种情况下是不合理的，获得运动方程并减少到以下系统：在哪里其中像(ab)这样的符号表示循环排列，表示省略的方程;和是 -角速度矢量和固定单位矢量在空间中的分量;和是常量取决于刚体参数。系统（1）有以下第一积分：在哪里那那和常数取决于刚体参数和函数吗满足条件当。

2.的周期解

在本节中，我们得到(1），然后，我们将在新的动作条件下解决。我们适应大参数方法[1]解决系统（1)在第一个积分(4.）.通过推动进入系统(1)，我们得到的发电系统为[4.]生成一个周期的周期解。

在本例中，从系统(1)，所要求的具有周期的周期解以下列表格[5.]：在哪里是任意常数和吗和的解析函数什么时候消失。这个函数解析函数是什么消失的时候。的函数和可由代入(5.) (1的等次系数

的函数可以写成如下的扩展系列[6.]：

使用方程(3.)，得到的周期性条件如下[7.]：

条件下(7.)及系列(6.)，它产生一个无穷无尽的方程组来指定系数。的函数和表达如[8.］．

现在，我们的目标是找到广义系统的周期解。根据(9.),系列(6.）从一个不低于的订单开始。由此得出代表从不低于的顺序开始的动力系列。在这种情况下，数量和获得。

引入以下变量[10.]：在哪里和是依赖于刚体参数的常数。向量和代表空间中的角速度的组件和下固定轴的单位向量，那满足条件当。

让是足够小;我们定义了一个大参数并应用大参数方法[3.]以Power系列扩展的形式获得分析解决方案如下: 在哪里是与刚体参数有关的常数吗

对时期的修正获得的形式是什么

3.运动的几何解释

在这一节中，我们讨论几何问题来显示物体在任何时刻的方向。用方程(9.)转化为欧拉角那和在这已经被那使用那我们得到以下角度的表达式[11.]：在哪里在哪里取决于惯性的时刻是常数。

4.数值的考虑

在这一节中，我们研究以下问题的解析解和数值解。

4．1.分析解决方案

我们重写解析解表格如下:

让一步和那在哪里是变量的最大值。让我们介绍一下以下数据:

让主体参数为

介绍以下计算机符号:

利用上述数据和计算机程序，我们得到了图中的解析解(见图)1和2）.

4.2。数字解决方案

使用(18.)，我们重写系统(1)在表格中

采用四阶龙格-库塔法[12.]通过计算机程序和数据(16.）和（17.)，在解析解初始值相同的情况下，我们得到了图中的数值解(见图)3.和4.）.为了检查两种解决方案的准确性，我们绘制了图表(见图)5.和6.）.我们发现解析解和数值解之间的一致性，满足了解析和数值技术的优良结果。得到的平滑简单曲线(见图7.-12.)，表明所得到的解是稳定的[13.那14.］．

5。结论

在这一节中，我们得出结论，对于固有频率为无理值的均匀重力场中刚体的运动问题，我们已经排除了前面的工作[1-3.被认为是。在新的运动条件下，得到了运动方程及其第一积分，并简化为一个两自由度和一个第一积分的半线性自治系统。我们假设参数很大这与角速度分量成反比这应该足够小。在这种假设下，众所周知的庞德拉方法[15.]无法解决这个问题，因为我们无法实现必须与足够高的角速度分量成比例的小参数。因此，我们采用大参数技术来解决这一问题。该方法的优点是:用小的初始时刻能量代替了高的能量，得到了慢速陀螺运动而不是快速陀螺运动，并在新的运动领域给出了解析解和数值解。此外，在新域中获得这些解决方案的时期的校正。实现了运动的几何解释。什么时候那由式(17.）定期排列和纯旋转的情况。应用数值四阶runge-kutta方法[12.通过计算机程序，我们找到了这道题的数值解。采用大参数技术并假定相同的初值和数据(16.）和（17.）.我们得到了两个解的数值结果和它们的图解。通过图形表示得到的结果一致，显示了这两种技术在获得高精度解方面的优势。由于陀螺在这些领域的广泛应用，这个问题在航空航天科学和技术中有许多应用[16.］．这里使用的程序对于解决复杂的问题很有用，例如[17.]在考虑参数的新域中。这可以通过反映问题参数来完成。在下一个论文的Shaa Allah中，我们研究了自然频率值的剩余奇异案例，以完成解决问题的解决方案到第三次近似。

数据可用性

本文不适用数据共享，因为在本次研究中没有生成或分析数据集。

的利益冲突

作者宣称他没有相互竞争的利益。

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