文摘
在本文中,我们探讨熵解的全局存在性和大时间行为为半导体一维单相水动力模型的形式与时间和spacedependent阻尼Euler-Possion方程有界区间。首先,我们通过消失粘度方法证明熵解的存在性和密实度补偿框架。基于均匀密度的估计,然后证明了熵解收敛于相应的独特的固定指数随时间的解决方案。我们推广了现有结果变量系数衰减情况。
1。介绍
本文涉及一维等熵与阻尼Euler-Possion半导体器件的模型: 在空间变量 (和两个正的常数)和时间变量是什么 。在这里, , , , ,和代表电子密度、电子电流密度、阻尼系数、压力,分别和电动提起。我们假设阻尼系数 是有界的,压力是由函数 ,在哪里 和 在这里,介绍了绝热系数, 对应的等熵的情况。的掺杂分布 代表固定的密度,带正电的离子背景。在本文中,我们假设 在哪里和是两个积极的常量。初边值条件的系统(1) 在哪里满足
首先,让我们调查相关的数学结果。1990年,Degond和Markowich [1)首先证明稳态的存在性和唯一性1)在亚音速情况下,它的特点是一个渺小的假设在当前流经设备。这是证明了局部光滑解的存在时间问题,利用拉格朗日坐标(2]。然而,在[Chen-Wang3]研究顺利解决方案炸毁在有限时间;因此,值得考虑弱解的存在性和其他属性。至于薄弱的解决方案,张4]和Marcati-Natalini [5]证明了全球初边值和柯西熵解的存在性问题 ,分别。李(6和黄等。7)被证明是存在的熵的解决方案(1), 有界区间上,整个空间使用分数Lax-Friedrichs方案。值得注意的是,熵解的估计,尤其是估计的密度,在上面所有的作品4- - - - - -7依赖于时间 ,这限制了我们进一步考虑他们的大时间行为。我们参考8- - - - - -10更多关于这个模型的结果和主题。摘要 和可变阻尼系数,我们应当首先验证假设11),密度是认为是一致有界的空间和时间然后用熵不等式考虑的大时间行为获得的解决方案。
根据相关的结果(12- - - - - -16),我们相信本文中所开发的方法可用于双相Euler-Poisson系统随时间衰减。我们将调查这个问题在下个论文。
我们开始我们的主要定理,定义系统的熵的解决方案(1)。
定义1。对于每一个 ,一双有界可测函数 被称为稀溶液(1)和初边条件(3)如果 适用于任何测试函数 ,边界条件是满意的divergence-measure字段(17]。此外,我们所说的弱解 如果熵不等式是一个熵的解决方案 满足的任何弱凸分布熵对
定义2。固定的解决方案的问题(1)和(3)的顺利解决 与边界条件
我们的主要结果摘要如下。
定理3(存在)。让 ,我们假设初始数据和阻尼系数满足 对于一些正的常数和 。然后,熵存在一个全球性的解决方案 初边值问题(1)和(3)满足 在哪里是独立于 。
备注4。全球的存在弱解,我们只需要 是有界的。然而,得到解的大时间行为,统一-上限是必要的。
定理5(大时间行为)。假设存在一个正的常数 ,这样的阻尼系数 对于任何 表示 熵是全球解决方案(1)和(3)获得的定理3, 是固定的解决方案;然后,它认为 对于一些积极的常数 。
注6。定理3和5是相应的定理的推广18),阻尼系数 。假设 和有三个正的常数,那么 满足所有的假设 定理3和5。
2。初步和配方
我们考虑齐次系统
首先,我们使用和表示正确的特征值所对应特征向量和 。经过简单的计算,我们
黎曼不变量 是由 令人满意的 和 在哪里 梯度对吗 。
两个函数 : 被称为entropy-entropy通量的系统(13如果它满足
此外,如果任何固定的 , 消失在真空 ;然后,被称为弱熵。例如,机械能量通量 应该是一个严格凸熵。我们近似方程(1)通过添加人工粘度光滑近似解 ,也就是说, 初边值条件 在哪里在(18)是一个足够大的常数后,确定在(19)是标准的安慰者用小参数 。我们将证明粘度的解决方案(18)和(19一致有界关于时间 。
3所示。粘度的解决方案和先验估计
对于任何固定 ,我们的解决方案表示(18)和(19) ,自 是唯一由 ,和 ;然后,系统(18)可能被视为一个系统的未知数和 。关于当地的近似解的存在性的证明,本文中使用的技术类似于用于(19]。扩大当地解决全球,关键是得到统一的上界 和密度的下界 。下面的定理给出了统一的 。
引理7。对于任何 ,让 的顺利解决方案(18)和(19)。然后 在哪里是一个正不断独立的时间吗 。
证明。符号(为简单起见,上标和将省略 。)通过黎曼不变量的公式(15),我们可以解耦粘性扰动方程(18), 我们设置控制功能 作为 直接计算告诉我们 定义修改黎曼不变量 为: 然后,将上述公式插入(21)收益率方程解耦和 : 我们重写(25) 与 在上面的计算中,我们使用的关系: 注意的是 , ,和选择 ,我们有 另一方面,(27)告诉我们 和使用相同的计算(18),我们估计的近似电场和获得 在哪里只取决于初始数据。因此,采取我们足够大, 和初边值条件满足 基于上述讨论,利用引理7(18),我们有 因此, 由(35),我们有 和引理7就完成了。
从(20.),速度 是一致有界的,即 。然后,遵循同样的方式(20.),我们可以得到
基于局部光滑解的存在性,统一上估计(引理7)和密度的下界估计(37),我们得到下面的引理。
引理8。对于任何时间 ,存在一个独特的全球经典解决方案 初边值问题(18)和(19)满足 在哪里是独立于和 。
通过引理8和补偿密实度框架理论建立在19,21- - - - - -23),我们可以证明的子序列 (仍然用 ),这
此外,它对我们是清楚的 熵是一个初边值问题的解决方案(1)和(3)。我们完成的证明定理3。
4所示。弱解的大时间行为
本部分介绍定理的证明5。首先,对于静止的解决方案,从结果(24),我们有以下参数:
引理9。在假设(2) ,存在一个独特的解决方案 问题(7)和(8)满足 在哪里只取决于 和 。
现在,我们将得到熵的解决方案 在定理3收敛强烈到相应的固定方案 规范的与指数衰减率。从(7)和(8),我们看到
给新函数的定义如下
显然,我们观察到
乘(44)和集成来 ,我们有
此外,表示相对entropy-entropy通量
从熵不等式(16),我们有以下不平等拥有的地理分布:
我们注意到 和使用的理论divergence-measure字段(17)到达
自 然后存在 这样
自 和 我们可以直接得出结论
数据可用性
本文运用理论分析的方法。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
这项研究部分由中国国家自然科学基金(批准号11671237)。