Riemann-Hilbert方法多组分Kaup-Newell方程

文摘

Riemann-Hilbert的方法开发了多组分Kaup-Newell方程。给出了公式 - - - - - -孤子的解决方案通过一个相关单位跳矩阵逆散射问题无反射的潜力。

1。介绍

许多非线性偏微分方程尤其是孤子方程精确解(1- - - - - -3]。有很多方法来解决孤子方程等大臣双线性方法(2- - - - - -6),朗斯基矩阵技术(Casoratian技术)5- - - - - -9,达布变换(10,11]。逆散射变换(IST)是最有力的工具之一,与上述方法密切相关(1,3]。它也被称为非线性傅里叶变换解非线性方程的过程类似于线性的傅里叶变换。坚持的一个优点是,它可以应用于整个孤立子层次结构(3]。最近,研究表明,不仅是可以解决经典孤子层次还孤子方程的自洽源(12),nonisospectral孤子层次结构(13),层次结构与摘要和nonisospectral混合的(14),和外地孤立子层次结构(15]。此外,它可以生成两个孤子和通用矩阵指数的解决方案(16,17]。

Riemann-Hilbert (RH)方法是另一种有效的方法来解决孤子方程。实际上股票的密切关系是(18- - - - - -20.]。他们两人从相同的矩阵谱问题具有有界的形式分析可扩展的上部或下部半平面。散射数据,我们必须考虑渐近条件在无穷远处在实轴上是解决孤子方程。事实上,作为考虑条件相应的RH问题的解决办法。当跳矩阵是一个单位矩阵,RH问题相当于无反射电位的坚持,和 - - - - - -可以生成孤子解(21- - - - - -23]。最近,马已经使用的方法来解决多组分孤子方程等多组分AKNS可积的层次结构和耦合mKdV方程24- - - - - -26]。

这对我们所有人来说都是已知的三个著名的微分非线性薛定谔方程,的Chen-Lee-Liu (CLL)方程(17,27),Kaup-Newell (KN)方程(28[],Gerdjikov-Ivanov (GI)方程29日,30.从茶室方程),可以减少通过选择任意参数的不同值(31日,32]。等性质,研究了它们的精确解(30.,33),守恒定律(34[],multi-Hamilton结构31日),而 - - - - - -对称代数(32,34]。

在本文中,我们将介绍的多组分KN方程 矩阵松懈对。制定一个RH问题的方程,我们考虑一个修改矩阵松懈对。生成的公式 - - - - - -多组分KN方程孤子解将通过识别跳矩阵。

本文组织如下。节2中,我们将介绍多组分摘要KN方程及其松懈对。节3,我们将构建一个多组分RH问题在前一节中介绍的方程。节4,的表达 - - - - - -孤子的解决方案将获得。我们在部分总结本文5。

2。多组分KN方程

在本节中,我们将介绍摘要从多组分KN方程 通过零曲率表示矩阵谱问题。据我们所知,还有一个强大的方法来构建孤子方程通过卡茨穆迪代数和层次结构主要层次(35]。

假设和光滑函数的变量吗和 , 表示矩阵的转置是一个 单位矩阵。让我们考虑以下松懈对

在哪里和是两个真正的常数; , ,和 潜在的功能;是一个光谱参数;和

很明显,和光滑的组件函数的变量吗和 。假设 ,和任何顺序对其衍生品迅速消失 。

(1)的相容性条件,即。零曲率方程 生成多组分KN孤子方程

例如,当 ,光谱的问题(1)成为 在哪里

它的时间演化 与

4组件KN方程

3所示。RH问题多组分KN方程

在本节中,我们将构建RH问题多组分KN方程(5)。在这里,我们只关注积极的流动。从负对称流构建RH问题已经出现在[36均匀的) - - - - - -层次结构及其 。

设置

很明显的痕迹是零,

因此,方程(5)有以下松懈对

接下来,我们将介绍多组分的散射和逆散射方法KN方程(5RH)的方法。最终的结果将奠定基础 - - - - - -在下一节中孤子解决方案。假设所有的潜力迅速消失的时候 或 并满足

在RH的方法,我们对待在光谱的问题(1)作为基础矩阵。从(12(下),我们注意到,13),一个渐近行为: 。这激励我们引入变量变换 有规范化标准化相关的RH问题:

在哪里是 单位矩阵。这种方式,光谱的问题(12)同样导致

在哪里 和 。注意到 ,我们有 亚伯的公式。

现在让我们考虑制定一个相关的RH问题变量 。在散射问题中,我们首先介绍了矩阵的解决方案 (16一个)渐近条件

分别。上面的下标引用的哪一端 - - - - - -轴边界条件是必需的。然后,通过(17),我们有行列式 对所有 。自 都是解决方案(12),他们必须是线性相关的,所以,我们有 在哪里

是散射矩阵。请注意, 自 。使用的方法参数以及边界条件的变化(19),我们可以把 - - - - - -的一部分(12)以下沃尔泰拉积分方程 :

因此,允许分析延续实轴 只要积分右手面收敛。采取 ,它是直接看到的第一列的积分方程只包含指数的因素 。当是在第一和第三象限,即, ,让 。然后, 由于 积分的衰变 ,和去年的积分方程列只包含指数的因素 ,这是因为 在积分,也当衰减在上面的半平面 。因此,这些 列可以分析继续第一或第三象限。同样地,我们发现最后一个列的第一列可以分析继续第二和第四象限。让我们表达

在哪里代表了th列 。然后,矩阵的解决方案

在第一和第三象限分析的 ,和矩阵的解决方案

第二和第四象限分析 ,在哪里 和 。此外,从沃尔泰拉积分方程(21),我们知道

接下来,我们构造分析的第二和第四象限 。注意的伴随方程 - - - - - -的一部分(12)和(16)读的伴随方程

很容易看到,逆矩阵 和 分别解决这些伴随方程。如果我们表达如下:

在哪里是th排 。然后,通过类似的参数,我们可以表明,伴随矩阵的解决方案

是分析当在第二或第四象限,其他矩阵的解决方案吗

分析了在第一和第三象限。同样,我们看到

现在,我们已经构造了两种矩阵函数和 ,分析在第一或第三象限和第二或第四象限,分别。定义

我们可以很容易地找到,如果在实轴或虚轴,两个矩阵函数和是相关的 在哪里

情商。32和情商。33)是完全关联矩阵的RH问题我们想要礼物。渐近条件 提供规范化标准化条件建立了RH问题。

完成直接散射变换,求导(19随着时间的推移)势和使用消失条件;我们可以证明满足 这使散射系数的时间演化:

和其他散射数据不依赖于时间 。

4所示。 - - - - - -孤子解

0的RH问题可以产生孤子解。相关的RH的唯一性问题(32)不持有除非相同的零在第一或第三象限和依据在第二或第四象限指定和内核的结构在确定这些0。下面的定义以及散射之间的关系和 ,我们发现

我们已经使用在哪里 。同样,我们有 和

假设有0 ,和有0 。为简单起见,我们假设所有这些0,和 ,很简单。然后,根据每个人只包含一个列向量,用 ,每个ker包含一个行向量,用 :

RH问题(32)与规范化标准化条件(35)和零结构(40)可以解决明确,因此,我们就能很容易地重建潜力如下。请注意,是一个解决光谱的问题(16)。因此,只要我们扩大在大作为

这一扩张插入(16)和比较条款导致 这意味着 在哪里 。此外,势和 , 可以计算为

获得孤子解,我们组 在RH问题(32)。如果我们假设这可以实现 ,这意味着没有反射的散射问题。而解决这些问题的办法可以给特定的RH问题如下(24,25] 在哪里 阅读是一个方阵的条目吗

注意的是,0和是常数,即,space and time independent, we can easily find the spatial and temporal evolutions for the vectors, 和 。例如,让我们把 - - - - - -方程两边的导数 。通过使用(16) ,我们得到了 这意味着

的时间依赖性 :

可以确定同样通过一个相关变量RH问题 。总结,我们获得 在哪里和 ,是任意常数向量。最后,从(45),我们得到

因此,(44), - - - - - -多组分KN方程组孤子解(4): 在哪里 和 ,是任意的。

5。结论

一般来说,我们构建的RH问题多组分KN方程。建立身份的特殊RH问题跳矩阵,我们引入了变量变换规范化标准化谱问题。通过重组方案的标准光谱问题及其伴随谱问题,一般矩阵跳转到特殊RH问题是构造。让一般跳身份跳矩阵矩阵,RH问题解决了。最后,我们获得的表达式 - - - - - -孤子解通过光谱参数的幂级数展开规范化标准化谱问题。

在这种方法中,跳矩阵对应的散射矩阵,矩阵和身份跳相当于无反射系数的坚持。众所周知,有不仅孤子方程孤子解,而且合理的解决方案,Matveev解决方案,complexiton解决方案,等等。最近,一直在积极研究肿块和孤波的交互解决方案(37,38]。这将是非常有趣的推广这种方法( )- - -维方程和考虑他们的肿块和交互的解决方案。这些将是我们未来的项目。

数据可用性

数据支持本研究的发现中可用的文章。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

部分支持的工作是由国家自然科学基金委资助11101350,11671177,11771186;江苏清局域网项目(2014);和江苏省六大人才高峰计划(2016 -司法院- 08)。