左、右移分数阶勒让德函数及其在分数阶微分方程中的应用

摘要

提出了两个新的正交函数，即左移和右移分数阶勒让德多项式(SFLPs)。从经典的勒让德多项式出发，直接推广了几个有用的sflp公式。推导了sflp的Caputo意义下的左右分数阶微分表达式。作为一种应用，SFLP方法是求解带初值问题的分数阶微分方程的有效方法。

1.介绍

勒让德多项式是由阿德里安-玛丽勒让德于1782年发现的完备正交函数族。勒让德谱方法作为一种非常重要的应用，成功地得到了各种微分方程的数值解。通过谷歌Scholar搜索，从1980年到2019年，有近54000篇文章使用Legendre谱方法研究各种问题，如积分微分方程的数值求解([1- - - - - -6])和分数阶常微分方程([7- - - - - -9)和整数顺序([10])。最近，Legendre谱法被证明是求解分数阶微分方程的一种有效方法，许多学者对此进行了研究([7，8，11- - - - - -13])。最近，许多作者([14- - - - - -19)应用Müntz正交多项式求解分数阶微分方程(FDEs)。受这篇文献的启发，我们通过引入变量的变化来定义左sflp ．特别是,当 ， ，和 ，左SFLPs退化经典Legendre多项式;而 ， ，和 ，将左sflp转化为分数阶Legendre多项式7］．同样，通过引入变量的变化，也可以得到正确的sflp ．此外，对于某些FDEs的求解，SFLP方法优于基于其他正交多项式的方法。

2.移位分数阶勒让德多项式

在本节中，我们将介绍移位分数阶Legendre多项式的一些定义、符号和有用的公式。经典Legendre多项式的性质，请参阅文献[7，11］．现在，我们从卡普托分数阶导数的定义开始。

定义1。(见[20.])。为 ， ， ，左边和右边的Caputo分数阶导数定义为

然后,对于 和持续 ，我们有以下属性:

接下来，让我们回顾一下经典勒让德多项式的定义。经典的勒让德多项式，用 ，在区间上正交 具有正交性 在哪里是克罗内克函数。现在，为了在有限区间上应用勒让德多项式 ，我们通过引入变量的变化来定义左右sflp 和 ，分别。然后，这两个函数，表示为和 ， ，，是具有权函数的正交多项式 和 ，分别是

让 ， ，我们绘制左、右sflp的前六项 在图1，图中2 (b)，左边sflp的第六项显示了不同阶数的值 ．经典的Legendre多项式见图2(一个)．下面是关于区间内左右sflp的一些有用公式 ，由经典勒让德多项式直接推广而来。(1）左sflp的解析形式 以及正确的SFLPs （2）左SFLPs的三项递归关系 与 和 ，以及正确的SFLPs 与 和 （3）左SFLPs的导数递归关系 以及正确的SFLPs （4）左右sflp的边界值 （5）左、右勒让德分数阶微分方程

在下列引理中，我们导出了卡普托意义下左右sflp的分数阶微分表达式。

引理2。让 和 然后,我们有 在哪里和由(7)．

证明。由(2),我们有 ．然后,对于 ，公式(7), (2)和(3.)导致 从引理2，得到它是基本的 与由(17)．下面关于右侧sflp的分数阶微分表达式的引理同样可以得到。

引理3。让 和 然后,我们有 在哪里和由(8)．

3.应用程序

在本节中，我们将给出两个示例来说明我们的方法是有效的。首先，我们采用左SFLP方法求解如下形式的分数阶微分方程:

假设 ．则(21)是 ．现在，我们用左SFLP方法来得到它。让 与 和 ．从引理2,我们有 的矩阵 ，在哪里由(17)．假设 与 ，在哪里

集 ．然后

由(22), (23)和(24),我们有 与高阶矩阵 哪个，根据什么 ，收益率

使用(22)，则得到(21)．显然，我们不能用经典的勒让德方法得到这个精确解。

接下来，我们运用正确的SFLP方法，求解如下形式的分数阶微分方程: 在哪里 和 ．则(30.)是 ．现在，我们用正确的SFLP方法来得到它。让 与 和 ．从引理3.,我们有 的矩阵 ，在哪里是由引理给出的3.．类似于矩阵的计算在上面，我们得到了分数阶导数矩阵 ，这是

假设 与 ，在哪里

集 ．然后

由(31), (32), (33)和(34),我们有 用四阶矩阵 哪一个，符合边值条件 收益率

最后,使用(31)，则得到(30.)．

4.结论

本文通过替换经典勒让德多项式的变量，提出了左移和右移的分数阶勒让德多项式。相应地，导出了这些新多项式在Caputo意义下的左右分数阶导数的微分表达式，并在此基础上利用tau方法求解任意有限区间上的FDEs ．此外，本文的结果易于推广到其他正交函数的情况，如切比雪夫多项式，这将在后面进行研究。

数据可用性

用于支持本研究发现的数据可由通讯作者要求提供。

的利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

本工作部分由中国国家科学基金会资助，合同号为。11771265，广东省教育厅自然科学基金资助项目，项目编号:2017KQNCX130、2018KQNCX156;2019 gy02)。