块解决方案的非线性PDE结合新的四阶项

文摘

一个非线性PDE结合新的四阶项进行了研究。增加三个新的四阶导数项和二阶导数项,我们制定一个四阶非线性偏微分方程相结合,拥有一副大臣的双线性形式。把解决方案的类构造明确通过副大臣的双线性方法。他们通过情节的动力学行为进行了分析。

1。介绍

在微分方程理论中,一个基本问题的微分方程的柯西问题确定解决方案满足所谓的初始数据。经典的方法,比如拉普拉斯法和傅里叶变换法,开发了求解线性常微分方程柯西问题和线性偏微分方程。在现代孤子理论,isomonodromic变换方法,创建了逆散射变换方法处理非线性普通和偏微分方程的柯西问题,分别为(1,2]。其中一个最令人兴奋的和非常活跃的研究领域调查产生精确解的研究和建设的相关问题解决方案广泛的一类非线性方程。

精确解偏微分方程描述的重要的数学和物理现象。孤波解是精确解由指数本地化功能,局部在各个方向在时间和空间。一块解决方案也是一种偏微分方程的精确解,获得孤子理论通过长波极限(1]。然而,一块解决方案是本地化四面八方只是在空间。此外,众所周知,肿块解和孤子解之间的互动解决方案允许描述非线性现象(3]。然而,涉及的交互属性也很少讨论,因为数学计算要复杂得多。

通常,通过变量变换,一个偏微分方程可以映射到副大臣的双线性形式。 在哪里是一个多项式, 是副大臣双线性衍生品(4),定义为

当解决(2),它提出了 - - - - - -孤波解( )- - -维度下的相应的PDE转换 : 在哪里表示所有的可能性 在0,1, 与 令人满意的色散关系,被任意变化。

众所周知,KPI方程具有块解决方案(5]: ,在哪里

的条件 保证了rational本地化在各个方向( )- - -飞机。

在过去的几十年里,许多研究人员已经研究了孤子解,把解决方案,和其他类型的解决方案可积方程,如Ishimori-I方程(6),Davey-Stewarton方程二世(1],BKP方程[7,8),三维三波共振相互作用[9),KP方程自洽源(10],等等11- - - - - -14]。一些nonintegrable方程也有肿块的解决方案,如广义KP、Sawada-Kotera方程(15- - - - - -17]。此外,各种研究表明互动解的存在性肿块和其他形式的精确解之间的非线性可积方程(2,18- - - - - -23]。

本文是关于非线性PDE结合新的四阶项 。增加三个新的四阶导数项和二阶导数项,我们制定一个四阶非线性偏微分方程相结合,拥有一副大臣的双线性形式。基于双线性变换,解决方案是通过符号计算和枫混在一起。这个新学期是关于时间的二阶导数,真正使计算更加困难。也反映出解决方案的结构更加复杂,我们更加注重处理和分析解决方案的色散关系。我们还展示三维图和等高线图的这些解决方案和研究他们的动态行为。最后一节中给出了一些结论。

2。双线性形式

我们愿意考虑一般结合四阶非线性方程如下: 在哪里是一个函数满足 ,常数 都不为零,常量 都是任意的。我们替换以下对数转换成(6): 然后下面的大臣的双线性方程形式:

因此,如果解决了双线性方程(8),然后 , 将解决方程(6),我们有关系 。

当 , , ,和其他 是零,我们获得一个Hirota-Satsuma方程的可积扩展(4]: 对数变换下具有双线性形式 如下: 也就是所谓的双线性恒生指数方程。

当 ,和其他 是零,我们获得一个广义Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff方程(16]: 对数变换下具有双线性形式 如下: 有肿块的解决方案(16]。

3所示。把解决方案

寻找积极的二次双线性方程的解决方案(8方程()生成一个类肿块的解决方案6): 在哪里 是任意的实数待定。我们插入(13)(8),然后解决由此产生的枫叶象征计算代数系统。

我们首先考虑的情况 结合非线性方程(6)。我们得到以下参数: 和所有其他是任意的。上述涉及三个常量 ,定义如下:

因此,条件保障的非奇异性肿块的解决方案 ,他们应该满足以下约束条件:

现在,的转换(7)生成一个大的肿块(解决方案6),由 , : 我们用一个特殊的选择参数: , , , , , ,这下(13),(14)和(15)将把解决方案(6)。

我们把这个解决方案的图形数据1和2。

通过计算,我们发现肿块达到峰值时的解决方案 。随着时间的推移,海浪前进达到相同的振幅在其他点。结果提供新的见解大振幅波的生成,因此是有用的应用程序或预防大型振幅波在传播过程中许多重要的非线性物理的情况。接下来,我们将考虑这些结果的应用物理理论和实验及其与初始边值问题也被认为是。

我们第二考虑的情况 结合非线性方程(6)。我们得到以下参数: 和所有其他是任意的。上述涉及三个常量 定义如下:

因此,条件保障的非奇异性肿块的解决方案如下: 他们应该满足以下约束条件: 。

我们用一个特殊的选择参数: , , , , ,和 根据该由(13),(19)和(20.)将把解决方案(6),由 , 。

我们把这个解决方案的图形数据3和4。

我们提出了把解决方案结合四阶非线性偏微分方程通过副大臣双线性公式。解决方案描述了特殊值的参数和三个不同的值 。图3显示肿块波。通过计算,我们发现肿块有一个峰值时的解决方案 。随着时间的推移,海浪前进达到相同的振幅在其他点。

4所示。结论和讲话

在本文中,我们考虑一个四阶非线性偏微分方程相结合。我们把解决方案副大臣的双线性方法的一个类。是很重要的话,这三个非线性项可以合并在一起为考虑非线性模型。值得指出的是,这个术语使计算更加困难。也反映出解决方案的结构比较复杂。没有人认为在前。上述结果为我们提供丰富的新精确解,这丰富了现有理论的解决方案(24- - - - - -29日)方程,并添加有价值的洞察孤子解和dromion-type解决方案,通过各种强大的解决方案技术开发包括副大臣摄动方法,Riemann-Hilbert方法,朗斯基矩阵技术,减少对称,对称约束。也是有趣的肿块和交互研究解决其他广义双线性微分方程30.- - - - - -34]。块的研究建立一个基础理论和互动解决方案pde值得我们进一步努力。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

支持的工作是由中国国家自然科学基金(批准号11672074),美国国家科学基金会在批准号dms - 1664561,并由中央大学的基础研究基金(批准号2016 ms63)。

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