特殊正交矩阵的Solovay-Kitaev近似

摘要

量子计算的circuit-gate框架依赖于事实,任意量子门的形式统一的单位矩阵的行列式可以接近所需的精度相当短的序列基本盖茨的确切界限提供Solovay-Kitaev定理。在本工作中，我们证明了该定理的一个版本也适用于具有单位行列式的正交矩阵，说明了利用正交矩阵进行高效计算的可能性。我们进一步开发了一个版本的Solovay-Kitaev算法，并讨论了计算经验。

1.介绍

在经典计算的上下文中的计算机程序是有序的指令列表，就基本操作而言表示，易于转换为经典计算机的机器语言。可以类似地描述量子计算中的量子程序。根据量子计算的电路栅极框架，量子算法由作用在量子状态（QUBITS）上的量子栅极组成，其中在适当的情况下应用测量装置以折叠波形。基于Quantum Mechanics的Heisenberg出生的解释，该电路栅栏框架已经取得了重大进展，其迄今为止，作为量子计算的先驱模型。此外，证明是多项式等同于其他量子计算框架。因此，可以将量子程序视为若干酉矩阵的应用，以及某些情况下的测量。

为了实现幺正运算，基本量子门等泡利盖茨，阿达玛门， 和阶段门在电路门框中可用，与经典计算中的基本栅极类别。询问需要在量子电路中实现多个基本栅极时需要多少基本栅极。这方面的显着贡献由Solovay独立制定[1]和kitaev [2回答了这个问题，导致了今天被称为Solovay-Kitaev定理．这个定理指出，可以近似任何 单一与单位决定因子的产品 物理可实现的 单一性(出现为基本的盖茨)达到任意的精确度［3.，4］．召回其他量子计算框架，如量子行走，量子图灵机， 和绝热计算被证明是多项式等价于电路门框架[5- - - - - -7， Solovay-Kitaev定理被广泛认为是量子计算机至高无上的理论证明。此外，实现任意一元所需的基本门的数量提供了量子计算机的能力和局限性的指标。

这揭示了非常规计算模型的一个有趣方面。也就是说，任何具有类似速度和限制的计算模型在计算上将等同于量子计算。如果物理上可以实现，这种模型将具有与量子计算相同的优点和局限性。虽然在过去很少有人关注这一主题，但一些有趣的作品已经研究了拥有这种模型的可能性。2007年，Aerts和Czachor做了一项开创性的工作，提出几何代数代替酉矩阵[8］．作者命名了这个模型卡通计算并证明了其对量子计算的等价，展示了Deutsch-jozsa算法的模拟。后来的工作调查了卡通计算中的实体，其等于Quantum Computing中的基本栅极[9］．2008年，费尔南德斯和施尼伯格提出四元的计算，其中采用四元数而不是单一矩阵的可能性是已证明的[10］．为了证明量子计算的等价性，作者在量子图灵机框架中使用了Bernstein-Vazirani定理。在[11]，格雷顿就标准量子信息理论探讨了四元数量子过程。因此，这是一个有趣的问题，问什么其他代数结构将显示类似的行为，如果采用作为一个计算模型。

另一方面，在三能级量子系统方面取得的进展是值得注意的[12- - - - - -14］．而不是州的额度和在标准电路栅栏框架中，qutrits有三个基本状态 ， ，和在这些系统中使用。类似于单量子位量子门的形式 特殊(单位行列式)酉群中的矩阵 ，单四分频门是 群体中的特殊单位或元素［15- - - - - -17］．虽然实现了盖茨是几个以前作品的兴趣主题[18- - - - - -20.]，三能级量子系统的计算能力或理论边界没有得到应有的重视。没有研究三能级系统的Solovay-Kitaev型近似。然而，最近的一项工作强调了该小组的重要性的对于基于量子态的量子计算，表明量子态的任何状态都可以通过一个单参数态族的作用而得到［21］．在这方面，我们不应该忽视群体之间的显著关系和 ．这激励我们检查Solovay-Kitaev定理是否可扩展到并且在配备正交算子的三能级量子系统中有可能实现量子加速。此外，一旦这个问题得到解决，人们就可以确切地知道是否 正交矩阵还提供了一种适合高效计算的代数结构，如几何代数或四元数。

本文证明了这一问题得到了肯定的回答。也就是说，正交矩阵在三能级量子系统中发挥作用，相当于幺正矩阵在标准量子电路框架中发挥作用。更确切地说，我们证明了Solovay-Kitaev定理的一个版本适用于 具有单位行列式的正交矩阵。因此，我们指出理论上替代的可能性 量子计算中的一元 正交和qutrits的量子位。利用特殊酉群的康威尔二对一同态映射对特殊正交群［22]，我们证明了近似的可能性 与单位行列式正交的由乘积 初级 单位决定簇的正交对任意准确性 ．我们进一步讨论了如何查找适当的基本正交板的序列，提供索诺维亚 - Kitaev算法的版本 ．

本文的其余部分组织如下。节2，我们的Solovay-Kitaev定理是证明。根据该定理和标准的Solovay-Kitaev算法，给出了一种单位行列式正交矩阵的近似格式3.．第一部分讨论了计算经验4，我们讨论了我们工作的含义5并对未来可能的工作做了一些评论。

2.索洛瓦伊 - 犹太话定理

2．1．Solovay-Kitaev定理

召回电路-门框架的计算能力由Solovay-Kitaev定理保证;它的主要焦点是近似a 基本量子门的单一基质。一组可能的基本栅极被称为指令集在这个定理中。考虑单量子位单门，指令集是一个有限的子集这样包含它自己的逆和是密集的 ．例如，门的设置 为…制作指令集 ，在哪里和分别为电路门框架中的阿达玛门和相位门。可以构成的所有字符串的集合不使用超过元素用来表示 ．现在，Solovay-Kitaev定理 -QUBit系统可以如下所述。

定理1 (Solovay-Kitaev)。让是一个设置的指令 ．然后,对任何 ， 提供A.净的在哪里 ．

该定理的证明是高度建设性的，并且在指令集中寻找与给定元素近似的元素的算法步骤可以从它的证明中找到。完整的证明版本载于[4］．该定理的算法版本及其查找这些元素的过程可以在[23］．现在我们来探讨这个定理的一个版本如何适用于 ．初级动机是这两组的距离关系，由同态的偏离到 ．

2．2．距离的关系

双到一个同型映射从到今天被称为康威尔的映射可以用几种方式表达[22，从中我们采纳以下在[24］．一个元素在是表示的 在哪里 和 它的形象是由

为了测量距离，如在标准Solovay-Kitaev定理的证明，我们也使用了跟踪标准诱导的度量来实现一致性。根据量子力学的矩阵配方，使用量子计算中的运算符范围惯例。但是，Solovay-Kitaev定理的标准证明使用跟踪规范，因为它有助于通过在某些时候纳入痕量规范的特殊属性来使证明更全面。由于我们的意图正在寻找类似版本 ，中矩阵的跟踪范数是比较合适的也

引理2说明映射如何保持距离到订单在关于痕量标准。

引理2。对于任意两个 ，如果 ，然后 ．

证明。由于迹范数的酉不变性，它足以证明 每当 ．我们使用任何元素在可以在等式中表示（1)和映射由式(2）.然后, 我们从中推导出

假设 ，不难看出等式的左侧（4）被束缚如下。

．因此， 和 ．同时, ．因此, ．相似地， ．以方程式代替这些（4）， ．因此, ．

2．3．指令集的

在单量子位一元门中，一种指令集是一个有限的子集这样包含它自己的逆和是密集的 ．对指令集采用相同的定义是可能的 ．有趣的是，指令的图像集合在同态下成为一个指令集 ．Lemmata3.和4证明这个说法。

引理3。让和是公制空间，让是的稠密子集 ．如果 是连续的和满射的吗是密集的 ．

证明。让 ．然后, 由于是连续的,已关闭。这意味着 ．另一方面，因为是密集的 ， ．因此， ，因此, ．

引理4。如果是否设置了指令 ，然后是否设置了指令 ．

证明。让是一个设置的指令 ．然后,必须包含它自己的逆，并且是有限的是一个同态。自是连续的,是密集的 ，由引理3. 是密集的 ．显然,自是一种同性恋，我们有 ．因此,是否设置了指令 ．

2．4．Solovay-Kitaev定理

根据我们上面推导的结果，现在可以建立一个版本的Solovay-Kitaev定理 ．

定理5。让是一个设置的指令 ．然后,指令集是用于这样的 ， 提供A.净的在哪里 ．

证明。从引理4，是一个指令集。让 ．然后，存在一些 这样 ．Solovay-Kitaev定理保证了 这样 这样 ．由引理2， ．自是同性恋， ．也就是说, ，在哪里 ．

3.近似

现在我们描述了如何近似任意单位确定性正交矩阵 ，在哪里是否设置了指令 ．回想一下，Solovay-Kitaev定理的证明是高度建设性的;它提供了寻找指令集中近似于给定一元到给定精度的元素序列的基本成分 ．正如定理所暗示的5，我们的算法版本也基于在原始定理证明中找到这些元素的步骤。

为了完成，我们首先描述用于查找近似值的算法 ．我们遵循道森和尼尔森给出的程序[23]在这方面。

3．1．Solovay-Kitaev算法

如[23]， Solovay-Kitaev算法可以用以下引理解释。

引理6 (23］．假设 和一元是这样的吗 ，也 ．然后,

算法在可以如下用伪代码表达。

该算法是一种函数，它需要两个输入：是任意元素吗我们希望近似 ，和控制近似精度的非负整数。这个函数从指令集中返回序列元素在哪个近似精确到 ，的一个严格递减函数 ．Solovay-Kitaev算法是递归，递归终止时 ．

在这一步中，我们找到近似到 ．为了找到这样的近似，我们必须保证我们已经构造了一个 -. Net:包含元素的集合使得对于任何酉矩阵我们都能找到近似。自是一个不变的是密集的 ，我们可以通过枚举和排序大量元素来构建一个栅极网对于足够大但固定的正整数并创建一个搜索算法来寻找闭合逼近。如果 ，然后我们找到了一个近似到 ：

如果是一个近似到 ，根据范数的酉不变性，

因此,找到一个近似到与 让我们找到一个改进的近似(即， ）来 ．要找到这样的近似，首先要分解 ，在哪里 是统一的 ，在哪里是正的常数:

这种分解称为余额组换向器。为了找到这样的分解，我们使用的是，任何任意单一都可以表示为Bloch球体中的旋转。如果是一个角度的旋转对一些轴在布洛赫球面上，考虑一下满意

然后,如果是一个旋转关于轴和是一个旋转关于轴，在布洛赫球体上 是共轭(例如, ）一些统一 ．自和是幺正矩阵，它们是可对角化的;而且，它们具有相同的特征值。因此,通过整个思想和 ，我们找到一个对角矩阵还有两个幺正矩阵和这样

现在,让 ，我们有 和 满意

同样，对于足够小的 ， 和满足 对于某个正常数 ．

现在,我们发现近似到两者和 ：

通过更换通过和通过在引理6的群换向器和事实证明是一个近似到对于某个正常数 ．现在,如果 ，然后 ．因此， 的改进近似 ．因此，价值是由这个常数决定的 ；也就是说，这个结构要保证 ，的价值必须严格小于 (例如, ）.该算法通过返回元素序列来结束近似的群换向器以及 ．

3．2.Solovay-Kitaev算法

根据所述的算法步骤，现在可以为的提供算法版本如下。

这个算法是一个有两个输入的函数: ：任意元素我们想要近似的结果 ：控制近似精度的非负整数。这个函数从指令集中返回一个元素序列 ，在哪里是否设置了指令 ，哪个近似精确到 ，在哪里是的递减函数 ，也就是说, 作为 ．

在这一步中，我们找到了 这样 ，在哪里同态映射是什么来 ，这样我们就可以得到一个Solovay-Kitaev近似在（Solovay-Kitaev函数在吗 )：

假设对于给定的深度SK函数近似于任何酉矩阵 对精度 ，我们发现一个近似来 ．接下来,我们发现 ：

由引理2，结果是 近似为 ，对于某个正常数 ．自一个序列的元素是从 ，有 这样 ．然后, ，因为是一个同态。因此，一个序列的元素是从哪个近似的准确性 ．对于给定的深度 ， 近似误差与Solovay-Kitaev近似有关吗 ．因此，我们可以保证 ，这意味着 ．最后，这个函数返回一个指令序列哪个近似精确到 ．

4.计算经验

在计算中遇到的一个挑战是由于映射不是一对一的，无法存在。然而，这是克服使用事实，为给定 这是可能找到的 这样 ，用了下面的结构。任何元素可以由实数表示 ，旋转角度和旋转轴 ，哪个是三维单位向量，用什么表示 ．相应的矩阵可以用什么来明确表示 在哪里

对于给定的旋转矩阵 ，定义

一个人可以验证 和 ．因此，对于一个元素 ，为了找到一个元素 这样 ，在这个构造下，我们需要找到一个单位向量 一个实数这样 ．

让 ，假设对应的转动矩阵是(例如, ）.如果有任何向量平行于 ，那么它必须满足 ，因为旋转绕轴心旋转必然导致 ．自 ，我们总能找到一个特征值等于1，它能直接推导出来吗是一个特征向量，它对应于特征值1.如此通过对角化 ，我们找到单位向量哪个是平行的 ．现在，从都有和是单位向量，我们必须拥有 或者 ．通过等式（18)，矩阵的轨迹减少到 ，这马上就会导致 现在，通过定义 这样 选择正确的符号以匹配旋转轴(例如, ），我们得到了 ．

据此，我们在求几种特殊酉矩阵的Solovay-Kitaev近似。按照上述算法步骤进行了计算实验，并遵循定理中的界5．我们用不同的指令集和指令集实现 在在哪里

给定的长度缩短了比其他人。这将是一个有趣的未来工作，以确定任何类或矩阵的子组，可以最接近每个指令集，也许与不同的指令集的比较。

5.讨论

与不同代数结构的非传统计算是少数以前的作品的兴趣主题，主要动机是量子计算。基于量子计算的电路门框架依赖于Solovay-Kitaev定理，我们调查了派生本定理版本的可能性在一个三能级量子系统上，表明了利用正交矩阵进行有效计算的潜力。

三能级量子系统和相关的算子已经成为人们感兴趣的话题。与标准电路-门框架类似，习惯上使用酉群中的元件作为这些系统中的运营商。尽管最近的实验成果，但有关三级量子系统的理论界，能力和其他相关问题很少探索。通过我们的Solovay-Kitaev定理版本，现在已知与正交子组有效计算的 ．与子组相比，这是一个明显的区别的 ．作为一个交换群，不可能对其进行Solovay-Kitaev型近似 ．因此，标准量子计算中的指令集强制包含(阶段门), ，或者 ，非正交的大门。然而，相位门的容错实现比正交门复杂得多[25］．因此，仅使用正交的量子加速在标准电路-门框架中是不可行的，尽管需要。与此相反，我们的结果表明，正交量子加速在三能级量子系统中理论上是可行的。

在上下文量子编译中考虑我们的Solovay-Kitaev定理版本是值得的[26，27，研究了非容错电路向容错电路的转换问题。最近的一篇论文介绍了几种利用物理机器描述进行量子编译的有效方法，其中包括一种基于Solovay-Kitaev近似的方法[28］．虽然三能级量子电路的编译和优化一直是其他一些工作的主题[19，20.，29，没有一个是基于Solovay-Kitaev定理的。研究具有正交的三层系统是否可能进行有效的编译将是一项有趣的未来任务。通过构建一种基于solovay - kitaev的编译方法，类似于[28，我们的算法在Section3．1会有帮助的。

我们的目的是研究特殊正交矩阵的近似幂。因此，我们把我们的学习限制在一种特定的教学形式 ；也就是说，指令的图像开始出现 ．仔细观察就会发现随意的指令集的行为类似，导致给定精度的长度相同。因此，它是定理的直接结果5这是Solovay-Kitaev定理和算法略有不同的版本可以建立。然而，Solovay-Kitaev定理对其他李群的适用性仍然是一个重要的和理论上有趣的话题，它没有被研究的文献。这将是一个潜在的未来任务，看看这个定理是否可推广到这些群体。

数据可用性

没有数据用于支持这项研究。

利益冲突

作者声明本论文的发表不存在任何利益冲突。

致谢

AM非常感谢王静波、Lyle Noakes、André Nies和Willem Fouché的深刻讨论。

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