文摘
在本文中,我们主要研究解决方法和属性的多项time-fractional扩散方程。首先,我们获得的随机表示这个方程,将次级过程。基于随机表示,我们计算了平均平方位移(MSD)和时间平均平方位移,然后证明了该模型的一些性质,包括广义爱因斯坦关系,nonergodicity subdiffusion。最后,随机模拟算法的可视化开发样本路径的反常扩散过程。蒙特卡罗方法也被用来显示这个分式方程的解决方案的行为。
1。介绍
最近,扩散方程,推广通常受到相当大的关注由于宽宏大量的物理应用,特别是,反常扩散。事实上,部分扩散方程和非线性部分扩散方程已成功应用于多个物理情况等多孔介质中气体渗流(1],薄多孔介质饱和地区[2),标准solid-on-solid模型表面增长(3),薄液体重力下电影传播(4),流体在多孔介质和传输的粘性指法(5),non-Markovian动态过程的建模在蛋白质折叠6),放松平衡系统(如聚合物链和膜)与长时间记忆(7),和无序的异常交通系统(8),扩散在分形9),和多孔介质中的multiphysical运输,如电渗(10,11]。此外,一些基础流程可以更准确和灵活建模多项火焰。例如,多项time-fractional扩散波方程是一个令人满意的数学模型对粘弹性阻尼(12]。在[13),两届部分扩散方程已成功用于区分不同的州在溶质运输。
运动的多项time-fractional对流方程线性积分微分的方程。他们获得相应的经典运动多项对流方程代替分数导数的一阶时间导数,它读取 在哪里 与 ;在这里,卡普托分数阶导数的订单吗关于定义如
越来越多的兴趣研究这些方程,由于它们的重要性在建模许多物理、生物、医学、化工、和许多其他领域。例如,在诊断超声频率、吸声在生物组织展览noninteger频率的幂律(14,15]。此外,在一个复杂的非均匀导电介质,实验证据表明,声波传播的幂律noninteger秩序。为进一步应用物理和真正的现象(16- - - - - -18),卡普托time-fractional运营商已广泛应用而不是第二次导数模型等数学问题来讨论研究系统内存的影响(19]。
许多分析和数值方法用来解决这个方程。Daftardar-Gejji和Bhalekar认为多项time-fractional扩散波方程采用分离变量的方法(20.]。Luchko [21]研究了多项的适定性问题time-fractional扩散方程基于近似最大原则。江等人研究了多项运动时空部分对流方程基础上的谱表示分数拉普拉斯算符(22]。无网格分析介绍了基于改进的移动最小二乘近似解决双边space-fractional二维波动方程(23]。利用级数展开的方法,你们et al。24]研究了多项时空部分偏微分方程在2 d和3 d域。光谱τ方法的一个有效的操作制定了多项时空分数微分方程狄利克雷边界条件,提出了在25]。刘等人提出了数值近似多项time-fractional扩散方程利用光谱方法(26)和多项time-fractional波方程的fdm (27),分别。在[28),作者使用有限差分规则得到的近似解time-fractional多项波方程。最近,介绍了随机表示方法来解决部分扩散方程。在[29日),Kolokoltsov建立随机过程之间的关系和time-fractional扩散方程与卡普托或Riemann-Liouville衍生品。这些广义卡普托衍生物进一步扩展到非单调的过程,产生双边甚至多维扩展。基于随机表示,有关分式方程的数学性质进行了讨论(30.- - - - - -32]。这些论文启发了本文的研究。
在本文中,我们介绍了随机表示方法来解决这个多项time-fractional扩散方程。本文组织如下。节2,我们得到一个次级过程的PDF方程是正确的解决方案,在父进程是一个经典的扩散过程和主从连词是征税的总和的反时限动作有不同的参数。利用这个结果,我们研究了属性的多项time-fractional扩散方程3。我们也采用蒙特卡罗方法模拟解这个方程在接下来的部分。部分5提出了我们的结论。
2。随机表示
在本节中,我们将随机的多项time-fractional扩散方程。
让与拉普拉斯变换增加税运动 ,然后我们得到下面的定理。
定理1。次级过程 运动的随机表示多项time-fractional对流方程(1),父进程和主从连词被定义为 分别。在这里,是独立于和 , 也相互独立的不同 。
证明。遵循同样的步骤所示(33),我们首先建立之间的关系PDF 的和PDF 的 。定义的(见方程(4)),我们有 (34),因此 的拉普拉斯变换 可以表示为 在这里, 获得的定义 。然后,利用全概率公式和之间的独立性和 ,我们可以得到PDF 的 ,给出的 在哪里 父进程的PDF吗 。所以上面的拉普拉斯变换方程收益率 因此,下面的关系 和 持有 因为这个过程是由伊藤随机微分方程(3),它的PDF 遵循古典advection-dispersion方程(35] 的拉普拉斯变换对上述方程收益率 通过改变变量来和使用的关系(9收益率),上述方程 因为她分数导数的拉普拉斯变换给出了 ,通过比较上述方程的拉普拉斯变换方程(3),我们得到 。所以次级过程 的被称为随机表示多项time-fractional扩散方程。
3所示。一些属性
随机的优越性分数微分方程是表示方法不仅有助于我们理解的物理过程通过提供一个描述动力系统由分数微分方程,还提供了一种方法得到的属性对应的方程。为简单起见,我们保留两项time-fractional操作符,例如, 。
推论2。次级过程由多项time-fractional扩散方程(1)是subdiffusive。
证明。利用之间的关系 和 ,我们可以得到以下评价平均平方位移公式 在哪里 的PDF及其拉普拉斯变换给出了方程(4)。通过拉普拉斯反变换,我们可以得到的 在这里, ,反时限的PDF - - - - - -利维稳定运动,可以表达形式的狐狸函数,也就是说, 为了计算平均平方位移,我们可以先计算它的拉普拉斯变换。通过使用的拉普拉斯变换 方程(4),和拉普拉斯反变换 在哪里 是米塔格-莱弗勒函数(36]。在这里,我们使用了平等 从方程(16),我们可以知道模型类似subdiffusion为 ,由于 ,就像一个模型subdiffusion为 。这个结果可以用另一种方式;看到这,请注意 在分布和增长速度比为 ,因此, - - - - - -稳定的主从连词占主导地位 和 - - - - - -稳定的主从连词占主导地位 。
推论3。的广义爱因斯坦关系持有多项time-fractional扩散方程(1)。
证明。的帮助下随机表示,我们可以计算的第一时刻方程(1)统一力场的存在 , 比较上述结果与方程(16)表明,广义爱因斯坦关系持有(广义的定义可以发现爱因斯坦关系(37]) 连接到单粒子跟踪实验中,我们现在转向时均质谱随机过程的定义 时间序列的长度(测量时间)因此评估的平方差异的粒子位置由所谓的滞后时间 ,它定义了窗口的宽度沿下滑时间序列 。通常情况下,被认为是在限制 获得良好的统计数据。很容易证明布朗运动, 只要足够长的测量。因此,我们所说的过程遍历:系综平均值和长期平均在长时间测量的极限是等价的。 表示弱遍历性断裂(38- - - - - -40]。
推论4。次级过程 由多项time-fractional扩散方程(1)是弱遍历性破坏。
证明。从方程(16),我们有 据时均质谱的定义,我们计算的 。 系综之间的差距和平均MSD的存在。即使在长时间测量的极限 , £¬,因此,差距仍然存在,结束我们的证据。
4所示。随机模拟
随机表示提供了两种方法的解决多项运动time-fractional对流方程(1)。一种方法是通过用得到解析解 和 在方程(7)。另一种方法是模拟随机表示,然后使用蒙特卡罗模拟解决方案。蒙特卡洛方法是首先提出分数阶方程的模拟解决方案(41]。在这里,我们主要介绍如何模拟随机的样本路径表示,模拟解决多项time-fractional扩散方程。
次级过程的仿真算法分为两个步骤。地平线, 。
步骤1。这个步骤的目的是模拟主从连词(见方程(4))。自是严格增加 - - - - - -利维稳定独立增量运动,那么这个过程在网 ( )可以模拟如下: 在哪里i.i.d.严格增加吗 - - - - - -利维稳定噪声(42,43),由 在这里,均匀分布在 ,和是指数分布的意思是1。然后,我们可以得到的仿真过程 。从的定义(4),我们知道主从连词是第一个通过时间的 。因此,对于每一个元素 ,我们只需要找到元素这样 ,然后 。自是一个纯跳的过程。每跳 ,有一个相应的平它的逆矩阵 这些重尾分布平坦的时期的代表长时间等待的subdiffusive粒子被固定化的陷阱。的样本路径可以发现在图吗1,图中相应的等待时间2。从这些数据,我们发现主从连词停止在同一时间,导致等待时间变动。
步骤2。这个步骤的目的是模拟过程 。由于父进程是由布朗运动驱动,然后采用欧拉计划来模拟这个过程 ,给出的 在哪里是i.i.d.标准正态噪声, 。的样本路径可以发现在图吗3。然后,蒙特卡罗方法可以用来估计方程的解决方案(1)(见图4)。从图中,我们发现方程的解决方案(1)顶点和沉重的尾巴,与正态分布相比,称为高斯分布。的图 是绘制更清楚地显示这些结果(见图4)。这里,我们的话,所有的数值结果通过软件Matlab。
5。结论
摘要运动一个对流方程多项time-fractional衍生品工作。我们获得随机表示,这是由布朗运动驱动的反时限的总和利维运动与不同的参数。然后,subdiffusive平均平方位移表示模型和广义爱因斯坦关系也保留,但弱遍历性破坏。最后,构造一个算法来模拟随机过程的样本路径。借助随机表示,采用蒙特卡罗方法近似的解相应的方程。我们发现解决方案是沉重的跟踪和尖锐的峰值,这在统计物理和金融中很常见。我们期望获得的结果可能是有用的讨论反常扩散系统。
数据可用性
使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。
的利益冲突
作者声明,不存在利益冲突的关于这个手稿。
确认
我们感谢教授Zhongdi岑有用的评论和建议。这项工作是由中国国家自然科学基金11801288号2017号宁波a610130的自然科学基础,和浙江省自然科学基金。LY17A010020。