磁场的分数Hardy-Sobolev不等式

抽象的

在本文中研究了具有磁场的分数Hardy-Sobolev不等式。在适当的条件下，建立了实现分数磁性硬质-SoboLev不等式的最佳常数。

1.介绍

在过去几十年中，研究人员越来越多地关注Sobolev的不平等和Hardy-Sobolev的研究，包括分数和磁性情况，参见例如。[1- - - - - -9］．

众所周知，锐常数的嵌入(见[10]）， 在哪里是Sobolev临界指数吗 ．也就是说,

通过所谓的aubin-talenti instanton实现（参见[11，12]）定义为

在哪里 ．而且，是一个积极的解决方案在 ，

和包含所有正面解决方案在 ．

求Hardy-Sobolev不等式的最佳常数

在哪里和是Hardy-Sobolev临界指数，由[13),通过表格的功能实现

在哪里 ．功能是一个积极的解决方案在 ，此外,

对于分数的Sobolev不等式，请考虑希尔伯特空间定义为Gagliardo Seminorm

在哪里 ， 分数索博列夫临界指数和范数是多少

是由标量积推导出来的

在这里空间常数是由

为分数SOBOLEV不等式定义最佳常量

从[14- - - - - -16，我们看到了是通过 ，那是， ．正常化通过 ，我们得到那个满足

和是一个积极的地面状态解决方案在(参见[17])。表示

在哪里是一个积极的地面状态解决方案在和

然后，[lemma 2.12在[17]产生解决了在 ．分数耐寒 - Sobolev不等式

在[18，19]， 在哪里是分数Hardy-Sobolev批判性指数。Marano和Mosconi [18)证明通过优化器实现 ，谁的渐近行为是

对于磁Hardy-Sobolev不等式，我们认为函数的范围为 ，那是， ， 为磁矢势。环境 ，和

然后和 是希尔伯特空间作为封闭件 关于Scaler产品

其中横线表示复合共轭。定义

在哪里是Hardy-Sobolev临界指数。然后，根据[中的定理1.120.，我们看到了，如果 ，然后由某些人获得 如果并且只有 ，卷曲的地方是通常的卷曲运营商和具有条目的偏差对称矩阵为 ．

在我们的论文中，我们考虑了一个带有磁场的分数耐寒 - Sobolev不等式。要展示我们的问题，我们首先介绍了分数磁性SoboLev空间 ，这是完成 关于所谓的分数磁性Gagliardo Seminorm给出的

在哪里由(10)， ，和 为磁矢势。这里的标量积 是

虽然是半胚，通过分数磁性Sobolev嵌入(见[21)，我们可以看到作为准则在空间 ．如主题2.1和2.2在[21，我们可以验证一下 是希尔伯特空间。 表示 -关于测度的可积函数 ，具有规范

本文的目的是调查以下分数磁性硬质 - SoboLev不等式

在哪里和是分数Hardy-Sobolev批判性指数。问题 （23）涉及由...定义的分数磁拉披肩

为和中点处方，在[21］．特别是d 'Avenia和Squassina [21操作员想

显然,(24)可视为上述涉及中点处方的算子的延伸。分数拉普拉斯磁学 也可以定义为二元性

表示

然后(23)的特征如下:

我们的主要结果是：

定理1。如果是一种与局部有界渐变的连续功能，然后是由非零元素实现的吗 ．

2.主要结果的证明

证明定理1，我们需要以下lemma，它是在[22］．

引理1(抗磁不等式)。对于任何一个 ，我们有 和 这意味着 ．

由分数哈迪-Sobolev不等式（15)和引理1，我们有以下雷姆玛。

引理2(分数磁性Sobolev嵌入)。的嵌入 是连续的。

定理的证明1．因为最好的常量分数哈迪-Sobolev不等式（15)是可以实现的，我们只需要证明这一点 事实上，对于任何 ，存在 这样 类似于引理4.6 in [21),为任何 ，考虑缩放 替换和 ，我们得出, 以及以下缩放的不变性： 注意到为 ，我们有 在哪里是紧密的支撑 ．很明显, a.e.在作为 ．自从是局部有限的，因为 ，我们有 然后,存在这样的 ， 定义 然后， 为 ．自从
在哪里可能每条线都不一样，明白吗 ．通过勒贝格支配收敛定理，我们可以看到 ．然后，它遵循（33), 这意味着 ．相反的不等式也因为引理而成立1．因此， （32)，这就完成了定理的证明1．

数据可用性

用于支持本研究结果的[不平等]数据已存放在[参考文献中21和22)存储库。

利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

国家自然科学基金(11701248);国家自然科学基金(20180540028);国家自然科学基金(BS2018L004)资助