改善虚拟域方法使用的精度指标函数从卷的十字路口

文摘

虚拟域方法(FDM)是一种普遍接受的直接数值模拟技术对移动边界问题。指标函数用来区分固体区和流体区域关于FDM整个预测精度的一个重要组成部分。在这个工作中,一个新的指标函数通过体积路口对FDM发达。在这种方法中,任意多面体细胞在流体和固体之间的接口都位于和细分为四面体。每个单元中的固体体积的分数是准确计算来实现高精度的集成计算粒子领域,提高整个方法的准确性。交在固体域表明,新开发的指标函数可以为变量提供结果与高精度集成在静止和移动边界问题。几个数值测试,包括圆柱绕流中的单个球体的剪切流,解决一个圆形粒子在一个封闭的容器和管道振动圆柱,已执行。结果显示良好的准确性和可行性在处理固定边界问题以及移动边界问题。该方法是准确的和保守的,这可以是一个可行的研究移动边界问题的工具。

1。介绍

移动边界问题广泛出现在自然(自由落叶)和工程(颗粒流,旋转叶片的旋转机械)。在此类问题,边界运动扰乱周围流体的流动,导致复杂的流动行为,影响移动物体的动态,进一步改变它的轨迹。有一个复杂的非线性耦合流动行为及其轨迹之间的关系。必须跟踪边界运动流的影响和预测移动边界系统的复杂行为反馈准确的流场的移动对象。

随着计算机的发展,计算流体动力学(CFD)已成为一个重要的方法来研究移动边界问题。目前,移动边界问题的数值模拟方法可分为点源方法(1- - - - - -3)和直接数值模拟方法(4- - - - - -15]。在点源方法中,流固相互作用是评估通过点源模型(阻力模型,提高模型等)和固体(或粒子)远小于筛孔尺寸。这种情况已经超出了这个工作的范围。直接数值模拟技术包括任意Lagrange-Euler (ALE) [4- - - - - -6)和固定网格法(7- - - - - -15]。啤酒,body-fitted网通常是应用,流体的力和力矩作用于固体集成通过边界上的力;然后,实是通过跟踪中移动和旋转动态过程和固体的运动学方程;最后,流体网格调整计算流在接下来的时刻。这种方法可以跟踪流体精确的流动。在这种方法中,流体网格需要移动时,固体运动。如果固体域变化很大(例如,旋转机械的问题),网格将极大地变形,导致网格质量的降低没有网状拓扑结构的变化,影响预测的准确性。如果网格拓扑结构改变,需要更复杂的网格重建。这种方法只适用于如果固体域几乎没有变化。对于固定网格方法,不改变流体网格在解决过程中,固体和流体的行为改变了域或固体boundary-covered网格来表示固体在流的影响。 The immersed boundary method [7,8)和虚拟域的方法(9- - - - - -15属于这种方法。这些方法避免复杂的网格操作,因此它已成为一个重要的方法处理移动边界问题近年来(16]。

虚拟域方法是一个重要的方法来解决移动边界问题。该方法将解决方案域划分为流体域和固体域。在固体覆盖域,一个伪体力施加使流体行为成为固体的行为一致。这种方法被首次提出Glowinski et al。9]。他们介绍了身体力量作为动量方程和拉格朗日乘子通过迭代解决它。因为鞍点问题,计算负载增加。为了克服这个缺点,沙玛和Patankar11)提出了一个non-Lagrangian乘数/虚拟域的方法,简化了计算的显式计算的身体力量,从而大大减少计算负荷。然而,这种方法定义主体力量在拉格朗日点固体域,而粒子在欧拉背景网格。因此,身体的计划力欧拉网格之间的映射和拉格朗日点决定了数值精度。田野的nonsmoothness映射所获得的数值不稳定。为了克服这个问题,吓唬et al。14)提出了一种虚拟域完全欧拉方法框架。身体力量是定义在网格单元的中心,而不是拉格朗日点。欧拉网格上的所有解决方案执行过程,以及欧拉框架之间的信息交换和拉格朗日坐标系是可以避免的。然而,上述过程是通过定义一个粒子指标函数,也就是0以外的粒子和顺利通过内部的粒子和1从0到1在一个网格粒子边界附近。平稳过渡过程由亥维赛指定的函数,而不是粒子的体积比域任意多面体网格细胞,所以这个粒子的积分计算指标函数并不拥有保护的功能。

基于完全欧拉虚拟域的方法吓唬et al .,一个虚构的基于粒子指标函数域方法使用交叉卷了。这个方法是欧拉任意多面体网格细胞流体和颗粒之间的界面,首先。网状细胞分为串行的四面体单元分解技术,因此,粒子之间的交集体积和网状细胞可以准确评估。采用交互体积为指标函数可以保证粒子的准确性和守恒积分域,从而提高整体数值精度。

2。虚拟域的方法

在这篇文章中,吓唬et al。虚拟域的方法14)是使用作为一个例子来测试volume-intersection指标函数为基础。为了使该方法适应任意多面体网格,并置有限体积方法从事这项工作,而不是原创作品中采用的有限差分方法。

2.1。控制方程

计算域包含流体域和粒子域 ,也就是说,= 。粒子域包含刚性粒子的密度 ,和颗粒与流体之间的接口 。流体是不可压缩粘性牛顿流体的密度 ,动态粘滞系数 ,运动粘滞系数 。虚拟域模型的控制方程表示如下 在哪里和分别是流体的速度和压力;是一种伪的身体力量,这是粒子的非零域和零在其他地方,因此navier - stokes方程也有效粒子域; , , ,和质量、转动惯量、平移速度和旋转角速度的单个粒子,分别;是粒子的质量中心的位置向量;重力加速度;和力和时刻作用在粒子上除了流动的力量。

在上面的控制方程中,(1)和(2)动量方程和连续性方程满足在整个解决方案域,分别。身体的力量, ,执行在固体域使动量方程有效的在整个解决方案域。方程(3)执行刚体约束在粒子域。方程(4)和(5粒子动力学方程。

2.2。数值计算过程

两个子问题可分为基于上述方程描述,即流体的子问题(1)和(2)和粒子的子问题(3)- (5)。

2.2.1。铃子问题

方程(1)是流体动力学方程描述,吓唬et al。14利用有限差分法离散化。本文采用有限体积法。的semidiscrete形式(1)可以表示为 在哪里是离散化得到的系数矩阵的对角价值(1),表示为 在哪里的隐式的贡献系数是邻居细胞当前单元的离散化过程中(1),显式离散化的贡献除了压力。自是未知的,这里使用显式离散化。

双方(6)除以屈服 (得到的速度场8)应满足连续性方程。用(8)(2)的收益率 方程(9)是一个压力方程导出了庇索算法(19]。一个新的压力可以通过解方程。方程(8)是用于更新速度。本文集中的有限体积法离散化。而在网状细胞中心更新速度,有必要更新流量在单元使用 在哪里是值的插值身体的中心, ,表面上中心,是细胞的面积向量的脸,吗是细胞的体积流率的脸。

2.2.2。粒子子问题

粒子的子问题,先解决以下方程 获得平动速度, ,和旋转角速度, ,在新的时间步。然后,使用下面的方程 更新粒子的流体速度覆盖域和使用这个速度更新伪身体力量, 。 最后,使用二阶Adams-Bashforth差分格式离散化位移方程和更新粒子的位置。 nonspherical粒子,需要旋转角速度的粒子。

2.2.3。计算粒子的积分域

方程(11)和(12)包含物理量在粒子的积分域。DNS(直接数值模拟方法,背景网格细胞的面孔不配合粒子表面在解决过程中,所以有必要用一个近似方法来处理界面区域。吓唬et al。14)使用传统的近似亥维赛函数来计算积分项。任何物理量的积分, ,在粒子覆盖域是近似的 在哪里是指标函数,它由以下表达式表达吗 在哪里是水平集函数表示为吗 在哪里和质量中心和半径的粒子,分别;是一个负值在粒子和粒子外的积极价值。近似亥维赛函数可以表示为 ∆是网格间距和常数在哪里= 5保证光滑的宽度在一个网格。最终,粒子指标函数粒子内是1和0之外的粒子和顺利通过从1到0接口的两个阶段。

近似亥维赛函数保证平稳过渡周围网格内的界面和增强了算法的稳定性。然而,它不能保证保护。如果被积函数是一个常数,1,粒子的体积应该通过整合(16)。然而,使用近似亥维赛函数会导致很大的差异计算体积和实际体积之间的粒子,即。,体积不守恒。在粒子子问题,(11)- (12)涉及集成粒子速度和伪体力的域。与近似亥维赛的集成功能牺牲数值精度。

3所示。相交的基于卷的粒子指标函数

3.1。定位细胞在固体边界附近

基于水平集函数(18),网状细胞>设置为0先= 0,将其余部分= 1。固体边界附近的细胞位于使用水平集函数和 。下标的和分别代表了当前单元格和邻居细胞。如果< 0,两个细胞位于两边的界面,分别。因此,它们标记为固体界面附近的细胞。检查所有的细胞定位附近的网状细胞接口。这是见图1,圆形实线的实际边界环绕粒子,和阴影细胞明显的粒子界面。

3.2。细分网格细胞在固体边界附近

为了计算交点卷网状细胞和颗粒之间的准确,界面附近的细胞被分解成四面体与不同的水平。任意多面体细胞为例。这个过程如下。

首先,任意多面体分解为若干个四面体。

图2(一个)是一个多面体细胞集中在哪里 。苏的方法等。20.应用于分解多面体。在这种方法中,我们把每个多面体的顶点和中心12个五边形的金字塔。一个金字塔, ,另外,如图2 (b),和面对中心和区域向量五角大楼 ,分别。三个四面体, , ,和 ,可以通过连接 , ,和 。重复上述操作的金字塔,多面体可以分解成36个四面体如图2 (c)。

其次,一个四面体可以分解成八个小四面体进一步提高精度。

在图所示的四面体3(一个)可以细分为八个subtetrahedrons。四个小四面体和八面体可以通过连接任意两个四面体的六边的中点沿着四个表面如图3 (b)。中央八面体在图3 (c)可以细分为四个四面体通过连接两个不相邻顶点,最后四面体如图3 (d)。最后,八个小四面体。根据这一战略,获得的四面体可以进一步分解为几个较小的四面体。分解一个多面体的过程分成几个四面体叫做级别0分。如果需要进一步分解四面体可以分解。每个后续的分解过程称为一个更高层次的细分。四面体分解后的数量数量在分解前的8倍。

3.3。计算粒子指标函数固体边界附近的细胞

细分后,固体边界附近的网状细胞分为几个四面体,这三个州,在粒子,粒子内部,和在固体界面。最后一个,一个算法类似于Rabbitz的算法(17)是用来确定接口和四面体边缘之间的交集点。Rabbitz决定了平面交叉口的交集点。在这篇文章中,水平集函数获得的(18)是用来确定交集点。水平集值的任意两个顶点,和 ,一个四面体的界面,如果 ,边缘包含和与界面相交,交点可以由计算= 0的边缘。

然后四面体分为两部分通过连接任何两个交点四面体的表面(图4(一)阴影面),和一个阴影部分是内部的粒子(数字4 (b)和4 (c)),这是一个四面体或不是。如果不是这样,它可以进一步分解为若干个四面体。和这些四面体的体积固体部分很容易获得。

固体体积固体边界附近的一个细胞体积的总和,∑ ,粒子内的所有几何图形(包括里面的四面体和四面体的阴影部分的接口)。固体体积分数评估∑ /采用粒子指标函数的细胞。

请注意,我们假设在四面体是平(图界面4(一)),这是不正确的。数值错误是不可避免的。然而,从理论上讲,一个更高的细分级别会导致一个更小的错误。因此,充足的细分,可以获得所需的数值精度。

4所示。结果与讨论

4.1。粒子体积评价

在这个例子中,圆形的容积计算的准确性和球形粒子在2 d和3 d结构背景网格在不同细分的水平。圆形和球形粒子的直径,= 1 m,网格间距设置为/ 10,/ 20,/ 30,/ 40,分别和细分级别设置为1,2,3,4,完全16例。表1和2给出了粒子卷两个指标函数和相对误差在2 d和3 d,分别。的卷圆2 d和3 d体积是0.785398和0.523599,分别。从表,它可以观察到,与网格澄清,我们的方法产生较小的相对误差比近似亥维赛函数方法,显示interaction-volume基础粒子指标函数更准确。

它可以从表中找到1和2相对误差小于5 e-5如果细分级别为栅格间距大于或等于2/ 20。细分级别设置为2在后来的测试中,这是一个很好的计算负载和准确性之间的妥协。

图5显示了两种方法获得的粒子体积随时间的演化时,粒子移动的2 d和3 d的背景网格,分别。不难发现近似亥维赛函数法并不保守,因为结果与粒子显著振荡运动,而我们的方法在本文中是保守的,结果稳定。

4.2。圆柱绕流

圆柱绕流是一个经典的水动力问题。大量的物理和数值试验之前进行。该方法的准确性和有效性验证固定边界的圆柱绕流的一种不同的雷诺数。在这个例子中,计算域是一个 矩形域(气缸的直径:= 0.025美元)。圆柱的中心位于(10d,10d),如图6。流体流入左进正确的出口,与流入速度,(不同的不同的 ),流体密度,= 1.293公斤·m⁻³动力粘度系数,= 1.5×10⁻⁵米²·年代⁻¹。指定入口流速和压力零梯度,同时出口,诺伊曼边界条件指定为速度和狄利克雷边界条件的压力。墙顶部和底部设置为对称边界条件。雷诺兹的数字,再保险(= / ),10、20、40、100和200年,被选为测试条件在本例中,使用相应的入口速度的6×10⁻³m·s⁻¹,1.2×10⁻²m·s⁻¹,2.4×10⁻²m·s⁻¹6×10⁻²m·s⁻¹和0.12 m·s⁻¹,分别。为了降低计算成本,细化网格内使用 广场的中心是一样的汽缸和并行计算域的边缘,和 网格是在其他区域使用。三个级别的网格间距采用: 例1、 例2, 情况3,分别。相应的时间步长设置,以便报号码(= )保持约0.2。

表3给出了阻力系数 ,在不同的和网格间距,最终稳定或周期性稳定的圆柱绕流的一种。阻力系数得到以下方程。 计算出的与网格间距的减小收敛。为了比较,此表也给的数值结果的方法14](吓唬)和实验和数值结果21- - - - - -23]。从表中可以看出,我们的结果是几乎在所有情况下比吓唬的方法接近的实验和计算结果引用。

图7显示了流线在10、20和40例3当流最终稳定。可以看出,稳定循环区(漩涡漩涡)产生背后的圆柱体在所有三个案例,和长度, ,再循环区增加而增加 。表4显示长度的比较, (气缸的直径),再循环区计算方法20至40岁的女性对不同网格间距与[23- - - - - -25]。计算结果收敛的细化网格,在良好的协议与引用。

图8显示了周期性的速度轮廓稳定流动100年和200年的情况3。在这两种情况下,气缸背后的漩涡漩涡开始有规律地脱落,形成定期的涡街。表5显示了比较Strauhal号码( / ,在哪里由这种方法计算涡脱落频率)与(在这两种情况下7,26,27]。计算结果转换和网格间距的减少是在良好的协议与引用。

仿真结果在这个例子表明,静态边界问题,本文中的方法是广泛的良好的精度 。

4.3。单一球形颗粒在剪切流

在本节中,一个自由torque-free球在一个线性的剪切流被认为是来验证这一方法的可行性在处理球旋转。球形颗粒的直径 m是暂停一立方的核心库爱特细胞,如图9。粒子位于x = 0和细胞大小 。的速度 和- - - - - - 在流动方向上分配给顶部和底部边界(黑色的),分别= 6.71×10⁻³年代⁻¹是剪切速率。和其余的边界,定期使用条件。流的运动粘度= 10⁻³米²年代⁻¹。使用网格间距的三个层次: 例1、 例2, 例3。和相应的时间步骤0.01,0.005,和0.004 s,分别。

的剪切流,对流项的影响非常小,可以忽略,不稳定和斯托克斯方程解决了时域。整个系统最终会达到一个稳定状态,和粒子在一个恒定的角速度旋转,这是可用的解析解14]。

图10显示了一个比较的无量纲速度计算 在不同的网格间距中心线( )剪切面( ),其中下标表示的方向流,和分析解决方案28]。粗网格,第一种情况下,计算结果以外的地区附近的粒子表面略低于分析解决方案。细化的网格,结果越来越接近解析解内外的粒子。粒子内的线性配置文件( )是由于刚体运动约束的粒子旋转和速度 发现表面的粒子( )。旋转的速度 所有三例都是-0.4990,-0.4995,和-0.4996,分别-0.5,逐步接近理论值,粒子转化速度也解决了,原来是10⁻⁸,这是可接受的对预期值0。

在这种情况下仿真结果表明,该方法是可行的,模拟球形颗粒旋转。

4.4。沉积的一个圆形粒子在一个封闭的容器

圆形颗粒的沉积过程在一个封闭的容器是在这种情况下模拟来验证这种方法的可行性在处理移动边界问题。计算模型如图11。计算域是 (一个粒子直径:= 2.5×10⁻³米),粒子的初始位置 。流体在最初的时间是静止的。圆形粒子落定的重力,其密度= 1250公斤·m⁻³。动态粘度和密度的液体= 0.01公斤·m⁻¹和= 1000公斤·m⁻³,分别。为一个封闭的容器,中性坚实的墙壁包围边界条件规定。

在这个例子中,粒子的沉降过程模拟。一开始,通过重力粒子开始解决,这不仅仅是浮力。沉降速度的增加,粒子的阻力逐渐增加逐渐和沉降加速减少。最后,沉降速度达到一个恒定值,由于三股势力的均衡,重力,浮力和阻力。收敛测试为目的的,一系列的网格间距是考虑的,如表所示6,一系列的正确选择时间步长保持柯朗数约为0.2。

图12(一个)给的进化粒子垂直速度随着时间的推移,和图12 (b)区域放大图的图吗12(一个)。很明显,计算结果收敛网格间距的减少。为了比较,康的方法(29日和Glowinski的方法30.还包括了)。它可以发现,本文提出的方法在所有情况下炕的接近的结果,尤其是Glowinski比吓唬的方法(配置是一样的情况2)。图(13日)显示的进化粒子垂直位置随着时间的推移,和图13 (b)区域放大图的图吗(13日)。类似于图12,结果收敛网格间距的减少,它们更接近康比吓唬的方法的方法。Glowinski没有现在的进化粒子垂直位置随着时间的推移,在他的论文,但是这种方法获得的垂直速度是一致的,在他的论文,所以本文中的垂直位置预测不应该不同于Glowinski计算的方法。

仿真结果表明,本文提出的方法可以很好地处理运动边界问题。

4.5。内联振荡圆柱体

进一步验证这一方法的可行性在处理移动边界问题,选择一个圆柱体的管道振动为例进行研究。如图14计算域 ( 气缸的直径)厘米,周长将第二速度梯度为零的边界条件,初始位置的缸是(0,0)。液体初始时间是静止的,密度,= 1000公斤·m⁻³。气缸是周期性的往复根据以下表达式 在哪里的横坐标是圆柱的中心;和分别振幅和周期。雷诺数, ,和Keulegan-Carpenter号码, ,确定流动的特点,计算如下 在哪里的最大速度是在振荡和汽缸流体的运动粘度系数。再保险= 100,KC= 5选择在这个例子中,类似于实验条件选择Dutsch et al。18]。网格间距是/ 20大小。

图15显示了不同方法获得的流力系数后一段时间内稳定。根据下列公式计算 在哪里在汽缸水平合力。根据下列公式计算 为了比较,结果从Dutsch吓唬的方法和实验数据图中给出。从图可以看出,尽管吓唬的方法提供顺畅的计算结果,在波峰和波谷的绝对值大于实验值;相反,尽管小振荡的结果从这个方法在1.25 t和1.75 t,结果更接近实验值主要是由于粒子指标函数的事实吓唬的方法是绝对光滑的界面的两个阶段,但不能保证守恒公式中的积分项(25),导致的平稳变化随着时间的推移,但不准确的。然而,从这个方法绝对是保守的,但也有一些不连续的变化在接口与气缸的运动,导致小振荡在1.25 t和1.75 t时,气缸开关方向。然而,该方法获得的结果同意Dutsch的实验结果。

图16显示了在圆柱涡度在不同阶段时间后一段时间内稳定。可以看到,本文的结果是在良好的协议与Dutsch et al。

数据17,18,19显示组件的配置文件在方向和在方向= 6 0、6和12毫米的阶段 , ,和 ,分别。为了比较,实验数据和数值结果Dutsch也提出了。可以看出,本文的结果是在良好的协议与数据从Dutsch。

仿真结果进一步从这个例子表明,本文的方法是可行的在处理移动边界问题。

5。结论

虚拟域方法基于粒子从十字路口体积指标函数摘要开发处理移动边界问题。在这种方法中,背景网格细胞在流体和颗粒之间的界面和细分为四面体。粒子的体积分数域内每个单元是准确计算实现高精度的集成计算粒子领域,提高整个方法的准确性。的积分值粒子域这个函数更精确的计算,从而大大提高了整个虚拟域方法的计算精度。基于细胞体积评价细分技术显示技术可以准确地计算静态粒子的体积,保证移动粒子守恒计算积分。圆柱绕流的测试结果,单个球体的剪切流,一个圆形粒子的沉积在一个封闭的容器和管道振动圆柱表明,这个虚拟域方法具有良好的精度在处理固定边界和移动边界问题。该方法具有更好的性能在静止和移动颗粒流体运动仿真方法使用近似亥维赛函数。这种方法更精确的和保守的。它可以用来处理移动和固定边界问题。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

支持的项目国家科技重大项目中国科技部(批准号2016 zx05011001),中国国家自然科学基金(批准号21306145),和自然科学基础研究飞机在中国陕西金桥(批准号2019 - 335)。

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