对任意形状纳米腔周围的SH波散射的表面影响

抽象的

通过使用复杂的变量函数理论和保形映射方法，研究了围绕任意形状纳米腔周围的平面剪切波（SH波）的散射。基于表面弹性理论解释纳米级的表面效应。根据广义的Yong-Laplace方程，给出了边界条件，并且建立了用于解决散射波解决方案的未知系数的无限代数方程。通过使用三角函数的正交性可以获得应力场的数值解。最后，讨论了圆孔周围的动态应力集中因子的数值结果，椭圆孔和方孔作为特殊情况。数值结果表明，表面效应和波数对动态应力集中具有显着影响，并证明我们从理论衍生的结果是正确的。

1.介绍

由于散射问题在理解工程材料和结构中各种波的传播现象中起着重要的作用，弹性矩阵中嵌入的空腔对弹性波的散射一直是波动理论中的一个热点。矿产勘探、石油采集、定量无损勘探、雷达、水下声纳、爆破等技术都是建立在理解弹性波散射与弹性矩阵中缺陷体几何尺寸和物理参数之间关系的基础上的。Pao and Mow [1通过波函数膨胀，整体方程和整体变换方法详细讨论了弹性介质中的腔/包含在弹性介质中的弹性波的衍射。使用复杂的变量函数理论，刘[2[在各向异性介质中讨论了由SH波引起的圆孔周围的动态应力集中。随后，刘等人。［3.，4研究了椭圆形孔和裂缝周围的SH波的散射。近年来，王和族分析了圆形域中圆形域的圆形腔散射[5］．刘et al。6通过IBEM的方法讨论了嵌入楔形结构域中的任意形状的平面Sh波的散射。然后杨等人。［7，8]研究了非均匀介质中横波在圆形或椭圆腔中的散射。此外，Ghafarollahi和Shodja [9[]提出了一种解析处理方法，用于处理嵌在指数级和均匀半空间界面附近的椭圆腔/裂纹对sh波的散射。

然而，上述研究在宏观上进行，因此不考虑表面应力的影响。随着纳米技术的快速发展，有必要了解纳米材料和纳米结构的力学行为。在纳米级，由于表面与散装体积的增加，表面效应变得显着[10］．考虑表面/界面影响的表面弹性理论由Gurtin等人提出．［11[米勒和桑耶[12，13结果与表面弹性理论一致。随后，Chen等人给出了一个证明广义Yong-Laplace方程的几何图解[14］．因此，表面弹性理论被广泛应用于研究纳米尺度下材料和构件的各种力学行为[15- - - - - -17］．

通过使用表面弹性理论，Wang等人。［18，19的衍射 -纳米腔波。进一步，ou和李[20.纳米大小涂层纤维讨论了界面能量对平面弹性波散射的影响。Ru等人。［21- - - - - -23[研究了圆柱形纳米夹层周围的弹性波的衍射，然后通过纳米圆柱孔簇研究垂直剪切波散射的表面效应。吴和ou [24，25]分别用波函数展开法和复变函数理论研究了sh波在圆柱形纳米夹杂物周围散射的界面效应。然而，由于任意形状空腔的复杂边界条件，这些研究大多局限于纳米尺度下的圆孔或球形空腔/夹杂物。到目前为止，关于任意形状纳米腔对sh波散射的研究还很少。因此，有必要对该问题的相关内容进行研究。

在这项工作中，基于表面弹性理论，研究了嵌入无限弹性介质中的任意形状纳米腔周围的SH波的散射，其中通过采用复杂的可变函数表示位移场的数值解理论与保形映射。围绕圆孔的动态应力集中因子的数值结果，椭圆孔被图示示出。分析了表面能对基质材料动态应力集中因子的影响。本文的结构如下。部分2简要介绍了表面弹性理论。用保角映射方法得到了任意形状纳米腔周围SH波场的解。文中给出了所考虑问题的控制方程和相应的边界条件3.．在部分4讨论了带有圆孔和椭圆孔的sh波入射时的表面效应对动态应力集中的影响。结论见第一部分5．

2.表面弹性

根据表面弹性理论，表面被认为是附着于基体而不滑动的可忽略的薄膜。矩阵中的平衡方程和各向同性本构关系与经典弹性理论中的相同，但表面应力的存在导致了非经典边界条件。要了解更多，请参考Gurtin [11］．

表面应力张量表面能量密度满足以下公式

在哪里是表面应变的第二级张量，是克朗伯克特斯三角洲。所有重复的拉丁索引 和希腊指数 在整个纸张中，使用爱因斯坦的总结公约。

基于广义的永拉普拉斯方程[14]，平衡方程和表面本构关系为

在哪里 ， ， 是基质的应力张力，分别是夹杂物，夹杂物和表面，表示表面的正常矢量，和是界面分歧。和是两个表面常数。残余表面张力在我们的动态分析中不考虑，即 ．

由于在矩阵中建立了经典弹性理论，因此写入平衡方程和各向同性本构关系

在哪里是时候了，是材料的质量密度，和是剪切模量和泊松比，分别为泊松比和 ， 分别是基质材料中的应力张力和应变张量。是位移的成分，并且应变张量与位移矢量有关通过

3.sh波在任意形状纳米腔周围的散射

基于表面弹性理论，我们讨论了嵌入无限弹性介质中的任意形状纳米腔的SH波的散射，如图所示1．

矩阵中的反平面控制方程为

在哪里 ， 是体中的剪应力。是沿着的位移轴。

压力与位移之间的关系是

代入式(8）进入等式（7),我们得到

对于稳态响应，时间可以分开 ，然后等式（9）可以表示为

在哪里是位移功能，是波号，是媒体的剪切速度，是圆频率，和是质量密度。

基于复杂的变量理论，我们引入复杂的变量 ， ．方程式（10)和(8） 是

为了解决非圆形腔的散射，映射功能映射任意形状的纳米腔边界的 -一个半径为正形圆的平面与边界的 -平面，如图所示2．

引入保角映射函数

将映射函数代入方程(11)，则得到

介绍圆柱坐标 ，在 -飞机，我们有

假设一个谐波平面sh波以正方向传播 -方向，如图2．根据公式(11），事件平面SH波函数的一般解在柱坐标中表示为[1］

在哪里为入射波的振幅，是第一类贝塞尔函数的阶，系数为和为 ．

散射波函数在柱坐标中表示为[1］

在哪里是第一类的阶Hankel函数，和是由边界条件确定的未知系数。

矩阵中的总波函数由加法给出和

根据方程式（15) - (17)，我们可以获得

在哪里

相应的应力是

根据方程式（1) - (6），我们可以获得表面上的边界条件

在哪里 ，这是一种无量纲参数，反映了表面在纳米级的影响。对于宏观腔，半径足够大了吗? ）。因此，无需考虑表面效果。但是，当半径缩小到纳米尺度，变得明显，并应考虑表面效应[26- - - - - -28］．

替代方程式（19) - (27）进入等式（28）， 我们有

在哪里 ， ， ， 介绍了附录．

很明显，方程(29)是一个有关的方程虽然仍有一些未知的系数。等式两边乘以29） 经过 ，然后整合到在限制之间和 ，我们获得

从等式（30.)，一个关于未知常数的无穷代数方程可以获得。通过解决方程（30.)，未知常数可以计算。应该注意的是，在数学方便中截断等式中的无限代数方程（30.） 和在数值计算过程中。

4.数值结果与讨论

为了研究表面效应对动态应力集中因子的影响，我们将动态应力集中因子定义为

在哪里是沿着表面的培养基中的散装应力，SH波的传播方向中的应力强度是压力强度。从等式（30.），很容易看到表面弹性参数对DSCF的影响很大。

在以下情况下，作为特殊情况，我们讨论了表面效应对圆孔和椭圆孔周围DSCF的影响。

4.1。圆孔

对于圆孔，表达可以写成

替代方程（32）进入等式（30.),系数可以确定为

对于宏观圆孔，表面效应被忽略 ，我们的结果与[1］．

由此可见，我们的方法是正确的，可以得到sh波的弹性应力场。

为了考虑表面对DSCF的影响，对于不同值的表面上DSCF的分布具有低频入射波如图所示3.，这表明了表面效应对孔附近DSCF的影响。作为增加，DSCF连续降低，最大DSCF从来 ．最大DSCF出现在约 ，在区间内有两个峰值 ．同样，DSCF在不同值的表面上的分布具有高频入射波如图所示4，这也明显表明了表面效应对孔附近DSCF的影响。再次,增加，DSCF也不断降低，最大DSCF从来 ．但是，由于高频，DSCF的分布频繁变化。DSCF的最大值发生在约的角度 ．

4.2。椭圆孔

对于椭圆孔，表达是写作的

在哪里 ， ．

用于不同值的表面上DSCF的分布和 ， 和低频入射波如图所示5．椭圆孔附近的表面效应对DSCF的影响是值得注意的。与图3.，结果类似于圆孔中的结果 和 ，作为增加时，DSCF不断减小，而在 和 ，作为增加，DSCF增加。但是，最大DSCF出现在约的角度 ，最大DSCF减小来 ．同样，DSCF在不同值的表面上的分布具有高频入射波如图所示6，结果与那些相似在大多数地区。然而,对于不同的 ，最大DSCF的位置不同，最大DSCF从来 ．高频下DSCF的变化大于低频率。

4．3．方孔

对于方孔，表示为是写作的

用于不同值的表面上DSCF的分布和如图所示7．显着的是，表面效应在方孔附近的DSCF。与数字进行比较3.和5，其结果与圆孔和椭圆孔不同，如增加，DSCF增加 和 ，在其他时间段，趋势并不明显。为不同的 ，最大DSCF的位置是不同的。什么时候和 ，变化非常重要。同样，DSCF在不同值的表面上的分布具有高频入射波如图所示8，结果不同于 ．为不同的 ，最大DSCF的位置大致相同，最大DSCF出现在约的角度和 ．但是，由于事故波的频繁干扰和表达的复杂性 ，随着时间的增加 ，DSCF的变化没有一定的规律。

从数字中显而易见9来11波数对DSCF的影响较大。DSCF减小为大多数地区增加。方孔周围的应力集中更为显着，DSCF的最大值是 ．而DSCF的最大值约为在圆孔和椭圆孔周围。三种情况下，DSCF相对于的对称性 ．

总之，数值结果表明，表面能和波浪数对DSCF的不同形状诸如圆形，椭圆形或正方形具有显着影响。

结论

在本文中，我们通过基于表面弹性嵌入无限弹性基质中的任意形状的纳米腔来研究SH波的散射。通过使用复杂的可变功能理论和保形映射方法，在腔周围获得应力场的数值解。同时，获得圆孔周围的应力场的分析解。最后，所获得的数值结果用于分析表面能量和DSCF上的波和围绕圆孔，椭圆孔和方孔的影响。当孔半径收缩到纳米时，表面效果变得显着，应考虑到显着。无论入射波的频率如何，表面效果都削弱了大多数区域的圆形和椭圆孔周围的DSCF，但对于方形孔而言是不同的。同时，DSCF强烈依赖于波数，随着波数的增加，DSCF在大多数区域逐渐减小。该研究有助于分析非均匀纳米复合材料的机械性能，例如微纳米机械系统中的缺陷体型的振动，半导体纳米装置的传播等。

附录

附录A

数据可用性

用于支持本研究结果的数据包含在图中3.- - - - - -11文章。

利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

承认

国家自然科学基金资助项目(No. 11362009, No. 11862014)。关键词:岩石力学，数值模拟，数值模拟