带空洞弹性圆弹性静力边值问题的显式解

摘要

本文求解了含孔弹性多孔圆的二维静态边值问题。用初等函数构造微分方程组通解的特殊表示，使初始方程组可以简化为结构简单的方程组，便于初始问题的求解。解可以显式地写成绝对一致收敛级数的形式。研究了所考虑问题正则解的唯一性问题。

1.介绍

孔洞或空孔弹性材料线性理论的物理数学基础及其在一些技术问题上的应用最初是在Cowin和Nunziato [1]．这些材料尤其包括岩石和土壤，颗粒状和一些其他制造的多孔材料。

该理论与经典弹性理论有本质的不同，它将孔隙体积对应的体积分数视为一个自变量。空洞没有机械或能量意义。

近年来，许多学者对含孔材料的弹性问题进行了研究。下面我们只提到几个作品，其中书目信息也可以找到。

在 [2[内部压力作用下的厚壁球形和圆柱形壳体的传统问题在线性弹性材料与空隙的框架中解决了内部压力的框架。一些基本解决方案存在和唯一性定理，二元关系和解决方案的变分特征在于上述理论在[3.]．在 [4.[是否为具有空隙的均匀和各向同性弹性材料的均匀和各向同性弹性材料的典型理论的等式获得了解决方案。使用Kupradze等人建立的结果．[5.在古典弹性中，在[6.]根据具有空隙的均匀和各向同性材料的线性理论研究了固定振荡的边值问题，而[7.]涉及用空隙的弹性材料中平面谐波的行为研究。建立了这些波的基本属性。还建立了外部问题解决方案的存在和唯一性。证明了均衡理论中的存在定理8.]，还有[9.]得到了稳态振动情况下含空洞微极弹性微分系统的基本解。对其对偶性质也进行了研究。

在工作Ieșan[]中首次考虑了含空隙的热弹性材料的线性理论。10.]．在[中的材料的热弹性理论中的Galerkin类型和唯一性定理的解决方案11.那12.]．研究了具有空隙的弹性和热弹性材料的稳定振动问题，[13.]．将微柱热弹性的线性理论被认为是纸中空隙的材料[14.那15.]．稳态振动微分方程组的基本解[14.[扩散[15.]是用初等函数构造的。在Nunziato和Сowin[]的工作中提出了具有孔隙的弹性多孔材料的非线性理论。16.]．

随着多向孔洞材料线性弹性理论的推广和发展，混凝土域边值问题显式解的数学研究和构造受到了极大的重视。

在本文中，通过使用谐波，双谐波和偏振函数构建具有空隙的弹性材料理论的微分方程的一般解决方案的特殊表示，这使得可以将方程式的初始系统减少到方程式结构简单，促进初始问题的解决方案。本文用于纸张中的这些表示来解决空隙的弹性圆圈的问题。该解决方案以绝对和均匀的融合系列的形式明确地编写。

还调查了常规解决问题的唯一性。

2.边值问题的表述

让各向同性弹性圆 那由空孔组成的，被圆周包围的的半径 ．表示宏点的面积 经过 那和此时的毛孔区域 ．的值 那哪个是由等式定义的 ，称为孔隙相对面积。一般来说，由于身体的变形，毛孔的相对面积也会发生变化。我们用 ．

含空洞的弹性材料线性理论的方程组有以下形式[1那6.]： 在哪里 是位移矢量，还有是相对于孔隙面积的变化;和为Lamé常数; 那 那和是表征体孔隙度的常数。

让我们现在制定边界值问题。找到，在圈子里 那普通的向量 满足(1） 和 （2)和在边界上 那以下条件之一： 在哪里 那 那 外法线是相对的吗当时 ; 那 那 那和函数给出于 ; 是具有孔隙的多孔体弹性理论中的应力算子[1]， 矢量表单中的压力可以写成 在哪里 和 是经典弹性理论中的应力向量[17.]，

3.方程组的一般表示

应用算子(1） 那从(1） 和 （2）我们获得了一系列方程式和 ： 在哪里 系统的决定因素（8.）等于 ,在那里 假设 从(10.)由此而来 ．因此 ,在那里

自系统（8.)是同质的，我们写道 把(11.)考虑到，从(1我们得到了 ．

从这个方程和第二个方程(11.)，得出解的表示包含一个谐波，双谐波，和一个亚谐波函数，而表示包含一个谐波函数和一个亚谐波函数。

由(1） 和 （2)的格式如下: 在哪里是调和函数， ,是一个参数的Metabongonic函数 那 ;和是目前未知的函数。一般的解决方案 对应于非齐次方程(1)关于 那表示如下[18.]： 在函数和都是相互关联的, 那 那 那 那 那 是标量函数， ; 那 那 ;是求的系数， ．

是(1）： 在哪里选择这样的 ．很明显为双调和函数: 为简单起见，函数选择这样的 ．然后我们可以采取

让我们计算系数的值和在表示(12.)．我们应用算子第一个等式(12.)，并将所得表达式与定义为(2)．使用(9.）， 我们获得 如经立即核实，我方可确保上述陈述(12.）满足于（1） 和 （2)．

4.唯一性定理

对于一个正则解的 （1)格林公式[5.]， 是有效的, 是非负二次形式[17.]条件（10.使用）使用。

另一方面，我们乘以（2)并整合在内 应用平等 我们得到以下公式: 使用公式（17.） 和 （20.),我们写 让我们假设每个上述问题中的每个问题都有两个解决方案。要定义它们的差异，公式的右手部（17.） 和 （20.)被假定在上等于零 ： 从这些等式中，取(10.)考虑，我们得到 那 那 在哪里是任意常数。

让 和 是任何问题I和II的任意两个解。然后的差异 为相应齐次问题的解: 对于均匀的边界条件，对于问题i，我们从（23.）： 上述方程的解有如下形式[17.]： 在哪里 那 那 任意常数。此外，在第1题中，利用齐次边界条件，得到 ， 因此， ．

齐次问题II的解，它也满足(23.)，其形式如下: 在哪里 那 那 那 那 任意常数。

因此，以下断言是正确的。

定理1。问题I有一个唯一的解。

定理2。问题II的两个任意解决方案仅在平等中彼此不同（26.)，表示物体整体的刚性位移。

5.问题的解决

问题I.让我们重写表示(12.)用极坐标表示和作为法线和切线分量: 在哪里 那 那

使用公式(14.)和平等 、调和函数和双调和函数，以及包含在(27.)在圆盘D中表示为级数[19.那20.]： 在哪里是所求的二分量矢量， 那 ; 那 那是虚构论点的贝塞尔函数。

让我们写出问题的边界条件法向分量和切向分量形式: 让功能 那 那和展开为傅里叶级数: 在哪里 那 那和函数的傅里叶系数是多少 , 那分别; 那 那 那

让我们把表达式(28.) (27.)，传递到极限为 ．把(30.)，我们把结果代入(29.)．为 我们得到线性代数系统: 为了方便起见，我们引入了符号

为 为每一个我们获得 我们解决系统（31.） 和 （32.)．获得的载体值代入(28.)．现在，使用公式（13.），（15.）， 和 （12.)，我们得到了所考虑问题的解。

问题二．传递(5.）到正常和切线组成部分，我们获得 在哪里 那 那和定义为（27.)．重写边界条件（3.）在形式 替代(27.） 和 （28.) (34.)．使用(30.）并将限制视为 ,从(30.)，我们得到了代数系统。为 我们有 为 我们得到了 解这些方程组并代入得到的向量值到(28.)，由公式(13.），（15.）， 和 （12.我们得到了这个问题的解

为了使所得到的级数绝对一致地收敛，它满足以下要求。

我的问题, ,在那里 ．

在问题二, ,在那里 ．

的利益冲突

作者声明没有利益冲突。

参考文献

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