在量子统计力学:研究指南

文摘

我们提供介绍的研究应用量子统计物理的非交换微积分。集中在非交换微积分,我们描述了物理概念和数学结构出现在大型量子系统的分析及其后果。这些包括代数方法的出现和就业的无限维度结构的必要性。举个例子来说,一个随机过程的量化,统计力学的新形式,量子场理论,讨论了量子关联。

1。基本思想

在本文中,我们将试图给的面积和路线图概述量子统计力学,而不过于转移的细节。相比之下,我们强烈强调进化微积分用于统计力学的描述。的背景下,我们把书诸圣(1]和汤普森[2),和更高级的材料,我们参考书籍的小巷3),埃姆(4Haag [],5],Takesaki [6],Terp [7),Bratteli和罗宾逊(8,9]。

使我们的博览会十分清楚,我们从历史的评论开始。牛顿经典力学的给了他的原则17世纪的结束。然而,经典力学发展到丰富的数学理论只有在19世纪下半叶。沉思片刻后,我们意识到尽管牛顿和莱布尼兹介绍(古典)微积分的基本原则,它是柯西(1830 ',尽管“的ε-δ定义限制”是在1817年首次由博尔扎诺)终于澄清了极限的概念,然后黎曼(大约1860年)澄清积分的概念。因此,在19世纪,下半年的原则(古典)微积分是完全确定的。这给了机会,把经典力学转变成一个成熟的理论(拉格朗日,汉密尔顿,刘维尔等等)。所以可用的微积分与一个成熟的理论,更多的用了几十年的时间获得一个完全成熟的经典力学理论。随后,(古典)统计力学出现作为一个结合经典力学和概率理论的发展。

我们将表明,类似的情况也发生在20世纪但在量子理论的背景下。起点是海森堡运动方程在量子理论。他第一次写了非交换推导,换向器。(我们回想一下,推导是一元函数满足莱布尼茨产品法律。)看到这,就够了,一个换向器满足莱布尼兹法则!这可以被视为一个类比牛顿的引入(古典)分化写一个经典系统的运动方程。海森堡,出生、约旦和狄拉克意识到不可交换性是量子力学的存在的理由,他们引入了所谓的正则量子化。这意味着经典力学的基本关系, 应该被 在哪里代表泊松括号,而 表示换向器。

但量子化程序求两个严重的问题:(1)术语的关系(2)表示?(2)什么选择表示的唯一性?

一个简短的回答第一个问题说的关系(2)没有有限维空间实现。此外,除了新形式的几何量化(2)表示无限的自伴算子作用于一个无限维空间分离的希尔伯特空间。我们强调,新形式的量化,使用函数微积分,一个认为单一运营商 和 。

但是一项严格的研究正则变换的薛定谔表示关系的有限自由度导致代数的无限运营商(见例子在[10])。此外,怀特曼的量子场理论公式和李代数的理论导致方案的描述一个物理系统基于无限运营商。尽管代数的数学方面分析了无限运营商在许多细节(参见[11- - - - - -13]),众所周知,正式计算可以误导(见部分 在[14])。

一般来说,看起来,在量子力学中可以区分两个方案,一个物理系统的描述(cf。15])。第一个,只是描述,使用无界的运营商。第二个使用有界的运营商。的概念引入范数拓扑组可见是大力提倡的西格尔(16]。认为赞成这个想法,可以说,在实验室的物理学家只处理可见的有界函数!然而,正如已经说Borchers [15),在这种方法中,“一些详细信息物理系统通常是失去了。”此外,这个方案也承认自己“非现实的国家”严重定义熵(见[17)和引用)。

这里,我们将认为非交换集成理论提供了第三种方案躺在上面讨论的方法。除了其他技术条件,它依赖于选择“更多”常规的运营商,在“更多”常规手段可测性(见下一个页面定义和细节)。因此,它将被描述,一个是表现非常良好无限的代数运算符。此外,有界函数代数的自伴的元素是元素的某些代数界运营商。

转向第二个问题,我们应该记得所谓的唯一性定理,归因于冯诺依曼,韦尔,Rellich。这个定理说,第二个问题的答案考虑考虑系统的性质。更准确地说,一个系统被称为小如果它有有限数量的自由度。相反,一个有无限个自由度系统称为大型系统。

唯一性定理指出,对于小系统,关系(2),酉等价,有独特的表现。值得指出的是,这个属性是梯形公式狄拉克的量子力学的形式主义。我们回想一下,形式主义的基础是一对 在哪里表示所有有界的线性算子可分,无限维的希尔伯特空间 。 代表跟踪类运营商希尔伯特空间 。特别是,密度矩阵描述(量子)国家形成一个凸(产生)的子集 。

对于大型系统,情况有很大的不同。有很多非等效的表征的关系(2)当自由度的数目是无限的。这里要注意的关键是,统计力学和场论都是出类拔萃的大系统理论!

这一事实被认为在20世纪五十年代的发现所谓的“奇怪的表示。“进一步,观察到,开展大型系统的量子化的基础上狄拉克的形式可以导致严重的困难。给说明性的示例中,我们首先提到的问题与福克表示。福克表示随后于1932年引入,充分阐述了库克于1953年。这可能是最著名的方案的描述无限的量子系统。但在这个表示,唯一能够描述衡量系统。换句话说,我们不能描述相互作用的粒子。此外,在五十年代范霍夫所示([18,19),也看到分段在[4]),不存在一个非凡的扰动微积分在福克表示。我们无法抗拒提及微扰计算是计算在狄拉克的形式主义的主要工具。最后,值得指出的是,交互图中不存在交互相对论量子场理论;这是Haag定理的本质(见部分 在[5)和/或部分 在[4])。

转向第二个例子中,我们希望讨论量子吉布斯拟设。吉布斯拟设旨在描述(古典)规范的平衡态,给出了归一化常数, 。在这里,代表认为的哈密顿系统,是“逆”的温度。我们强调,这是经典统计物理的基本成分。的量化意味着现在是哈密顿算符和量子态,我们要求应该是一个跟踪类操作符。但至少是这种情况的时候,,满足必要的条件:有纯点光谱与积累点无穷。不幸的是,即使是汉密尔顿的谐振子和氢原子不满足这个要求!

因此,我们到达的结论,根据第二部分的(非)唯一性定理,一个应该作为起点不同的代数结构 。

在继续之前,让我们暂停简述可能代数(除了)可用于量子大型系统的描述。

我们从的概念开始巴拿赫代数。这是一个巴拿赫空间配备了乘法和退化。操作都是连续的拓扑诱导的常态。如果 ,因为 ,然后被称为交换。规范满足额外的条件时, ,那么这样的巴拿赫代数称为将用代数和 。冯·诺依曼代数是一个具体的代数(所以 对于一个希尔伯特空间),关闭对弱者算子拓扑。需要注意的重要的一点是,每个交换冯诺依曼代数是同构的对于一些测度空间 相反,对于每一个有限测度空间 ,的代数冯·诺依曼代数。在这里,代表所有(基本上)有界函数 。因此,冯·诺依曼非交换代数的理论提供了很好的起点非交换集成。我们完成这个简短的代数结构的定义代数。它将用于描述Wightman法则。代数是代数线性算子的定义在一个共同的密集的子空间希尔伯特空间的和离开不变的。的乘法运营商构成而退化 在被定义为 ,在那里希尔伯特空间通常是伴随。

在上个世纪30年代,冯·诺依曼和穆雷给冯·诺依曼代数的分类。来描述这个分类中,我们,首先,召回的定义中心的代数 : 如果被称为因素 。冯·诺依曼(20.)表明,分离希尔伯特空间上的每个冯诺依曼代数是同构的直接积分因子。这个分解本质上是独一无二的。因此,给上述冯诺依曼代数的分类,可以限制自己的因素。

可以区分三种类型的因素。第一种,用我,包括所有线性有界算子的代数希尔伯特空间 。如果 ,然后一个人 ,的代数 矩阵与复杂的条目。这些因素都是用 。当是一个可分离的无限维的希尔伯特空间,那么我们得到的基本成分狄拉克的形式主义, 。这些代数配有规范化痕迹 ,部分定义积极,线性泛函,这样 对于任何 。被定义为一个矩阵的对角线元素之和表示的 。

第二种类型,用二世,粗略地讲,包括代数等,他们的预测是一个特定类型的;更准确地说,没有最小的预测,但也有非零有限的预测。第一种和第二种称为半有限的。这样的代数的重要公共财产,他们可以配备一个痕迹。我们强调,一个给定的跟踪可以不同于半有限的代数的代数规范描述了一个类型。

最后,也有类型III的因素。这些因素是他们的重要财产不能配备一个非凡的痕迹(见,例如,部分 在[8])。更深层次的讨论,我们参考读者6]。

很长一段时间,III型代数,尤其是在数学物理,认为是外来的。但是,1967年,这种观点是完全放弃了。在他的作品中,权力21)是研究均匀超有限代数的表示。非常“物理”而言,他的结果可以表示为一个一维自旋链的分析。这样一个模型由无穷多的网站,与代数与每个站点相关联。因此,局部可见与网站相关的元素 。在每个站点是由一个当地的平衡 矩阵的形式 ,在哪里是常数正常化, 是当地的哈密顿与网站相关联。研究上述系统的热力学限制,表明,权力 ,平衡表征导致类型III冯诺依曼代数。此外,如果 类型III,一个非等值的因素。因此,他表明,冯·诺依曼这种类型的代数形式一个大家庭,他们可以标记为“物理”参数。

Araki-Woods后续结果,Hugenholtz et al .,和其他人已经表明,这种类型的冯·诺依曼代数是典型的大型系统的研究(见[22])。我们强调这是完美和谐的第二部分(非)唯一性定理;量化的大型系统会导致不同的代数!

就像一开始提到的,限制和积分的精确描述在经典微积分是转向经典力学的发展以及统计力学。在这里,我们想描述类似的进程,但现在的量子理论。

在上个世纪30年代晚期,冯·诺依曼意识到非交换集成应该在量子理论起着关键作用。首先,他提出了开展非交换集成通过使用复杂的矩阵代数上定义的规范(见[23])。

但独立的基本步骤是由西格尔(24]和Dixmier [25五十年代初。他们广义积分的概念更一般的代数。为半有限的冯·诺依曼代数理论的非交换集成完成了1974年纳尔逊(见[26])。是非常重要的,首先有必要定义非交换的概念可衡量的运营商(量子可测函数的对应)。为此,跟踪的概念是必要的。因此,非交换积分的理论做了第一种和第二种的冯诺依曼代数。

我们不能抵制提及这一理论的一个突出特点。限制, ,一个可以显示所有(非交换)可衡量的运营商有界!这不是对其他代数。因此,这个奇怪的结果表明狄拉克的形式是例外。换句话说,非交换微积分对小型系统非常不同,它适用于大型系统。

继续分析大型系统中,上述理论应该广义非交换集成类型III冯诺依曼代数。达到首先由Haagerup(1977)和第二篇学术论文的贡献主要由Takesaki,康涅狄格州,赛。希尔森事前提出Araki-Masuda, Kosaki,多兹,多兹,德Pagter。这是最好的一般参考(7]。更深层次的讨论,我们参考读者27,28]。上述的基本步骤概括依赖于建设一个(多)大冯·诺依曼代数,所谓的交叉的产品 ,在哪里是原来的代数和代表了模块化的行动。这里重要的一点需要注意的是是一个适当的子集 。此外,可以很容易地发现在吗家庭的某些正则映射不动点。

的主要意义更大的代数是这种交叉产品是一种半有限的超类型III代数的代数吗 。因此,可配备(半有限的)跟踪。因此,一个可以定义非交换可衡量的运营商。然后,通过一个具体的特定子集的非交换可衡量的运营商,一个到达非交换同行(经典函数)的空间,例如,非交换或Orlicz空间。

完成上述简短的阐述非交换微积分,我们必须添加一个完整的账户(非交换)推导了在29日]。为一个派生的例证可以用于量子动力系统的研究,我们参考读者30.]。然而,我们不会在任何必要的方式使用这些事实,这个主题将会下降。总之,我们有以下。

(大)量子系统,在20世纪的年代,我们得到了一个情况,可以认为是类似于一个属,经典物理学,19世纪结束的时候。因此,我们在位置采用为大型系统的描述,提出了非交换演算,分析量子统计力学和量子场论。这给了一个机会改变量子统计力学和量子场论变成一个成熟的理论。最后,现在应该清楚,微积分在狄拉克的形式并不适合用于大型系统的研究。而且,一个真正的量子系统不能被描述在有限维的结构。特别是,量子系统的正确描述不能依赖的因素 , !

2。应用程序

现在我们能够表明上述计算可以应用于大型系统的研究。

2.1。老问题的澄清

上述框架的第一个重要的结果是,它产生一个更好的理解出现困难,在20世纪五十年代,研究大型量子系统(参看第一部分)。特别是,我们已经看到,从非交换集成的观点,代数是一个非常特殊的一个。此外,微积分的基础上,对不适合大型量子系统的研究。我们这里需要注意的是一个线性的积极功能条件只有在有界可见其行为可以表现出“非物质的”属性;例如,它可以导致熵的定义问题。更详细的讨论这个问题将推迟到部分2。3和2。4。

转向”奇怪的表示,“我们注意到一个重要的相互作用会导致变化的另一个非等值的福克表示。因此,范霍夫等事实的观察微扰微积分福克内进行空间框架和Haag定理对量子场理论不是意想不到的结果!澄清这些问题是在Haag-Kastler方法(详情,请参阅[5])。最近的当地协变量子场理论,我们参考读者31日]。应用程序的非交换微积分量子领域将得到部分2。4。

结束本节,我们想说,吉布斯拟设相关的问题就都解决了发展中公里理论;也就是说,一位将军机器采用!详情,请参阅Bratteli卷二世和罗宾逊的书9]。

2.2。Markov-Feller过程的量化

Markov-Feller过程构成的重要子集的家庭(古典)随机过程(见[32])。这些过程的一个特点是马尔可夫半群的一一对应。反过来,一个马尔可夫半群是唯一由其无穷小生成器。但一个马尔可夫半群的无穷小发生器与Markov-Feller相关过程有一个明确的形式提供的(经典)空间。全面阐述无穷小的描述发电机对应Markov-Feller过程、经典空间和插值策略已经被证明是非常有效的工具。作为上述战略的所有材料非交换同行,Markov-Feller过程的量化是一个简单的任务(见[33- - - - - -36])。

在非交换在Haagerup理论工作空间,下面的结果:(1)非交换空间量子晶格模型描述。(2)经典的量子同行马尔可夫半群的无穷小发电机与Markov-Feller过程得到和相关研究。值得指出的是,滞后型和扩散型过程进行了分析。(3)具体说明模型的量子动力系统给出了(cf。37])。

但有可能会问这种量子化的动态展览是否稳定和/或一个能够描述“回归均衡”这样的动力系统。看来,最重要的工具在这种研究log-Sobolev不等式(见Guionnet和Zegarlinski的彻底的回顾38)在近期的理论和一个全面书目)。但是你可能猜想的理论(非交换)空间不适合这样的研究(见[39),下一小节)。

2.3。统计力学和玻耳兹曼的理论

提到,在标准方法中,(量子)统计力学的基本数学成分是一对双(3)建模所考虑的系统的状态和可见。但这里关键的点需要注意的是以下的观察:(1)对于任何 和任何 人,对于任何 , 。因此,在标准的统计力学方法,我们采用可见所有时刻是有限的。如此可见称为常规。我们强调,为古典系统也是如此。(2)两人(3)允许有界可见。但在这两种情况下(经典和量子)典型可见是无界的。

上述观察结果表明更一般的设置,允许无限的必要性可见,与此同时,保护财产的有限性的时刻。在论文中提出了这样一个更一般的设置(40,41]。描述上面的泛化,我们需要一些开场白。

经典的空间形式的巴拿赫空间更为广泛意义上的一个子集,Orlicz空间的类。Orlicz空间是通过选择一个子集定义的可测函数通过一个适当的年轻的功能。在这些笔记,我们将需要两个混凝土Orlicz空间:和 。他们是由相应的年轻的功能: 和 。特别是,是可测函数的子集这样 ,在那里被认为是衡量固定模式。的主要意义讨论源于Pistone-Sempi结果(42]:经典正则可见被 讨论。此外, 讨论是一种同构对偶空间的副本 。重要的是要注意,这个对偶空间是entropic-type定义的函数 。下一个结果的行40,41),

命题1。双对提供了基本的数学成分的描述(常规)经典系统。

为了支持上述说法,我们注意(详情,请参阅[17,40,41])如下:(1)Pistone-Sempi结果(42)说,很适合古典的描述经常可见。(2)定义的熵要好得多 。众所周知,条件 是不足以保证熵的明确性(见[43锻炼),第四章,§6日18)。(3)在现代的玻尔兹曼方程理论,空间 看来作为弱解的存在性条件的玻尔兹曼方程(对于一大类内核);参见[44]。值得指出的是,条件 太弱,保证玻尔兹曼方程的解的存在!(4)log-Sobolev不平等,最基本的分析工具的稳定性动力学,可以写成Poincare-type不平等 (39]。

转向量子系统,允许一个非交换集成理论(参见[45,46])(1)定义量子同行和 (为简单起见,我们将表示他们同样的符号),(2)表明,熵也更好的定义,(3)log-Sobolev不等式研究量子设置。

尽管量化的玻尔兹曼方程是不清楚,量子统计力学的方法基于量子双对提供数字转换的可能性很大类经典动态地图以及提升动态地图定义在有界可见的代数定义良好的地图上 ,(47]。为此,一种是在第一种情况下使用插值方案基于DDdP方法(cf。45])。此前,结合Orlicz Orlicz空间的结果 (代表一个年轻的函数)是一个插值空间和非交换插值等夫妇在[48]。提升的动力 ,这是显示(47]假设另外一个条件可以接受从物理的角度和工作在Haagerup的非交换集成方法,一个是能够提升一个定义良好的地图 。特别是,以下结果提取(47]。

定理2。如果是一个完全积极的地图吗满足细致平衡条件,然后扩展的在正规的诱发一个动作 。

2.4。Orlicz空间量子领域的应用

在本节中,我们将看看第二种类型的大型系统中,量子领域。我们简要阐述这些大型系统的描述将设定的框架内完成连接Wightman量子场理论(见[49,50])与当地的网的理论或者冯·诺依曼代数([5,51],参见[52];所有的细节,请参阅[53])。

第一种描述的大型系统中,量子统计力学,所有时刻的有限性是关键需求(参见前面的小节)。这里要注意重要的是怀特曼的第一假设理论的结果。我们回忆起(cf。51)的第一个假设Wightman理论:运营商 ,在那里 是一个函数在闵可夫斯基空间紧凑的支持 。每一个和它的厄密共轭算子定义,至少在一个共同的稠密子集希尔伯特空间的 。此外, 对于任何 和任何 。说这个假设的另一种方法是说领域运营商构成的集合代数。首先选择测量领域的运营商,我们注意到,对于任何 和任何 ,一个 换句话说,一个可以说(无限)领域运营商有限时刻(共同的域)。

值得指出的是,这一观点可以被看作是一个“邀请”Orlicz空间解决这个特性的量子统计形式主义的起点是开发大型系统的新方法(见[17,41])。

因此,有人可能会问是否量子统计力学的新形式主义可以扩展到量子场理论。表明这是一个情况下,有必要进行更精确的要求Wightman字段与当地有关净冯诺依曼的代数。

冯·诺依曼的本地网络代数我们意味着一个作业 的地区在闵可夫斯基空间(或更一般的洛伦兹流形冯诺依曼代数在希尔伯特空间田野的运营商保序性的一般条件,位置,和协方差是应验了。

场算符可以以不同的方式与网络相关。我们将使用下面的一个。

让密度是运营商的家庭与一个共同的域的定义在希尔伯特空间这样,如果 ,然后还 。弱者换位的被定义为所有有界运营商的设置吗在这样 ,尽管 。

为简单起见我们的论点,我们将限制自己一种真正的标量场 ;也就是说,正值在 。此外,除了Wightman假设,我们假设如下:(A1) 是一种代数的双锥吗 ,在那里 。(A2)真空向量循环的联盟吗所有双锥 ,在哪里的因果补吗 。

下面的定理是取自[51]但源于结果中给出54,55]。

定理3。考虑两种情况下(A1)和(A2)。对于每一个双锥 ,定义 然后,一个有以下:(1) 冯·诺依曼代数和净吗 满足上述条件。此外,真空为每一个循环 。(2)每个操作符 有一个封闭的扩展 是隶属于 。在这里, 意味着的领域包含在域的这 域的 。

定理3会导致以下。

推论4。场运营商导致运营商附属冯诺依曼代数 。我们回想一下,这个属性是起点的定义可衡量的运营商。

但是,正如第一节中提到的,对于大型系统,类型III代数。因此,应该采用更大的代数 。看到(不是太困难 ),现场操作导致运营商附属 。然后,应用向量代数理论,得到一个不错的重量在跟踪属性。因此,量子可衡量的运营商可以定义。特别是,一个可以定义量子Orlicz空间 。根据结果提出了(53),我们提出以下。

定义5。一场算符隶属于是说为了满足规律的限制如果强大的产品是一个可闭算子的闭包是什么可测量的;也就是说,空间的闭包是一种元素(独特的决心无界算子附属吗 ,而代表与Orlicz空间关联的基本功能)。

在上面的定义中使用的限制在物理上合理的。也就是说,加入确保“广义时刻”的运营商都是有限的。这是在完美的协议第一Wightman假设的本质。更全面的治疗,我们参考读者53]。

2.5。量子关联

这个词量子关联指一定财产的量子态(量子态线性积极规范化泛代数认为指定的系统)。理解这一概念的特异性,自然首先古典概率论。特别是,在这个理论中,古典相关性的概念是完全描述(cf。56])。概率论的基本成分是概率空间 和阿贝尔·冯·诺伊曼代数 ,在那里是一组,是代数的可衡量的子集 , 是一个概率测度, 是所有本质上有界可测函数的集合。这里重要的是要注意,得到一个完整的描述(古典)相关性的概念一个子系统,概率空间的一个复合系统,产品结构是至关重要的。

古典概率的语法理论延伸到非交换领域代替 冯·诺依曼(一般来说,可以在非交换代数吗 。我们看到,这是非交换集成理论的起点。更重要的是,数字转换子系统和产品结构的概念,一个是被迫重写这些概念适当的代数张量的产品。

然而,当研究相关性,一个强大的重点必须放在措施。但Riesz-Markov-Kakutani定理(波莱尔)概率之间制定了一一对应的措施积极和归一化线性泛函,(州)(阿贝耳)代数的所有复杂的连续函数在一个紧凑的豪斯多夫空间 。因此,而不是考虑概率测度,研究相应的状态。分析相关性的州与措施有一个巨大的优势,描述基于状态可以直接扩展到非交换领域。

因此,我们必须更换由一个代数 ,与量子相关性研究的起点是一对 ,在哪里是一个国家 。这样的话,一个非常经典的“量化”的一般描述相关性做了(见[57- - - - - -60])。特别是,松散来说,可以考虑一个纠缠(通常认为是量子理论的核心功能)缺乏疲软黎曼近似属性状态非交换结构的产品。这清楚地表明大区别标准集成理论和非交换。

经常,一个是感兴趣的国家(“量子措施”)以某种方式相关物质的稳定性,运营商数量是定义良好的。另一方面,运营商在相应数量的存在GNS表示特征的状态正常(cf部分 在[9])。然而,说话的正常状态,冯·诺依曼代数设置必须使用。换句话说,非常具体代数(弱闭)成为描述的基本成分。这个代数替换一个重要的结果是,描述复合系统包括两个子系统,一个非常特殊的张量积,张量积算子空间,必须工作。这个产品会导致适当的几何组合系统的密度矩阵。几何特征的主要意义就是它允许一看到本质区别代数和冯·诺依曼代数方法来纠缠的特性。

在这样的计划,我们获得(详情,请参阅[60,61年])(1)两点关联函数的规范形式,(2)一般纠缠态的定义代数以及冯诺依曼代数,(3)措施真正的量子系统的纠缠,(4)一般的描述形成的纠缠,(5)PPT的一般描述。

我们想完成这个分段评价贝尔不等式。读者应该经常提醒量子关联定义的这些不平等。提出的方法是不同的,这一点需要澄清。

1964年,贝尔(62年描述一个gedankenexperiment测试存在的隐变量。它直接与测量的变量古典概率服从微积分!特别是,贝尔不平等关注测量粒子的相互作用,然后分开。这些不平等方面的某些组合的两点相关功能。值得指出的是,尽管贝尔提出一些隐藏变量的存在,有一个贝尔不等式的证明没有任何假设的存在和属性的隐藏变量(参见[63年,64年])。

这些不平等进行量子粒子检测,发现违反。我们必须为对象添加这样的违反将由量子力学。但这种违反意味着古典对象的相关性可以从量子的不同!然而,上述设置并不给任何解释这一现象的本质。我们只能说,古典概率是不够的“量子世界。”

我们的方法是给予澄清。我们已经表明,量子关联仅仅是量子化的结果的过程。此外,我们的方法提供了天然的措施真正的量子系统的量子关联。

因此,贝尔不平等是量子理论的重要成分的相关性,特别是在量子信息,但他们不能作为理论的起点。深入探讨量化相关性,我们参考读者60]。

3所示。最后的讲话和开放的问题

我们认为,一个应用程序的描述非交换微积分的大型系统既是自然的和富有成果的。特别是,不能有限维结构内进行量化,对大型系统的情况下,不会导致一个通用的代数 。幸运的是,集成和非交换理论推导的理论定义良好的通用冯诺依曼代数(甚至一些扩展代数设置)。

不用说,非交换衍生品也起着重要的作用在非交换的量子分析微积分的应用系统(更深层次的讨论,请参阅[8,9,30.])。

我们关闭本节与一些打开的问题。原因是量子统计力学,除了其在物理学的基础作用,目前富含许多新问题从一个具体的模型的分析。为了说明这一点,我们希望列出几个开放的问题(当然)反映作者的个人品味:(1)完整的理论措施纠缠的冯·诺依曼代数(cf的话 在[60])。(2)精心log-Sobolev量子统计力学广义框架的不平等。(3)使用log-Sobolev机械、描述量子动力学的稳定性,使分析“回到平衡。”(4)研究贝尔不等式的框架内量子Orlicz空间;这是一个修改Tsirelson问题[65年]。(5)提供简单的例子微分结构量子场理论(cf。53])。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

作者非常感谢L.E. Labuschagne在校正提供了很多帮助。

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