对Bingham-Type流体流动与阈值滑动

文摘

我们研究一个数学模型来描述三维稳态流动Bingham-type液体的有限域threshold-slip边界条件下,哪个州,可以在固体表面滑移流动时剪切应力达到某一临界值。使用变分不等式方法,我们建议弱者制定这个问题。我们建立弱解的存在性的充分条件,并提供他们的能量估计。此外,结果表明,弱解的集合顺序弱封闭在一个合适的功能空间。

1。介绍

声明中,流体坚持任何固体边界经典流体力学的主要原则之一。然而,仔细的实验指出,各种可能性在间期流体边界的行为。特别是,众所周知,许多非牛顿流体在固体表面滑剪切应力达到临界值。为了描述滑移效应,提出了众多的数学模型(见,例如,简短的调查1])。

在本文中,我们考虑一个模型描述内部稳态流动的粘塑性的宾汉型(液2,3在一个有限域 与局部李普希边界threshold-slip边界条件下(4在一个固定的子集 和无滑动条件 : 在这里是速度,的压力,偏应力张量,是一个外部的身体力量, 是应变速率张量, 粘度,液体的密度是常数,表示屈服应力, ,是一个关键的价值开始沿着边界滑移, 。为了简单起见,我们把续集 。

未知的系统(1)- (9向量函数 , 和功能 ,虽然所有其他的物理量是假定。

让我们解释我们在本文中使用张量符号。给定一个张量 ,向量定义的公式吗 给定的向量和 ,张 定义的张量积吗 我们表示 一个向量的欧几里得范数并通过 弗罗贝尼乌斯规范的张量 :

像往常一样,表示单位外正常和代表一个向量的切向分量;也就是说, 符号 是用来表示反向的向量。

备注1。显然,对于 和 ,我们恢复navier - stokes系统粘滑运动边界条件。这样滑动问题研究[4)(参见[5])。请注意,系统(6)- (8)是一种特殊情况下列滑移边界条件(1]: 在哪里 应力张量, , 是一个给定的函数。事实上,如果 对于任何 ,那么很容易显示系统(6)- (8)相当于(15)。

Bingham-type流体的数学模型用于研究行为的材料,如油漆、糊剂,泡沫,停赛,水泥,油。从开创性Mosolov和Miasnikov [6)和Duvaut和狮子7),大量的数学家在宾汉流体的理论分析和其他类似的粘塑性的媒体(见[8- - - - - -23),在其中的引用)。

本文的新颖是它结合了宾汉塑性本构方程的使用和threshold-slip边界条件,考虑粘性的依赖第二速度不变的应变张量。应该提到的在这一点上,一个外地(正规化)摩擦问题的非牛顿流体被Consiglieri调查(24)(参见[25])。

让我们说明本文的主要结果。采用后一种方法(4,7),我们制定边值问题(1)- (9)作为未知速度场的变分不等式。使用一些存在结果不平等与pseudomonotone运营商和凸泛函,这自然出现在滑动问题,Krasnoselskii定理的连续性Nemytskii运营商(26),我们建立弱解的存在性的充分条件和获取能量估计。此外,结果表明,弱解的集合问题(1)- (9)顺序弱封闭在一个合适的功能空间。

2。预赛

在本节中,我们描述了必要的功能空间和使用的主要假设。

我们将使用的经典符号和 分别对勒贝格和索伯列夫空间。黑体字字母表示功能空间的矢量或张量: , ,等等。

接下来,我们组

我们现在回忆起一个不等式Korn的类型。

命题2。让 是一个连续的对称双线性形式,这样 ,对于任何 ,它遵循的条件 那 。那么存在一个正的常数这样 对所有 。

中给出了这个命题的证明(27]。

假设一组的二维勒贝格测度是正的,那么我们可以定义标量产品由公式 在哪里 表示张量的标量积和 :

设置 和应用命题2,我们推断常态 相当于常规诱导从水列夫空间 。

回想一下,一个函数的限制 来定义的公式吗 ,在那里 跟踪操作符(见[7])。

通过表示对称矩阵空间的大小 。

在续集中,我们假定下列条件:(我)对于任何一个矩阵 ,我们有 (2)这个函数是连续的, (3) , , ;(iv)的二维勒贝格测度集是正的。

备注3。我们声称条件(我)如果函数适用是单调递增的。的确,使用cauchy - schwarz不等式,我们获得 对于任何 。

3所示。弱的制定问题(1)- - - - - -(9)

定义4。一个说一个矢量函数 是一个弱解问题(1)- (9)如果 和下面的不平等是适用的: 对于任何向量函数 。

备注5。让我们解释变分不等式(26)出现在弱解的定义。假设正常功能 , , 满足关系(1)- (9), 。如果我们把两边的标量积(1) 和分部积分域 ,我们得到了 我们使用平等在哪里

让我们显示条件下(3)和(4)以下不平等 适用。我们设置 使用(3)和cauchy - schwarz不等式,我们获得 此外,考虑到(4),我们到达的不平等 通过添加这个不等式(31日),我们获得的关系(29日)。

还要注意系统的条件(6)- (8)相当于以下系统: 利用这些关系,我们获得

最后,结合(27)和(29日)和(34),我们到达不平等(26)。

4所示。主要结果

我们的主要结果收集在下面的定理。

定理6。假设条件(我)(iv)。然后(一)问题(1)- (9)至少有一个弱解;(b)任何弱解满足能源平等 (c)弱的解决问题(1)- (9顺序)是弱闭的空间 。

5。定理的证明6

证明使用以下两个命题。

命题7(见[28])。让是一个反射性的巴拿赫空间,其对偶空间, pseudomonotone运营商 较低的半连续凸函数。此外,假设 作为 。然后,一个任意的 ,存在一个元素 这样

8号提案(Krasnoselskii定理,参见[26])。让 是一个这样的函数(一)这个函数 是可以衡量的每 ;(b)这个函数 几乎每一个连续的吗 ;(c)对于每一个 和几乎所有的 在哪里 , , ,是一个积极的常数。然后Nemytskii操作符定义为 是一个有界和连续映射。

定理的证明6。这里我们介绍以下操作: 使用这些操作符,我们可以重写不等式(26)如下: 通过条件(我),我们推断出 也就是运算符是单调的。此外,应用命题8条件(2),我们建立这个操作符是连续的。从单调算子的性质,它遵循是一个pseudomonotone算子。
的嵌入 紧凑(见,例如,29日])。这意味着嵌入 也很紧凑。因此,它很容易显示操作员完全是连续的;也就是说,如果 弱的空间作为 ,然后 强烈的空间作为 。这个产量之和 是一个pseudomonotone算子。
此外,考虑到条件(ii)和平等 我们获得 作为 。
然后从命题7我们推断不平等(41)有一个解决方案 。很明显,是弱解问题(1)- (9)。
我们认为能源平等(35)适用于任何弱解的问题(1)- (9)。事实上,通过设置 在(26),我们发现 另一方面,选择 在(26)的收益率 显然,如果我们把过去的不平等与(45),我们得到了(35)。
现在我们必须只证明弱解的集合问题(1)- (9顺序)是弱闭的空间 。考虑一个序列这样,对于任何 ,是一种弱解(1)- (9), 弱的作为 。我们表明,是一种弱解(1)- (9)。
弱解的定义,我们有 注意功能 是凸和持续。因此,低半连续的弱收敛 。这意味着 进一步,我们设置 在(47)和通过的下限 。考虑到不平等(48)和完整的连续性操作符 ,我们获得 或者说, 自pseudomonotone运营商,它遵循从过去的不平等 现在,我们重写(47)的形式 并通过这个不等式的上限: 使用(48)和(51),我们推断(53), 因此,我们有 这意味着是一种弱解的问题(1)- (9)。
定理6完全证明了。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作是支持的俄罗斯基础研究基金会的项目没有。16-31-00182 mol_a。