对相关对数正态分布随机变量随机波动的影响

文摘

密度函数的转变中发挥着重要作用的理解和解释的动态随机过程。在本文中,我们将一个遍历过程显示快速移动的波动为常数波动模型表达随时间波动集群。我们获得的解析近似过渡密度函数在我们的随机过程模型。利用微扰理论基于Lie-Trotter算子分裂法,我们计算领头阶项和一阶修正项,然后左右倾斜场景通过数值研究。

1。介绍

多变量对数正态分布分布是一个广泛使用的随机模型在社会科学。的概率是多少对数正态分布随机变量的和或差吗?解决这个问题有广泛的应用在许多领域,如金融(1,2],精算学[3,4)和物理(5]。尤其是在物理学中,例子包括在媒体随机波透射率、湍流能量耗散,一些非线性系统和时间的波动。然而,本文作者的最好的知识,几乎没有什么了解的问题。所以,发现分析近似是另一种方法(见[一样重要6]详情)。分析近似方法的主要优势和其他数值方法相比,一般的要快得多,至少在某些模型参数精确的政权。此外,解析近似公式保留定性模型信息并保存结果的一个显式的依赖底层参数。许多近似方法可以分类的范围分为三类:一般相关(7- - - - - -10,独立11- - - - - -14),和独立同分布(15,16]。尤其相关的对数正态分布的概率密度函数进行提出的各种近似和分布。这些近似可以分为两类。第一个方法是由另一个近似对数正态分布的随机变量。例如,时刻获得的对数正态分布参数匹配(7),均值和方差计算递归(17),和移位的对数正态分布分布18]。第二个方法,介绍了这些方法构建高效的数字集成技术等最陡下降集成(19)和Smolyak的算法(20.]。

在期权定价理论中,众所周知,不断波动的股票价格在布莱克-斯科尔斯模型(21]很难捕捉以来积累的经验证据在金融市场模型中包含的参数随时间变化。这个模型的假设的主要缺点在于平隐含波动率表面,这是矛盾的实证结果,股票期权的隐含波动率表现出微笑或斜曲线,特别是从1987年开始崩溃。其中的几种方法克服上述缺点和放松的布莱克-斯科尔斯常数波动的假设模型,各种各样的随机波动模型已经提出将波动倾斜。快速均值回归尤其是是波动的显著特征之一。例如,Fouque et al。22)估计,其波动恢复到平均水平与特征时间天高频标准普尔500指数数据。此外,恩格尔(23]和Bollerslev [24]介绍了自回归条件异方差性的家庭和广义自回归条件异方差性,分别描述股票价格的波动性的进化在离散时间设置和显示,计量测试的这些模型拒绝不断波动的假设并找到证据的波动集群。

基于这些观察和随机波动性的著名贡献期权定价公式,我们提出以下快速向均数回归(FMR)模型有条件地资产价格的对数正态分布和波动过程是一个积极的递增函数的FMR过程: 在哪里和对数正态分布随机变量和吗 , ,和是标准布朗运动相关的如下: 与 。这里的参数措施的速度遍历马尔可夫过程达到其长期平均值 , 是一个函数,是一个常数,和相关性和控制每个潜在的倾斜的斜率。我们假设这以足够快的速度波动大时均值回归的时间尺度看选项Fouque et al。22]。我们不指定的具体形式 , ,和因为他们不会起着关键作用的微扰理论执行摘要但函数必须满足足够的增长条件,以避免一些不好的情况下,如不存在的时刻 。这个模型的泛化是一个明显的优势的FMR模型包含了模型反映程式化事实如波动和波动率的波动之间的反馈效应。

2。渐近分析

2.1。问题公式化

现在我们将表示 和 作为和 ,分别为简单起见。之和的概率分布或不同的两个相关的对数正态分布分布的分析计算,可以获得积分 在哪里是两个对数正态分布随机变量的联合概率分布和 狄拉克δ函数。不幸的是,封闭概率分布表示现在还不存在。

FMR波动使我们能够充分利用微扰理论。结束这个问题,我们使用小积极的参数 ,表示均值回归的速度的倒数吗(被认为是大)。我们假设 ,方差的不变分布是一个常数对吗 。如果重写(2)的 ,我们有 这给了一个关于小参数奇异摄动问题 ,为我们分析温顺。我们定义了FMR (SFMR)模型作为FMR模型使用一个一阶渐近方法。

如果我们比较赫斯顿模型25),一个代表随机波动模型,与SFMR模型,我们可以获得一些优势。赫斯顿模型有五个参数需要估计从市场数据而SFMR模型有两个。此外,赫斯顿模型有一定的限制,波动函数 , ,和而没有任何SFMR模型。

2.2。微扰理论基于Lie-Trotter算子分裂法

微扰理论由Fouque et al。22]是一个方法用来找到一个近似的解决方案,当最初的难以解决的问题通过分离成更容易解决,简单的部分。如果我们应用Feynman-Kac公式,我们发现满足以下向后柯尔莫哥洛夫方程: 在哪里 在这里,无穷小SFMR过程的发电机吗 。 包含混合偏导数的相关性两个布朗运动和和和 ,分别。是一个广义的运营商版本的波动水平二维标准布朗运动吗和而不是不断波动。

在我们解决问题(6),我们写有用的引理定心(或可解性)条件下泊松方程的相关操作如下。

引理1。如果 泊松方程的解是什么 存在,则定心条件 必须满足,符号平均(或预期)的不变分布(即 ) 。然后,解决方案(10)的形式

证明。看到Fouque et al。22]。

使用生成的偏微分方程(PDE) (6)和扩大的权力 ,一个人可以近似主要词的总和和第一修正项如下: 因为我们关注的一阶修正项 ,我们复位(12)对,表示 。利用微扰理论基于Lie-Trotter算子分裂法,和必须满足以下pd与边界条件,分别是: 然后获得一个解决方案和pde的分别 在哪里 和常数参数 ,定义如下: 请参阅附录的相关技术。

因此,总和的分布和对数正态分布随机变量的不同相关SFMR模式下显示遵循了对数正态分布分布结合混合偏导数。同时,所有原始参数组中吸收参数 , , ,和和现在的水平隐藏进程的开的快时间尺度波动不需要被指定在目前的近似。

2.3。数值实验

在本节中,我们说明所得结果的有效性(12),显示计算结果。

几个参数设置是来自罗除了组参数。图1(一)描述了对数正态分布分布(按顺序词或Lo的结果)和对数正态分布分布在SFMR模式与积极或消极组参数(按顺序词加一阶修正项),分别。实线表示了对数正态分布分布和虚线显示结合了对数正态分布分布和第一修正项,分别。图1 (b)描述了错误计算减去对数正态分布的分布与积极或消极组参数对数正态分布分布,分别。我们也同样的结果应用于概率密度函数图的差异2。我们的数值结果表明,左和右斜场景提出了通过一阶修正项和主要的差异出现峰值的概率密度函数。这些照片很敏感的选择有关参数和提供了很大的灵活性的形状过渡密度。

3所示。最后的评论

随机过程是受欢迎的在各种经济和金融变量建模。密度函数特别是过渡中起关键作用的分析连续时间扩散模型。在本文中,我们获得了相关的解析近似对数正态分布随机变量下SFMR模型。

本文提供了各种可能的发展方向。我们的结果可以应用到定价和对冲期权和传播是慢变volatility-driving过程纳入SFMR模型。同样,这个结果可以为信用风险管理提供一个非常有用的指南(见[26,27])。我们把这些问题作为今后的研究课题。

附录

扰乱性的分析

现在,我们描绘的派生pd (13)和(15)。

我们扩大的权力为了应用摄动理论PDE问题(6): 用(. 1)(6),我们重组的公式如下: (a .)对于任何 ,每一项的方程必须为零。从订单项,我们获得 自运营商无穷小SFMR过程的发电机吗 ,解决方案PDE必须一个常数的变量 ; 。从订单项, 因为每一项操作符包含导数,独立的收益率 。PDE (各),那么可以降低到 ,所以也是独立的 ; 。也就是说,这两个术语和不依赖于当前的水平过程的推动快速规模波动。一个可以继续消除秩序的条款 , , ,等等。我们从常数阶项, 这PDE变成了 由于独立的如上图所示。PDE (要求寄出)可以被认为是一个泊松方程(见引理1)。定心的条件 ,按顺序必须满足 在哪里 然后解决了PDE (A.7)。

接下来,我们首先推导出修正项 。从订单项, 对应用中心的条件(A.9),我们有 从(9)和(A.7),我们得到 用(A.12)(要求寄出),我们重组形式如下: 对于任意有限值函数 , , 的功能 , , 分别是泊松方程的解决方案: 从(A.11)和(A.13),我们得到 堵塞(A.16)(A.10),PDE是由 因为我们关注的一阶修正项 ,我们复位(A.17)对,表示这样规模的快速修正满足以下PDE: 在这里,运营商表示为 在恒定的参数 , , ,和定义如下: 它可以直接检查是由

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作是由韩国国家研究基金会(NRF)授予由韩国政府(MSIP)(没有。2015 r1c1a1a01054663)。

引用

1. m·a . Milevsky和s e·波斯纳“亚洲选项,对数正态的总和,互惠伽马分布,“金融和定量分析杂志》上,33卷,不。3、409 - 422年,1998页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
2. r·卡蒙,诉Durrleman定价和套期保值传播选项”,暹罗审查,45卷,不。4、627 - 685年,2003页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
3. j . Dhaene m . Denuit m . j . Goovaerts r .成熟和d . Vyncke”comonotonicity精算学,金融的概念:应用程序,”保险:数学和经济学没有,卷。31日。2、133 - 161年,2002页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
4. 美国Vanduffel、t . Hoedemakers和j . Dhaene”比较近似风险措施的总结nonindependent对数正态随机变量,“北美精算杂志,9卷,不。4、71 - 82年,2005页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
5. m .罗密欧诉Da Costa, f . Bardou“广义对数正态随机变量和的分布影响,”欧洲物理期刊B,32卷,不。4、513 - 525年,2003页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
6. 美国Nadarajah”,审查的结果的随机变量,“Acta Applicandae Mathematicae,卷103,不。2、131 - 140年,2008页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
7. l·f·芬顿“服从对数正态分布的总和在散射传输系统中,“IEEE通信系统,8卷,不。1,57 - 67,1960页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
8. f·尼尔森和s . b .俯视,”一个简单的绑定与对数正态分布的陷,中断概率”IEEE通信信,8卷,不。5,271 - 273年,2004页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
9. c . Lam和。Tho Le-Ngoc”,中断概率和相关使用日志转移伽马近似对数正态陷,”学报2005第五届国际会议上信息通信与信号处理,页618 - 622年,曼谷,泰国。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
10. n . b . Mehta a . f .莫氏利施和j·张,j . Wu”近似对数正态或lognormal-rice相关随机变量之和,”学报2006年IEEE国际会议交流,国际商会2006年土耳其,页1605 - 1610年,2006年7月。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
11. s . b .俯视”界限的和独立的对数正态分布的随机变量,“IEEE通信卷,49号6,975 - 978年,2001页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
12. n . c .比尤利和谢问:“一个最佳对数正态近似对数正态分布,“IEEE车辆技术,53卷,不。2、479 - 489年,2004页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
13. j·c·s·桑托斯球场,m·d·雅库巴和p . Cardieri”高度精确range-adaptive对数正态近似对数正态分布,“IEEE电子信件,42卷,不。6,361 - 363年,2006页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
14. z . Liu j . Almhana f·王,r . McGorman”混合物对数正态近似对数正态分布,”IEEE通信信,11卷,不。9日,第713 - 711页,2007年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
15. n·c·比尤利和f . Rajwani高度准确简单封闭近似对数正态分布和密度,”IEEE通信信,8卷,不。12日,第711 - 709页,2004年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
16. l .赵和j·丁”,一个严格的方法来近似对数正态分布,”学报2006年加拿大电气和计算机工程会议919年,页916 - 2006年5月,加拿大,渥太华。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
17. s c·施瓦茨和y s叶”,权力的分布函数和时刻总结日志量正常组件,”贝尔系统技术杂志,卷61,不。7,1441 - 1462年,1982页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
18. c . f . Lo”和两个对数正态随机变量的区别,”应用数学学报、艺术。ID 838397、13页,2012。视图:谷歌学术搜索|MathSciNet
19. d . Senaratne和c . Tellambura对数正态分布,数值计算”学报2009年IEEE全球电信会议,GLOBECOM 2009,2009年12月。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
20. m·迪伦佐·l·Imbriglio f . Graziosi f .圣托西,“Smolyak算法:一个简单、准确的分析框架相关的对数正态分布power-sums,”IEEE通信信,13卷,不。9日,第675 - 673页,2009年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
21. f .黑人和m·斯科尔斯期权的定价企业负债,”政治经济学杂志卷,81年,第659 - 637页,1973年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
22. j。Fouque、g .子宫颈和k .罗尼Sircar在金融市场衍生品具有随机波动性》,剑桥大学出版社,2000年。
23. r·f·恩格尔,“自回归条件异方差性和方差的估计英国通胀,”费雪,50卷,不。4、987 - 1007年,1982页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
24. t . Bollerslev“广义自回归条件异方差性,”计量经济学杂志没有,卷。31日。3、307 - 327年,1986页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
25. s·l·赫斯顿”,一个封闭的解决方案选择与应用程序具有随机波动性债券和外汇期权,“金融研究的回顾》第六卷,没有。2、327 - 343年,1993页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
26. 黄永发。金,Y.-K。妈,和c . y .公园,”联合生存概率通过截断不变的接合部,”混乱,孤波和分形卷,85年,第76 - 68页,2016年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|MathSciNet
27. Y.-K。马”,整体强度的依赖关系结构流程建模”,《公共科学图书馆•综合》,10卷,不。8、10页,2015年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索

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